2008年全国高考试题

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第 1 页共 9 页 2008 年普通高等学校招生全国统一考试全国卷Ⅰ 理科数学必修+选修Ⅱ 一、选择题 1函数(1)yx xx的定义域为  0,A解C. 由 2汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数其图像可能是  s |0x x B 1|1x x C1,  |10x x D| 01xx 0,0;x xxxx得或解A 根据汽车加速行驶212sat 匀速行驶svt 减速行驶212svtat结合函数图像可知 3在A2ABC13AD△中 AB  c  AC  b 若点D 满足c 34设a R 且A2 解D.5已知等差数列 A138 解C. 由2BD2DC则 AD    323b B523cb  C2133bc D123bc 23解A. 由2ABACAD3ADABACcb13ADcb 2() ai i为正实数则a   C0 满足2 B1 2i D 13 a2221210,1aiaaiiaaia   na44 aC95 aa510aD23 4,则它的前 10 项的和10S   B135 a243511014,103,104595aaadSad  6若函数(1)yf x的图像与函数ln1yx1 的图像关于直线 y2ex对称则 ( )f x    A21xe B2xe C2xe D2x t O A s t O s t O s t O B C D 第 2 页共 9 页解B.由 21212ln1,1,yxxyxxef xef xey 11 11垂直则a     7设曲线xx在点(3 2) 处的切线与直线10axy A2 B1xx2 C2112" D 221 解D. 由32121,,"|,2,2xyyyaaxx     8为得到函数 3cos 2yx的图像只需将函数sin 2yx的图像  A向左平移5 C向左平移5 12个长度单位 D向右平移5 B向右平移5 12个长度单位 6个长度单位 6512个长度单位解A. 5cos 2sin 2sin 2,36yxxx 只需将函数sin 2yx的图像向左平移5 12个单位得到函数 3)cos 2yx的图像. 9 设奇函数( )f x 在(0) 上为增函数 且(1)0f 则不等式( )(0f xfxx D( 1 0)的解集为   A( 1 0)(1)  B(1)(01)x ( ) C()( )1)(1)  f x 在(0(01)  ) 解D 由奇函数( )f x 可知(2 ( )xf x0f xff xx而(1)0f则( 1)(1)0ff 当0x 时( )0(1)f xf当0x 时0( 1)f又( )上为增函数则奇函数( )f x 在(,0)yb上为增函数01,10xxsin 或. 10若直线1xa  通过点B(cos)M 则  1a1A221ab221abC221b1 D221a1b11a 解D由题意知直线1xayb 与圆22xy 有交点则222211b11a1b 1, . 另解设向量1 1, )a b(cos,sin),(m =n =由题意知cossin1ab 由 m nm n 可得22cossin1b1aba 1 第 3 页共 9 页 11已知三棱柱111ABCA B C的侧棱与底面边长都相等1A 在底面 ABC 内的射影为ABC△的中心则1AB 与底面 ABC 所成角的正弦值等于  A13 B23 C33 D23 解B由题意知三棱锥1AABC为正四面体 设棱长为a 则13ABa棱柱的高2222123B DAB36()23AOaAOaaa等于点1B到底面 ABC 的距离1B D  故1AB 与底面 ABC 所成角的正弦值为111123AOAB. 另解设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底1,,13AB AC AA 的两两间的夹角为13060  长度均为a 平面 ABC 的法向量为11OAAAABAC,11ABABAA 21111236,,33OAABaOAAB 则1AB 与底面 ABC 所成角的正弦值为111123OA ABA O AB. 12 如图 一环形花坛分成 A且相邻的 2 块种不同的花则不同的种法总数为  A96 解B.分三类种两种花有BCD  四块 现有 4 种不同的花供选种 要求在每块里种 1 种花 B84 C60 24 D48 A 种种法种三种花有342A 种种法 种四种花有44A 种种法.共有243444284AAA. 另解按 A二、填空题本大题共 4 小题每小题 5 分共 20 分把答案填在题中横线上 0302 -BCD顺序种花可分 AC、同色与不同色有4 3 (1 32 2)84    13 若xy 满足约束条件03xxyyx   则2zxy的最大值为 答案9 解可行域如图, zx y的最大值对应直线2yxz截距的最小值. 所以在顶点 (3, 3) B处取最大值max2 3( 3)9z   D C B A 第 4 页共 9 页 14已知抛物线面积为 答案2. y21yax 的焦点是坐标原点则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形解由抛物线21ax 的焦点坐标为 中 AB1(0,则以这三点围成的三角形的面积为11)4a为坐标原点得14a 则2141yx 2与坐标轴的交点为(0, 1),( 2,0),(2,0)BC4 12   15在心率e  答案3AB53ABC△7cos18B  若以 AB为焦点的椭圆经过点C 则该椭圆的离8 解设1BC2 517cos8318eB  ,2则2222592cosACcaABBCAB BCB.  AC 22381,3ac 16等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB 二面角CABD的余弦值为33MN分别是 ACBC的中点则EMAN所成角的余弦值等于答案16 解设2AB 为二面角C3,作COABDEDCHO 面ABcos OHAB则CHAB CHOCH与正方形 ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥 AN1(2故 EM的平面角  结合等边三角形 ABC 1OHCH则3EMCH 12),ANACAB EMACAE,1212() ()AN EM16ABACACAE12 AN所成角的余弦值AN EMAN EM 另解以O 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系 则点 ( 1, 1,0), (1, 1,0),( 1,1,0),(0,0, 2)ABEC , 1212212122(,,),( ,,)22MN, 第 5 页共 9 页则3 1( ,2 221232212,),( ,,),,322ANEMAN EMANEM, 故 EMAN所成角的余弦值16AN EMAN EM. 三、解答题本大题共 6 小题共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 ABCⅠ求tanⅡ求tan(设△的内角 AcotABC 所对的边长分别为aB 的值 )bc  且35coscosaBbAc AB的最大值 解 Ⅰ在ABC△中由正弦定理及35sincos35cot4tanBBA的最大值为3cosaBbAcA435 可得3535sinAⅡ由tantan(cosBsincossinB tantan,tan12sinsin(B B2)coscossinAcosBBAAB4BBCBABAB4coscottan1B则tan得tanB 0 即sinAAA 23tan4 tan1,tan2A3)tan1cot时等号成立 4 tanAABABB 34 当且仅当4tanco

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tB故当tan2,tanAB时tan()B4. 18 本小题满分 12 分 四棱锥 A2Ⅰ证明 ADⅡ 设CE 与平面 ABE 所成的角为45  求二面角C解 1取BC 中点F 连接DF 交CE 于点O  AB又面 ABC  面 BCDE  AF  面 BCDE  BCDECD 中底面BCDE 为矩形侧面 ABC  底面BCDE  2CEBC  ABAC  ADE的大小 AC AFBC C D E A B 第 6 页共 9 页  AFCE2tantan2CEDFDC 2在面 ACD 内过C 点作 AD 的垂线垂足为G  CG则CGE2 3390CEOEDCEODE 90DOE AD即CEDF  面 ADF AD即为所求二面角的平面角 AC CDADCEADAD 面CEG EGAD CG63DG 22303EGDEDG 6CE 则2221010cos2CGGECG GECECGE  1010 arccosCGE即二面角CADE的大小1010 arccos 19 本小题满分 12 分 ( )已知函数321f xxaxx a R  Ⅰ讨论函数( )f x 的单调区间 Ⅱ设函数( )f x 在区间2313内是减函数求a 的取值范围 解 132( )1f xxaxx f 求导( )2( )321fxxax 当23a 时00x ( )f x 在R 上递增当23a ( )0fx求得两根为233aax  即( )f x 在233aa2 递增223333aaaa  递减 33aa  递增 F O G A C D E B 18 题图第 7 页共 9 页 22232313333aaaa   且23a 解得2a 20 本小题满分 12 分 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病需要通过化验血液来确定患病的动物血液化验结果呈阳性的即为患病动物呈阴性即没患病下面是两种化验方法 方案甲逐个化验直到能确定患病动物为止 方案乙先任取 3 只将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1只然后再逐个化验直到能确定患病动物为止若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验 Ⅰ求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率 Ⅱ 表示依方案乙所需化验次数求 的期望 解 Ⅰ分别用iA 、iB 表示依甲、乙方案需要化验i 次则 45次数概率 1113 12151415(),()P AP A,345341315()P A,445342325()P A3 0.2 CC。

1 2 4 0.2 132 0.6 0.2 0.4 233435243522535()0.6CCCCCCP B24351213335()0.4CCP B 次数概率 23 0.4 E ( )(2( 30.2 0.60.60.72P APP 甲乙 甲次及以上 Ⅱ 表示依方案乙所需化验次数 的期望为 21 本小题满分 12 分 双曲线的中心为原点O 焦点在 x 轴上两条渐近线分别为12 0.63 0.42.4 2ll经过右焦点 F 垂直于1l 的直线分别交12ll于 AB两点已知 OAABOB、、成等差数列且BF 与FA 同向 Ⅰ求双曲线的离心率 第 8 页共 9 页 Ⅱ设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4求双曲线的方程 解 Ⅰ设OA2(14231ammdAOF AB)m2OBmmd2 由勾股定理可得()dmbad 得dmtan43tantan 2ABOAAOBAOF 由倍角公式24bab解得12ba,则离心率52e  Ⅱ过F 直线方程为()abyxc ,与双曲线方程22221xayb 联立将2ab5cb代入化简有22154228 5b210xxb 22121212411()4ababxxxxx x 将数值代入有232 515284545bbx,解得3b  故所求的双曲线方程为221369y 。

22 本小题满分 12 分 ( )设函数lnf xxxx数列 f x 在区间(01)na满足101a 1()nnaf a Ⅰ证明函数( ) 是增函数 Ⅱ证明11nnaa  Ⅲ设1(1)ba 整数11lnaabbk 证明1kab 解 Ⅰ证明( )lnf xxxx  "ln ,0,1"ln0fxxxfxx  当时 故函数 fx 在区间(0,1)上是增函数 第 9 页共 9 页 Ⅱ证明 用数学归纳法 i当 n=1 时101a 11ln0aa  211111()lnaf aaaaa 由函数( )f x 在区间(01) 是增函数且函数( )f x 在1x  处连续则( )f x 在区间(0 1] 是增函数21111()ln1af aaaa 即*)121aa 成立 1ⅱ假设当(xk kN时1kkaa 成立即1101kkaaa得那么当1nkf a 时由)( )f x 在区间(0 1] 是增函数1101kkaaa 1()((1)kkf afa.而1()nnaf an则121(),()kkkkaf aaf a 121kka 也就是说当1k 时11nnaa 也成立 1根据ⅰ 、 ⅱ可得对任意的正整数n 1nnaa 恒成立. 可得 Ⅲ证明由( )lnf xxxx1()nnaf akkkkaababaln111lnkiiiabaa 1 若存在某ik 满足iab 则由⑵知1kiabbaabaln 0 a2 若对任意ik 都有bai则kkkkba1 11lnkiiiabaakab11lnkiiabab(1a11()lnkiiababbkabaln11 baln11)1bba0即1kab成立.

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