山东数学高考试题

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山东数学高考试题

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项： 1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、 考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B

铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答 案写在试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答， 答案必须写在答题卡各 题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原 来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 参考公式： 如果事件 A,B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B). 第Ⅰ卷（共 50 分） 一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 （1） 已知集合 A={X|X?-4X+3 0}，B={X|2 X 4},则 A B= （A） （1，3） （B） （1，4） （C） （2，3） （D） （2，4） （2）若复数 Z 满足 （A）1-iZ ? i ，其中 i 为虚数单位，则 Z= 1? i（B）1+i（C）-1-i（D）-1+i（3）要得到函数 y=sin（4x- ）的图像，只需要将函数 y=sin4x 的图 像（） （A）向左平移（B）向右平移（C）向左平移 个单位（D）向右平移 个单位（4）已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC=60o ,则 BD CD ＝ （A）（B）（C） （D）（5）不等式|x-1|-|x-5| 2 的解集是 （A） （- ，4） （B） （- ，1） （C） （1，4） （D） （1，5）（6）已知 x,y 满足约束条件 （A）3 （B）2 （C）-2，若 z=ax+y 的最大值为 4，则 a= （D）-3（7）在梯形 ABCD 中，∠ABC= ，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（A ）（8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 N（0， 32） ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为 （附：若随机变量ξ 服从正态分布 N（μ ，σ ?） ，则 P（μ -σ ξ μ + σ ）=68.26%，P（μ -2σ ξ μ +2σ ）=95.44%.） （A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74%（ 9 ） 一 条 光 线 从 点 （ -2 ， -3 ） 射 出 ， 经 y 轴 反 射 后 与 圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（） （A） （C） 或 或 （B （D ） 或 或 ,则满足 f(f(a))= 的 a 的取值范围是 （）（10） 设函数 f(x)= （A）[ ,1]（B）[0,1] （C）[ （D）[1, +第Ⅱ卷（共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。

（11）观察下列各式： C10 =40?? 照此规律，当 n ? N 时， C02n-1 + C12n-1 + C22n-1 +?+ Cn-12n-1 =(12)若“ ? x ? [0, ]，tanx ? m”是真命题，则 实数 m 的最小值为（ 13）执行右边的程序框图，输出的 T 的值 为 .(14) 已知函数 f ( x) ? a x ? b(a ? 0, a ? 1) 的定义域 和值域都是 ? ?1, 0? ，则 a ? b ? （15）平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1：x2 y 2 ? ? 1 （a 0,b 0）的渐近线与抛物线 C2： a 2 b2X2=2py(p 0)交于 O， 若△OAB 的垂心为 C2 的焦点， 则 C1 的离心率为 ＿ ＿＿ 三、解答题：本答题共 6 小题，共 75 分。

（16） （本小题满分 12 分） 设 f（x）= sin x cos x ? cos 2（x+ ）.（Ⅰ）求 f（x）的单调区间；（Ⅱ） 在锐角△ABC 中， 角 A,B,C,的对边分别为 a,b,c,若 f （ 求△ABC 面积的最大值。

(17)(本小题满分 12 分)A ） =0,a=1, 2如图，在三棱台 DEF-ABC 中， AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点。

（Ⅰ）求证：BC//平面 FGH； （Ⅱ）若 CF⊥平面 ABC，AB⊥BC，CF=DE, ∠BAC= 450 ,求平面 FGH 与平 面 ACFD 所成的角（锐角）的大小.（18） （本小题满分 12 分） 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n .已知 2 S n = 3n +3. （I）求 {an } 的通项公式； （II）若数列 {bn } 满足 anbn = log32 ，求 {bn } 的前 n 项和Tn . （19） （本小题满分 12 分） 若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字， 十位数字大于百位数字， 则称 n 为 “三位递增数” （如 137,359,567 等）. 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递 增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若 抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者 得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得 ?1 分；若能被 10整除，得 1 分. （I）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ； （II）若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX . （20） （本小题满分 13 分） 平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率为 ，左、右焦点分别是.以 为圆心以 3 为半径的圆与以 为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 上. (Ⅰ)求椭圆 的方程； （Ⅱ）设椭圆 交椭圆 点 . 的值； 面积的最大值. 为椭圆 上任意一点，过点 的直线 于 两点， 射线 交椭圆 于( i )求（ii）求△(21)(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x )= In( x +1)+ ? ( x 2 - x ) ，其中 ? ? R 。

（Ⅰ）讨论函数 f ( x ) 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若 ?? 0， f ( ? ) ? 0 成立，求 ? 的取值范围。2015 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学试题参考答案一、 选择题 （1）C （6）B （2）A （7）C （3）C （8）B （4）D （9）D （5）A (10)C二、填空题 （11） 4n ?1 （12）1 （13）（14） ?三、解答题 （16）1 ? cos(2 x ? ) 1 2 解： （Ⅰ）由题意 f ( x) ? sin 2 x ? 2 2 1 1 1 ? sin 2 x ? ? sin 2 x 2 2 2 1 ? sin 2 x ? 2 ? ? k ?Z 由 ? ? 2 k? ? 2 x ? ? 2 k? 2 2 ? ? k ?Z 可得 ? ? k? ? x ? ? k? 4 4? 2 k? ? 2 x ?3? ? 2 k? 2? k? ? x ?3? ? k? 4所以 f ( x ) 的单调递增区间是 [ ? 单调递减区间是 [ （II）? k? ,? k? ] （ k ? Z ）3? ? k? ] （ k ? Z ） 4 4 A 1 1 f ( ) ? sin A ? ? 0 ? sin A ? 2 2 2 ? k? ,由题意 A 是锐角，所以 cos A ?由余弦定理： a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A可得1 ? 3bc ? b 2 ? c 2 ? 2bc? bc ?1 ? 2 ? 3 ，且当 b ? c 时成立 2? 32? 3 42? 3 4? bc sin A ?? ?ABC 面积最大值为（Ⅰ）证法一： 连接 DG，CD ，设 CD ? GF ? O ，连接 OH 在三棱台 DEF ? ABC 中， AB ? 2 DE ， G 为 AC 的中点， 可得 DF // GC，DF ? GC , 所以 四边形 DFCG 为平行四边形， 则 O 为 CD 的中点， 又 H 为 BC 的中点， 所以 OH // BD , 又 OH ? 平面 FGH BD ? 平面 FGH ， 所以 BD // 平面 FGH 证法二： 在三棱台 DEF ? ABC 中， 由 BC ? 2 EF , H 为 BC 的中点， 可得 BH // EF , BH ? EF , 所以四边形 BHFE 为平行四边形，可得 BE // HF , 在 ?ABC 中， G 为 AC 的中点， H 为 BC 的中点， 所以 GH // AB , 又 GH ? HF ? H ,所以平面 FGH // 平面 ABED , 因为 BD ? 平面 ABED , 所以 BD // 平面 FGH 。

（II）解法一： 设 AB ? 2 ,则 CF ? 1 , 在三棱台 DEF ? ABC 中， G 为 AC 的中点，1 AC ? GC , 2 可得 四边形 DGCF 为平行四边形， 因此 DG // FC , 又 FC ? 平面 ABC ， 所以 DG ? 平面 ABC ，由 DF ?在 ?ABC 中，由 AB ? BC ， ?BAC ? 45? ， G 是 AC 中点， 所以 AB ? BC，GB ? GC , 因此 GB, GC , GD 两两垂直， 以 G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 G ? xyz ， 所以 G (0， 0， 0)，B( 2 ,0， 0)，C (0，2 ,0), D (0， 0， 1)可得 H (2 2 ， ,0)，F (0，2 ,0) 2 22 2 ， ,0), GF (0，2 ,0) ， 2 2故 GH ? (设 n ? ( x, y , z ) 是平面 FGH 的一个法向量，则 由?? ?n ? GH ? 0 ? ? n ? GF ? 0? x? y ?0 ? 2y ? z ? 0可得 平面 FGH 的一个法向量 n ? (1,?1, 2 ) ，（ 2， 0, 0） 因为 GB 是平面 ACFD 的一个法向量， GB ?所以 cos GB, n ?GB ? n 2 1 ? ? | GB | ? | n | 2 2 2所以平面 FGH 与平面 ACFD 所成角（锐角）的大小为 60?解法二： 作 HM ? AC 与点 M ，作 MN ? GF 与点 N ，连接 NH 由 FC ? 平面 ABC ,得 HM ? FC , 又 FC ? AC ? C , 所以 HM ? 平面 ACFD ， 因此 GF ? NH , 所以 ?MNH 即为所求的角， 在 ?BGC 中， MH // BG , MH ? 由 ?GNM ~ ?GCF , 可得1 2 , BG ? 2 2MN GM , ? FC GF从而 MN ?6 , 6由 HM ? 平面 ACFD ， MN ? 平面 ACFD ， 得 HM ? MN ， 因此 tan ?MNH ?所以 ?MNH ? 60? , 所以 平面 FGH 与平面 ACFD 所成角（锐角）的大小为 60? 。HM ? 3, MN（18） 解： （I）因为 2 Sn ? 3n ? 3 ，所以 2a1 ? 3 ? 3 ，故 a1 ? 3 ， 当 n ? 1 时， 2 Sn ?1 ? 3n ?1 ? 3 ， 此时 2an ? 2 Sn ? 2 Sn ?1 ? 3n ? 3n ?1 ? 2 ? 3n ?1 ，即 an ? 3n ?2 ，? 3, n ? 1 an ? ? n ? 2 所以 ?3 , n ? 1（II）因为 an bn ? log3 2 ，所以 b1 ?1 ， 3当 n ? 1 时， bn ? 3n ?2 log2 3n ?1 ? ( n ? 1) ? 31?n ， 所以 T1 ? b1 ?1 ； 3- 10 -Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?1 ? (1 ? 3?1 ? 2 ? 3?2 ? ? ? ( n ? 1) ? 32?n ) ， 33Tn ? 1 ? (1 ? 30 ? 2 ? 3?1 ? ? ? ( n ? 1) ? 33?n )两式相减，得2Tn ?2 ? (30 ? 3?1 ? 3?2 ? ? ? 32?n ) 32 1 ? 32?n ? ? ( n ? 1) ? 32?n ?2 3 1? 313 6n ? 3 ， ? 6 2 ? 3n 13 6n ? 3 所以 Tn ? ? 12 4 ? 3n 经检验， n ? 1 也适合， 13 6n ? 3 综上可得 Tn ? ? 12 4 ? 3n（19） 解： （I）个位数是 5 的“三位递增数”有 125，135，145，235，245，345；3 （II）由题意知，全部“三位递增数”的个数为 C9 ? 84 ，随机变量 X 是取值为：0，-1,1，因此C83 2 P ( X ? 0) ? 3 ? ， C9 3 P( X ? ?1) ?2 C4 1 ? 3 C9 14P( X ? 1) ? 1 ?所以 X 的分布列为1 2 11 ， ? ? 14 3 422 1 3 14 2 1 11 4 则 EX ? 0 ? ? ( ?1) ? 1? ? 3 14 42 2111 42解： （I）由题意知 2a ? 4 ，则 a ? 2 ，- 11 -c 3 2 ? , a ? c 2 ? b2 ， a 2可得 b ? 1 所以椭圆 C 的方程为x2 ? y2 ? 1 4 x2 y2 ? ?1 16 4（II）由（I）知椭圆 E 的方程为（i）设 P ( x0 , y0 ),| OQ | ? ? ,由题意知 Q ( ??x0 ,??y0 ) ， | OP |x0 2 ? y0 ? 1 42 ? x0 2 ( ? y0 ) ?1 4 4( ??x0 ) 2 ( ??y0 ) 2 ? ? 1， 即 16 4? ? 2 ，即| OQ | ?2 | OP |（ii）设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ， 将 y ? kx ? m 代入椭圆 E 的方程， 可得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 16 ? 0 ，2 2 2由 ? ? 0 ，可得 m 2 ? 4 ? 16k 2 则有 x1 ? x2 ? ?8km 4m 2 ? 16 , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2所以 | x1 ? x2 |?4 16k 2 ? 4 ? m 2 1 ? 4k 2因为 直线 y ? kx ? m 与 y 轴交点的坐标为 (0, m ) ， 所以 ?OAB 的面积 S ?1 | m || x1 ? x2 | 22 16k 2 ? 4 ? m 2 | m | ? 1 ? 4k 2- 12 -2 (16k 2 ? 4 ? m 2 )m 2 ? 1 ? 4k 2? 2 (4 ? m2 m2 ) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2m2 ?t 1 ? 4k 2将 y ? kx ? m 代入椭圆 C 的方程， 可得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 ，2 2 2由 ? ? 0 ，可得 m 2 ? 1 ? 4k 2 由① ② 可知 0 ? t ? 1 ， 因此 S ? 2 ( 4 ? t )t ? 2 ? t 2 ? 4t ， 故 S?2 3， 当且仅当 t ? 1 时，即 m 2 ? 1 ? 4k 2 时取得最大值 2 3 ， 由（i）知， ?ABQ 面积为 3S ， 所以 ?ABQ 面积的最大值为 6 3 .解： （Ⅰ）由题意知 函数 f ( x ) 的定义域为 (1,??) ，f ?( x ) ?1 2ax 2 ? ax ? a ? 1 ， ? a ( 2 x ? 1) ? x ?1 x ?1令 g ( x ) ? 2ax ? ax ? a ? 1, x ? ( ?1,?? ) ， （1）当 a ? 0 时， g ( x ) ? 1 ， 此时 f ?( x ) ? 0 ，函数 f ( x ) 在 ( ?1,??) 单调递增，无极值点； （2）当 a ? 0 时， ? ? a ? 8a (1 ? a ) ? a (9a ? 8) ，- 13 -① 当0 ? a ?8 时， ? ? 0 ， g ( x ) ? 0 , 9f ?( x ) ? 0 ，函数 f ( x ) 在 ( ?1,??) 单调递增，无极值点；② 当a ?8 时， ? ? 0 ， 9设方程 2ax 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 的两根为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ， 因为 x1 ? x2 ? ? 所以 x1 ? ?1 ， 21 1 , x2 ? ? ， 4 4 1 ， 4由 g ( ?1) ? 1 ? 0 ，可得 ? 1 ? x1 ? ?所以 当 x ? ( ?1, x1 ) 时， g ( x ) ? 0, f ?( x ) ? 0 ，函数 f ( x ) 单调递增； 当 x ? ( x1 , x2 ) 时， g ( x ), ? 0, f ?( x ) ? 0 ，函数 f ( x ) 单调递减； 当 x ? ( x2 ? ?) 时， g ( x ) ? 0, f ?( x ) ? 0 ，函数 f ( x ) 单调递增； 因此 函数有两个极值点。

（3）当 a ? 0 时， ? ? 0 ， 由 g ( ?1) ? 1 ? 0 ，可得 x1 ? ?1 ， 当 x ? ( ?1, x2 ) 时， g ( x ) ? 0, f ?( x ) ? 0 ，函数 f ( x ) 单调递增； 当 x ? ( x2 ? ?) 时， g ( x ) ? 0, f ?( x ) ? 0 ，函数 f ( x ) 单调递减； 所以函数有一个极值点。

综上所述： 当 a ? 0 时，函数 f ( x ) 有一个极值点； 当0 ? a ? 当a ?8 时，函数 f ( x ) 无极值点； 98 时，函数 f ( x ) 有两个极值点。

9 8 时，函数 f ( x ) 在 (0,?? ) 上单调递增， 9（II）由（I）知， （1）当 0 ? a ?因为 f (0) ? 0 ， 所以 x ? (0,?? ) 时， f ( x ) ? 0 ，符合题意；- 14 -（2）当8 ? a ? 1 时，由 g (0) ? 0 ，得 x2 ? 0 ， 9所以 函数 f ( x ) 在 (0,?? ) 上单调递增， 又 f (0) ? 0 ，所以 x ? (0,?? ) 时， f ( x ) ? 0 ，符合题意； （3）当 a ? 1 时，由 g (0) ? 0 ，可得 x2 ? 0 ， 所以 x ? (0, x2 ) 时，函数 f ( x ) 单调递减； 因为 f (0) ? 0 ， 所以 x ? (0, x2 ) 时， f ( x ) ? 0 ，不合题意； （4）当 a ? 0 时，设 h ( x ) ? x ? ln( x ? 1) ， 因为 x ? (0,?? ) 时， h?( x ) ? 1 ?1 x ? ?0 x ?1 x ?1所以 h ( x ) 在 (0,?? ) 上单调递增。

因此 当 x ? (0,?? ) 时， h( x) ? h(0) ? 0 ， 即ln( x ? 1) ? x ，可得 f ( x ) ? x ? a ( x ? x ) ? ax ? (1 ? a ) x ， 当 x ? 1?1 2 时， ax ? (1 ? a ) x ? 0 ， a此时 f ( x ) ? 0 ，不合题意， 综上所述， a 的取值范围是 [0,1]- 15 -

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结 束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项： 1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案卸载试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能 使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式： 如果事件 A,B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共 50 分）一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的（1） 已知集合 A={X|X?-4X+3 0}，B={X|2 X 4},则 A B= （A） （1，3） （B） （1，4） （C） （2，3） （D） （2，4） （2）若复数 Z 满足 （A）1-iZ ? i ，其中 i 为虚数为单位，则 Z= 1? i（B）1+i（C）-1-i（D）-1+i（3）要得到函数 y=sin（4x-? ）的图像，只需要将函数 y=sin4x 的图像（） 3（A）向左平移? ? 个单位 （B）向右平移 个单位 12 12? 个单位 3（D）向右平移（C）向左平移? 个单位 3（4）已知 ABCD 的边长为 a，∠ABC=60o ,则错误！未找到引用源。

.错误！未找 到引用源。＝（A） - 错误！ 未找到引用源。

（B） - 错误！ 未找到引用源。

（C） 错误！未找到引用源。

（D） 错误！未找到引用源。（5）不等式|X-1|-|X-5| 2 的解集是 （A） （-错误！未找到引用源。

，4） （C） （1，4） （D） （1，5）（B） （-错误！未找到引用源。

，1）（6）已知 x,y 满足约束条件，若 z=ax+y 的最大值为 4，则 a=（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3 （7）在梯形 ABCD 中，∠ABC=错误！未找到引用源。

，AD//BC，BC=2AD=2AB=2. 将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 （A）错误！未找到引用源。

（B）错误！未找到引用源。

（C）错误！未找到引用源。（D）2 错误！未找到引用源。（8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 N（0，3） ，从中随 机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为 （附： 若随机变量ξ 服从正态分布 N （μ ， σ ?） ） ， 则P （μ -σ ξ μ +σ ） =68.26%， P（μ -2σ ξ μ +2σ ）=95.44%.） （A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74% （9）一条光纤从点（-2，-3）射出，经 y 轴反射后与圆错误！未找到引用源。

相切，则反射光线所在直线的斜率为（） （A）错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。

（B 错误！未找到引用 源。或错误！未找到引用源。

（C）错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。

（ D ）错误！未找到引 用源。或错误！未找到引用源。

（10）设函数 f(x)=错误！未找到引用源。,则满足 f(f(a))=错误！未找到引用源。

的 a 取值范围是（） （A）[错误！未找到引用源。

，1] （B）[0，1] （C）[错误！未找到引用源。

（D）[1，+错误！未找到引用源。第Ⅱ卷（共 100 分）二、 填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。（11）观察下列各式： C10 =40?? 照此规律，当 n ? N 时，C02n-1 + C12n-1 + C22n-1 +?+ Cn-12n-1 =(12)若“ ? x ? [0,? ]，tanx ? m”是真命题，则实数 m 的最小值为 4（13） 执行右边的程序框图， 输出的 T 的值为(14) 已知函数 f ( x) ? ax ? b( a ? 0, a ? 1) 的定义域和 值域都是 ? ?1,0? ，则 a ? b ?x2 y 2 ?1 （15） 平面直角坐标系 xOy 中， 双曲线 C1： ? a 2 b2 （a 0,b 0）的渐近线与抛物线C2：X2=2py(p 0)交于 O，若△OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为 ＿＿＿ 三、解答题：本答题共 6 小题，共 75 分。

（16） （本小题满分 12 分） ? 设 f（x）= sin x cos x ? cos 2（x+ ）. 4 （Ⅰ）求 f（x）的单调区间； （Ⅱ）在锐角△ABC 中，角 A,B,C,的对边分别为 a,b,c,若 f（ ABC 面积的最大值。

(17)(本小题满分 12 分) 如图，在三棱台 DEF-ABC 中， AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点。

（Ⅰ）求证：BC//平面 FGH； （Ⅱ） 若 CF⊥平面 ABC， AB⊥BC， CF=DE, ∠BAC= 450 , 求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角（锐角）的大小.A ）=0,a=1,求△ 2（18） （本小题满分 12 分） 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n .已知 2 S n = 3n +3. （I）求 {an } 的通项公式； （II）若数列 {bn } 满足 anbn = log32 ，求 {bn } 的前 n 项和Tn .（19） （本小题满分 12 分） 若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于 百位数字，则称 n 为“三位递增数” （如 137，359，567 等）. 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机 抽取 1 个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数” 的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得 ?1 分；若能被 10 整除，得 1 分. （I）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ； （II）若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX .（20） （本小题满分 13 分） 平面直角坐标系错误！未找到引用源。中，已知椭圆错误！未找到引用 源。

：错误！未找到引用源。的离心率为错误！未找到引用源。

，左、右 焦点分别是错误！未找到引用源。.以错误！未找到引用源。为圆心以 3 为半径的圆与以错误！未找到引用源。为圆心 1 为半径的圆相交，且交 点在椭圆错误！未找到引用源。上. (Ⅰ)求椭圆错误！未找到引用源。的方程； （Ⅱ）设椭圆错误！未找到引用源。为椭圆错误！未找到引用源。上任 意一点，过点错误！未找到引用源。的直线 错误！未找到引用源。

交椭圆错误！未找到引用源。

于错误！未找到引用源。两点，射 线错误！未找到引用源。

交椭圆 错误！未找到引用源。于点 错误！未 找到引用源。. ( i )求错误！未找到引用源。的值； （ii）求△错误！未找到引用源。面积的最大值. (21)(本小题满分 14 分) 设函数 f (x )= In(x +1)+?(x 2 - x ) ，其中 ? ? R 。

（Ⅰ）讨论函数 f ( x ) 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若 ?? 0， f ( ? ) ? 0 成立，求 ? 的取值范围。1C 2A 3B 4D 5A 6B 7C 8B 9D 10C11 3 3 14.— 15. 6 2 2 1 1 ? 1 1 1 1 16. 解： （Ⅰ） 由 f ( x) ? sin 2 x ? [1 ? cos(2 x ? )] ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? sin 2 x ? 2 2 2 2 2 2 211. 12. 1 13. 由 2 k? ?? 2 x ? 2 k? ?, k ? Z 得 k? ?则 f ( x) 的递增区间为 [ k? ? 由 2 k? ?, k? ?? x ? k? ?,k ?Z ，], k ? Z ；3? ? 3? , k ? Z 得 k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z ， 2 2 4 4 ? 3? ], k ? Z . 则 f ( x) 的递增区间为 [ k? ? , k? ? 4 4 A 1 1 ? （Ⅱ）在锐角 ?ABC 中， f ( ) ? sin A ? ? 0,sin A ? , A ? ,而 a ? 1, 2 2 2 6 ? 2 x ? 2 k? ?由余弦定理可得 1 ? b ? c ? 2bc cos? 2bc ? 3bc ? (2 ? 3)bc ， 当且仅当 b ? c 时等号成立，即 bc ?1 1 1 ? 1 2? 3 ? 2 ? 3 ， S?ABC ? bc sin A ? bc sin ? bc ? ， 2 2 6 4 4 2? 32? 3 . 4故 ?ABC 面积的最大值为17. 解： （Ⅰ）证明：连接 DG，DC，设 DC 与 GF 交于点 T. 在三棱台 DEF ? ABC 中， AB ? 2DE, 则 AC ? 2 DF , 而 G 是 AC 的中点，DF//AC，则 DF / /GC , 所以四边形 DGCF 是平行四边形,T 是 DC 的中点，DG//FC. 又在 ?BDC ,H 是 BC 的中点，则 TH//DB， 又 BD ? 平面 FGH ， TH ? 平面 FGH ，故 BD / / 平面 FGH ； （Ⅱ）由 CF ? 平面 ABC ,可得 DG ? 平面 ABC 而 AB ? BC, ?BAC ? 45 , 则 GB ? AC ,于是 GB, GA, GC 两两垂直， 以点 G 为坐标原点， GA, GB, GC 所在的直线 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系， 设 AB ? 2 ,则 DE ? CF ? 1, AC ? 2 2, AG ? 2 , x A G H B y C D E z FB(0, 2, 0), C (? 2, 0, 0), F (? 2, 0,1), H (2 2 ,? , 0) ， 2 2则平面 ACFD 的一个法向量为 n1 ? (0,1,0) ，? 2 2 ? x2 ? y2 ? 0 ? n2 ? GH ? 0 ? FGH 设平面 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ，则 ? ,即 ? 2 ， 2 ? ? ? 2x ? z ? 0 ? n2 ? GF ? 0 ? 2 2取 x2 ? 1 ，则 y2 ? 1, z2 ? 2 ， n2 ? (1,1, 2) ，cos ? n1 , n2 ??1 1 ? ，故平面 FGH 与平面 ACFD 所成角（锐角）的大小为 60 . 1?1? 2 21 (3 ? 3) ? 3 ， 2n 18. 解： （Ⅰ）由 2Sn ? 3 ? 3 可得 a1 ? S1 ?an ? Sn ? Sn ?1 ?1 n 1 (3 ? 3) ? (3n ?1 ? 3) ? 3n ?1 (n ? 2) 2 2而 a1 ? 3 ? 3 ，则 an ? ?? 3, n ? 1, n ?1 ?3 , n ? 1.?1 , n ? 1, ? 3, n ? 1, log 3 an ? ?3 ?? （Ⅱ）由 anbn ? log3 an 及 an ? ? n ?1 可得 bn ? an ?3 , n ? 1. ? n ? 1 , n ? 1. ? ? 3n ?11 1 2 3 n ?1 Tn ? ? ? 2 ? 3 ? ? n ?1 . 3 3 3 3 3 1 1 1 2 3 n ? 2 n ?1 Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 n ?1 Tn ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 n ?1 ? ? 2 ? ( ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ) ? n 3 3 3 3 3 3 3 1 1 ? n 2 n ?1 2 1 3 n ?1 ? ?3 3 ? n ? ? ? ? n n 9 1? 1 3 9 2 2?3 3 3 13 2n ? 1 ? ? 18 2 ? 3n 13 2n ? 1 Tn ? ? 12 4 ? 3n ?119. 解： （Ⅰ）125,135,145,235,245,345； （Ⅱ）X 的所有取值为-1,0,1.P( X ? 0) ?3 2 1 1 2 C8 C4 C4 ? C4 ? C4 2 1 11 ? , P ( X ? ? 1) ? ? , P ( X ? 1) ? ? 3 3 3 C9 3 C9 14 C9 42甲得分 X 的分布列为： X P 0 -1 111 422 1 11 4 EX ? 0 ? ? ? (?1) ? ? 1 ? 3 14 42 21解析： （Ⅰ）由椭圆 C :3 c 3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 可知 e ? ? ，而 2 2 a b a 2a 2 ? b2 ? c 2则 a ? 2b, c ? 3b ，左、右焦点分别是 F1 (? 3b,0), F2 ( 3b,0) ,圆 F1 ： ( x ? 3b)2 ? y 2 ? 9, 圆 F2 ： ( x ? 3b)2 ? y 2 ? 1, 由两圆相交可得 2 ? 2 3b ? 4 ，即交点 ( 1 ? 3b ? 2 ，4 2 2 2 ? 在椭圆 C 上， 则 2 , ? 1? ( ) )， 3b ? 4b 2 3b 3b2 ? 3b) 2 3b ?1， b22 整理得 4b ? 5b ? 1 ? 0 ，解得 b ? 1, b2 ?1 （舍去） 4x2 ? y 2 ? 1. 故 b ? 1, a ? 4, 椭圆 C 的方程为 4（Ⅱ） （ⅰ）椭圆 E 的方程为x2 y 2 ? ?1， 16 4x0 2 y ? y0 2 ? 1 ，射线 PO : y ? 0 x( xx0 ? 0) ， 设点 P( x0 , y0 ) ，满足 4 x0(?2 x0 ) 2 ? (?2 y0 ) 2 x2 y 2 | OQ | ? ? 1 可得点 Q(?2 x0 , ?2 y0 ) ，于是 ? ? 2. 16 4 | OP | x0 2 ? y0 2（ⅱ）点 Q(?2 x0 , ?2 y0 ) 到直线 AB 距离等于原点 O 到直线 AB 距离的 3 倍：| ?2kx0 ? 2 y0 ? m | 1? k|m| 1? k 2? y ? kx ? m ? 2 2 2 2 2 2 ，得 x ? 4(kx ? m) ? 16 ，整理得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ?16 ? 0 ?x y2 ?1 ? ? ?16 4? ? 64k 2m2 ?16(4k 2 ? 1)(m2 ? 4) ? 16(16k 2 ? 4 ? m2 ) ? 0| AB |?1? k 2 16(16k 2 ? 4 ? m2 ) 2 1 ? 4k1 1 | m| | m | 16k 2 ? 4 ? m2 2 2 | AB | d ? ? 3 ? ? 4 16 k ? 4 ? m ? 6 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2m2 ? 16k 2 ? 4 ? m2 ? 6? ? 12 ，当且仅当 | m |? 16k 2 ? 4 ? m2 , m2 ? 8k 2 ? 2 等号成立. 2 2(4k ? 1)x2 ? y 2 ? 1 有交点 P，则 而直线 y ? kx ? m 与椭圆 C： 4? y ? kx ? m 有解，即 x2 ? 4(kx ? m)2 ? 4,(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 有解， ? 2 2 x ? 4 y ? 4 ?其判别式 ?1 ? 64k 2m2 ?16(1 ? 4k 2 )(m2 ?1) ? 16(1 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0 ，即 1 ? 4k ? m ，则上述 m ? 8k ? 2 不成立，等号不成立，|m| 1 ? 4k 2? (0,1] ，则 S? ? 6| m | 16k 2 ? 4 ? m2 ? 6 (4 ? t )t 在 (0,1] 为增函数， 1 ? 4k 2于是当 1 ? 4k ? m 时 S? max ? 6 (4 ?1) ?1 ? 6 3 ，故 ?ABQ 面积最大值为 12. 解： （Ⅰ） f ( x) ? ln( x ? 1) ? a( x ? x) ，定义域为 (?1, ??)f ?( x) ?1 a(2 x ? 1)( x ? 1) ? 1 2ax 2 ? ax ? 1 ? a ? a(2 x ? 1) ? ? ， x ?1 x ?1 x ?1设 g ( x) ? 2ax ? ax ? 1 ? a ， 当 a ? 0 时， g ( x ) ? 1, f ?( x ) ?1 ? 0 ，函数 f ( x) 在 (?1, ??) 为增函数，无极值点. x ?12 2 当 a ? 0 时， ? ? a ? 8a(1 ? a) ? 9a ? 8a ，若0 ? a ? 若a ?8 时 ? ? 0 ， g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0 ，函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 为增函数，无极值点. 98 时 ? ? 0 ，设 g ( x) ? 0 的两个不相等的实数根 x1 , x2 ，且 x1 ? x2 ， 9 1 1 且 x1 ? x2 ? ? ，而 g (?1) ? 1 ? 0 ，则 ?1 ? x1 ? ? ? x2 ， 2 4所以当 x ? (?1, x1 ), g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增； 当 x ? ( x1 , x2 ), g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减；当 x ? ( x2 , ??), g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增. 因此此时函数 f ( x) 有两个极值点； 当 a ? 0 时 ? ? 0 ，但 g (?1) ? 1 ? 0 ， x1 ? ?1 ? x2 ， 所以当 x ? (?1, x2 ), g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递増； 当 x ? ( x2 , ??), g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减. 所以函数只有一个极值点。

综上可知当 0 ? a ?8 8 时 f ( x ) 的无极值点； 当 a ? 0 时 f ( x ) 有一个极值点； 当a ? 9 9时， f ( x ) 的有两个极值点. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知当 0 ? a ?8 时 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递增，而 f (0) ? 0 ， 9则当 x ? (0, ??) 时， f ( x) ? 0 ，符合题意； 当8 ? a ? 1 时， g (0) ? 0, x2 ? 0 ， f ( x) 在 (0, ??) 单调递增，而 f (0) ? 0 ， 9则当 x ? (0, ??) 时， f ( x) ? 0 ，符合题意； 当 a ? 1 时， g (0) ? 0, x2 ? 0 ，所以函数 f ( x ) 在 (0, x2 ) 单调递减，而 f (0) ? 0 ， 则当 x ? (0, x2 ) 时， f ( x) ? 0 ，不符合题意； 当 a ? 0 时，设 h( x) ? x ? ln( x ? 1) ，当 x ? (0, ??) 时 h?( x) ? 1 ?1 x ? ? 0， x ?1 1? xh( x) 在 (0, ??) 单调递增，因此当 x ? (0, ??) 时 h( x) ? h(0) ? 0,ln( x ? 1) ? 0 ，于是 f ( x) ? x ? a( x ? x) ? ax ? (1 ? a) x ，当 x ? 1 ?1 2 时 ax ? (1 ? a) x ? 0 ， a此时 f ( x) ? 0 ，不符合题意. 综上所述， a 的取值范围是 0 ? a ? 1 . 另解： （Ⅰ） f ( x) ? ln( x ? 1) ? a( x ? x) ，定义域为 (?1, ??)f ?( x) ?1 a(2 x ? 1)( x ? 1) ? 1 2ax 2 ? ax ? 1 ? a ? a(2 x ? 1) ? ? ， x ?1 x ?1 x ?11 ? 0 ，函数 f ( x) 在 (?1, ??) 为增函数，无极值点. x ?1当 a ? 0 时， f ?( x ) ?设 g ( x) ? 2ax ? ax ? 1 ? a, g (?1) ? 1, ? ? a ? 8a(1 ? a) ? 9a ? 8a ，当 a ? 0 时，根据二次函数的图像和性质可知 g ( x) ? 0 的根的个数就是函数 f ( x ) 极值点的 个数. 若 ? ? a(9a ? 8) ? 0 ，即 0 ? a ? 无极值点. 若 ? ? a(9a ? 8) ? 0 ，即 a ?8 时， g ( x ) ? 0 ， f ?( x) ? 0 函数在 (?1, ??) 为增函数， 98 或a ? 0 ， 9而当 a ? 0 时 g (?1) ? 0 此时方程 g ( x) ? 0 在 (?1, ??) 只有一个实数根，此时函数 f ( x ) 只 有一个极值点； 当a ? 点； 综上可知当 0 ? a ?8 时方程 g ( x) ? 0 在 (?1, ??) 都有两个不相等的实数根，此时函数 f ( x ) 有两个极值 98 时 f ( x ) 的极值点个数为 0；当 a ? 0 时 f ( x ) 的极值点个数为 1；当 98 时， f ( x ) 的极值点个数为 2. 9（Ⅱ）设函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? a( x2 ? x) ， ?x ? 0 ，都有 f ( x) ? 0 成立. 即 ln( x ? 1) ? a( x ? x) ? 0当 x ? 1 时， ln 2 ? 0 恒成立；ln( x ? 1) ? a ? 0； x2 ? x ln( x ? 1) 2 ? a ? 0 ；由 ?x ? 0 均有 ln( x ? 1) ? x 成立。

当 0 ? x ? 1 时， x ? x ? 0 ， 2 x ?x ln( x ? 1) 1 ? ? (0, ??) ，则只需 a ? 0 ； 故当 x ? 1 时， ， 2 x ?x x ?1 ln(x ? 1) 1 ? ? ( ??, ?1)，则需 ?1 ? a ? 0 ，即 a ? 1 . 综上可知对于 当 0 ? x ? 1 时， 2 x ?x x? 1当 x ? 1 时， x ? x ? 0 ，?x ? 0 ，都有 f ( x) ? 0 成立，只需 0 ? a ? 1 即可，故所求 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 .2 另解：设函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? a( x ? x) ， f (0) ? 0 ，要使 ?x ? 0 ，都有 f ( x) ? 0 成立，只需函数函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增即可， 于是只需 ?x ? 0 ， f ?( x) ? 当x ?1 ? a(2 x ? 1) ? 0 成立， x ?11 1 2 ? (??, 0) ， 时a ? ? ，令 2 x ? 1 ? t ? 0 ， g (t ) ? ? 2 ( x ? 1)(2 x ? 1) t (t ? 3)则 a ? 0 ；当 x ?1 2 1 1 1 时 f ?( ) ? ? 0 ；当 0 ? x ? ， a ? ? ， 2 2 2 3 ( x ? 1)(2 x ? 1)g (t ) ? ? 令 2 x ? 1 ? t ? (?1,0) ，则 a ? 1 ,于是 0 ? a ? 1 .2 2 关于 t ? (?1,0) 单调递增， 则 g (t ) ? g (?1) ? ? ? 1， t (t ? 3) ?1(?1 ? 3)又当 a ? 1 时， g (0) ? 0, x2 ? 0 ，所以函数 f ( x ) 在 (0, x2 ) 单调递减，而 f (0) ? 0 ， 则当 x ? (0, x2 ) 时， f ( x) ? 0 ，不符合题意； 当 a ? 0 时，设 h( x) ? x ? ln( x ? 1) ，当 x ? (0, ??) 时 h?( x) ? 1 ?1 x ? ? 0， x ?1 1? xh( x) 在 (0, ??) 单调递增，因此当 x ? (0, ??) 时 h( x) ? h(0) ? 0,ln( x ? 1) ? 0 ，于是 f ( x) ? x ? a( x ? x) ? ax ? (1 ? a) x ，当 x ? 1 ?1 2 时 ax ? (1 ? a) x ? 0 ， a此时 f ( x) ? 0 ，不符合题意. 综 上 所 述 ，0 ? a ?1