篇一：2.1椭圆的简单几何性质学案
2.1椭圆的简单几何性质
【学习目标】
12．掌握标准方程中a,b,c的几何意义，以及a,b,c,e3【学习重点】：椭圆的几何性质 【学习难点】：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质
一、自主学习：
1．椭圆定义： 2．标准方程：
3．问题：
（1）椭圆曲线的几何意义是什么？
（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的x,y取值范围是什么？其图形位置是怎样的？
（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？
（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？a,b,c的几何意义各是什么？
（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？
（6）画椭圆草图的方法是怎样的？
4.
由椭圆方程
xa
22
?
yb
22
?1(a?b?0) 研究
椭圆的性质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察一致) (1)范围:
从标准方程得出
xa
22
?1,
yb
22
?1,即有
?a?x?a,?b?y?b，可知椭圆落在
x??a,y??b组成的矩形中．
(2)对称性:
把方程中的x换成?x方程不变，图象关于y轴对称．y换成?y方程不变，图象关于x轴对称．把x,y同时换成?x,?y方程也不变，图象关于原点对称．
如果曲线具有关于x轴对称，关于y轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一原点叫椭圆的 ，简称中心．x轴、y轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接
（3在椭圆
xa
22
?
yb
22
?1的方程里，令y?0得x??a，因此椭圆和x轴有两个交点
A(?a,0),A2(a,0)，它们是椭圆
xa
22
?
yb
22
?1令x?0，得y??b，因此椭圆和y轴有两个交B(0,?b),B2(0,b)，它们也是椭xa
22
圆?
yb
22
?1因此椭圆共有四个顶点：A(?a,0),A2(a,0)，
B(0,?b),B2(0,b)加两焦点F1(?c,0),F2(c,0)共有六个特殊点.
A1A2叫椭圆的B1B2叫椭圆的．长分别为2a,2b
a,b分别为椭圆的.
至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围, 对称性, 顶点．因而只需少量描点就可以较正确的作图了． (4)离心率:
这种扁平性质由什么来决定呢？
定义式：
范围： 考察椭圆形状与e的关系：
e?0,c?0，椭圆变圆，直至成为极限
位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e?0e?1,c?a,椭圆变扁，直至成为极限位置线
段F1F2，此时也可认为圆为椭圆在e?1
二、合作探究：
例1 求椭圆16x2?25y2?400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
例2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图： （1）
例3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：
（1）
三、课堂练习：
1．已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2x
2
25
?
y16
2
?1
（2）
x
2
25
?
y
2
9
?1
x
2
9
?
y
2
4
?1（2）
x
2
49
?
y
2
36
?1
2．如图，求椭圆
xa
22
?
yb
22
?1,(a?b?0)内接正方形ABCD
五、课堂小结
我的收获：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质：
我的困惑椭圆的简单几何性质
学习目标：1 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e的几何意义
2通过对椭圆标准方程的讨论，理解在解析几何中是怎样用代数方法研究几何问题的。
3 初步利用椭圆的几何性质解决问题。
学习重点：椭圆的几何性质
学习难点：椭圆的几何性质的探讨以及a,b,c,e的关系 思想方法：数形结合的方法、分类讨论的思想三、综合跃升
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）一焦点坐标为（-3，0），一顶点坐标为（0，5）; （2）长轴长等于20，离心率为
x
2
35
。
12
例2 .若椭圆四 小结 自测题：
1椭圆
x
k?8
?
y
2
9
?1的离心率为，求k的值.
2
25
?
y
2
9
?1上点p(x,y)的横坐标的范围为_____________
2若点p(2,4)在椭圆
xa
22
?
yb
22
?1,(a?b?0)上，下列在椭圆上的点有
篇二：椭圆的标准方程及其几何性质学案
高中数学椭圆的标准方程及其几何性质 1. 椭圆定义：
（1）第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a(2a?|F2F2|)的动点P的轨迹叫椭圆,其中两个定点F1、F2叫椭圆的焦点.
当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹为椭圆 ; ; 当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹不存在;
当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹为 以F1、F2为端点的线段
（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(0?e?1)的点的轨迹为椭圆
（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.
22
3.点P(x0,y0)与椭圆x2?y2?1(a?b?0)的位置关系:
ab
222222xyxyxyPP当2?2?1时,点在椭圆外; 当2?2?1时,点在椭圆内; 当2?2?1时,点P在ababab
椭圆上;
4.直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆相交???0;直线与椭圆相切???0;直线与椭圆相离???0 例题分析：
题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离
之和等于10；
⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（?
35,22
(3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).
(4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.
解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
x2y2
2?2?1 (a?b?0)
ab
?2a?10,2c?8?a?5,c?4
?b2?a2?c2?52?42?9
x2y2
??所以所求椭圆标准方程为
259
⑵ 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为
y2x2
?2?1 (a?b?0) 2ab
由椭圆的定义知，
3535
2a?(?)2?(?2)2＋(?)2?(?2)2
2222
?
31??2 22
?a? 又c?2
?b2?a2?c2?10?4?6
y2x2
?? 所以所求标准方程为
106
另法：∵ b?a?c?a?4
2222
35y2x2
?1，后将点（?,）的坐标代入可求出a，从而求∴可设所求方程2?2
22aa?4
(3)∵椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：
x2y2
2?2?1(a?b?0)
ab
∵2a?
(5?3)2?0?(5?3)2?0?10，2c=6.
∴a?5,c?3
∴b?a?c?5?3?16
2
2
2
2
2
x2y2
??1. ∴所求椭圆的方程为：
2516
(4)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为
y2x2
?2?1(a?b?0). 2ab
∴b?a?c?144.
2
2
2
y2x2
??1 ∴所求椭圆方程为：
169144
（5）∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为：
y2x2
??1(a?b?0) a2b2
∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a＝１０. 又∵P到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c－（－１０）＝２，故c=8. ∴b?a?c?36.
2
2
2
y2x2
??1. ∴所求椭圆的标准方程是
10036
题2。已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且?ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方解：以BC所在直线为x轴，BC中垂线为y轴建立直角
坐标系，设顶点A(x,y)，根据已知条件得再根据椭圆定义得a?5,c?3,b?所以顶点A的轨迹方程为
x2y2
??1 （y≠0）（特别强调检验)
2516
因为A为△ABC的顶点，故点A不在x轴上，所以方程中要注明y≠0题3。在△ABC中，BC=24，AC、AB的两条中线之和为39,求△ABC的重心轨迹方程. 分析：以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，M为重心，则|MB|+|MC|=
2
33
39=26.
根据椭圆定义可知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭
x2y2
??1 (y≠圆，故所求椭圆方程为
16925
x2
?y2?1上的动点，求AQ中点M的轨迹方程题4。已知x轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆4
解：设动点M的坐标为(x,y)，则Q的坐标为(2x?1,2y
因为点Q为椭圆
x
?y2?1上的点， 4
2
2
所以有
1(2x?1)
?(2y)2?1，即(x?)2?4y2?1
24
所以点M的轨迹方程是(x?)?4y?11
2
22
题5。长度为2的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，点M分AB的比为求点M2，3
解：设动点M的坐标为(x,y)，则A的坐标为(x,0)B的坐标为(0,
535
y) 2
因为|AB|?2，
5225252y)?4，即x2?y?4 294
252252
x?y?4所以点M的轨迹方程是94
所以有 (x)?(
2
5
3
题6。已知定圆x?y?6x?55?0，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M 根据图形，
2
用数学符号表示此结论：MQ?8?MP 上式可以变形为MQ?MP?8，又因为PQ?6?8，所以圆心M的轨迹是以P，Q
解 已知圆(转自：wWw.DXf5.Com 东星 资源网:椭圆的几何性质导学案)可化为：?x?3??y2?64
2
圆心Q(3，0)，r?8，所以P设动圆圆心为M(x,y)，则MP又圆M
和圆Q内切，所以MQ?8?MP，
即 MQ?MP?8，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以2a?8，
x2y2
b?7，故动圆圆心M的轨迹方程是：??167
2
题7。△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、
AC的斜率的乘积是-
4
，9
求顶点A的轨迹方程.
选题意图：巩固求曲线方程的一般方法，建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思，训练根据条件对一些点进行取舍.
解：设顶点A的坐标为(x,y). 依题意得
y?6y?64
???， xx9
x2y2
??1(y??6). ∴顶点A的轨迹方程为
8136
x2y2
??1对应的椭圆与y轴有两个交点，而此两交点为（０，－６）与说明：方程
8136
(0，6)应舍去.
x2y2
??1上的点，且P与F1,F2的连线互相垂直，求题8．P为椭圆
259
解：由题意，得(5?
447?258122x0)2?(5?x0)2＝64?x0?，y? 551616
?P的坐标为(
57957957959
,)，(?,)，(?,?)，(,?)44444444
9x2y2
??1上不同三点A(x1,y1),B(4,),C(x2,y2)与焦点F(4,0)的距离成题9．椭圆
5259
等差数列，求证x1?x2?证明：由题意，得 (5?
444
x1)?(5?x2)＝2(5??4)?x1?x2?8 555
题10．设P是以0为中心的椭圆上任意一点，F2为右
篇三：椭圆的简单几何性质(一)导学案
椭圆的简单几何性质(一)导学案
【学习要求】
1．理解椭圆的简单几何性质.
2．利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题.
【学法指导】
通过几何图形观察，代数方程验证的学习过程，体会数形结合的数学思想.通过几何性质的代数研究，养成辩
证统一的世界观.
【知识要点】
1
2当椭圆的离心率越 ，则椭圆越扁；当椭圆离心率越 ，则椭圆越接近于圆.
【问题探究】
探究点一 椭圆的简单几何性质
问题1 观察椭圆x2y2
ab＝1 (a>b>0)的形状，你能从图中看出它的范围吗？它具有
怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
问题2 如何用椭圆的标准方程(代数方法)研究你观察到的几何性质？
问题3 观察不同的椭圆，椭圆的扁平程度不一样，怎样刻画椭圆的扁平程度呢？
问题4 （1）bac
b
的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？
（2）你能运用三角函数的知识解释：为什么ecc
ae＝a
问题5 比较下列各组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？ 2
2
与x2（1）4x＋9y＝36y222
x2y225＋20＝1； （2）9x＋4y＝36与12＋16
1.
例1 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
跟踪训练1 已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
探究点二 由椭圆的几何性质求方程 例2 椭圆过点(3,0)，离心率e＝
6
3
，求椭圆的标准方程. 跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）长轴在x轴上，长轴的长等于12，离心率等于2
3
（2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4).
探究点三 求椭圆的离心率
例3 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率.
跟踪训练3 如图，A、B、Cx2y2
ab1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝
90°，则该椭圆的离心率为 ( ) A－1＋52
B5－1C2＋1
2
D2＋1
【当堂检测】
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( ) A．5、3、0.8 B．10、6、0.8 C．5、3、0.6 D．10、6、0.6
1
2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为 ( )
3x2y2
A．1
1441284A．5
x2y2x2y2
B．＋1 C．＝1
36203236
3B
5
2C
5
x2y2
D．＋1
3632
1D．5
5．在平面直角坐标系内，已知点A(2,0)、B(?2,0)，P是平面内一动点，直线PA、PB的斜率之积为?（1）求动点P的轨迹C的方程
3 4
（2）过点(,0)作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围
12
3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( )
→→x2y2
4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为______.
43
【课堂小结】
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a、b. 2．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法. 3．求离心率e时，注意方程思想的运用.
【拓展提高】
x2y2
1．已知F1、F2为椭圆ab1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为3
16，椭圆离心率e＝2，则椭圆的方程是( )
x2y2x2y2x2y2x2y2
A．431 B．1641 C．16＋12＝1 D．16＋3＝1
x2y2
??1的焦点在x轴上，则它离心率的取值范围是 2．椭圆
5a4a2?1
x2y2
3．椭圆M：2?2=1 (a>b>0) 的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且PF1?PF2 的最大
ab
值的取值范围是[2c2，3c2
]，其中c则椭圆M的离心率e的取值范围是（ ）
A．?
?32?11
C
． D．[,) ,? B
．32?32?
x2y2
4．已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别为A、B，右焦点是F，过F作直线与长轴垂直，与
ab
椭圆交于P、Q两点
（1）若?PBF?60，求椭圆的离心率 （2）求证：?APB一定为钝角