篇一：高考数学最值问题
专题 十六 最值问题
【考点聚焦】
考点1：向量的概念、向量的加法和减法、向量的坐标运算、平面向量的数量积. 考点2：解斜三角形.
考点3：线段的定比分点、平移.
考点4：向量在平面解析几何、三角、复数中的运用.
考点5：向量在物理学中的运用.
【自我检测】
1、求函数最值的方法：配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，图象法，
2、求几类重要函数的最值方法；
（1）二次函数：配方法和函数图像相结合；
（2）f(x)?x?a(a?0,a?R):均值不等式法和单调性加以选择； x
（3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数.
3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，曲函数的最值)
【重点?难点?热点】
问题1：函数的最值问题
函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题.求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等.
例1：(02年全国理1) 设a为实数，f(x)?x?x?a?1(x?R)，
（1）讨论f(x)的奇偶性；（2）求f(x)的最小值．
思路分析：(1)考察f(x)与f(?x)是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证．(2)二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论．
(1)解法一：(利用定义)f(?x)?x＋x?a?1，?f(x)??x?x?a?1.
若f(x)为奇函数，则f(?x)??f(x),即2xx?a?x?a?2?0.此等式对x?R 都不成立，故f(x)不是奇函数；
若f(x)为偶函数，则f(?x)?f(x)，即x＋x?a?1?x?x?a?1,此等式对
222222
x?R恒成立，只能是a?0．
故a?0时，f(x)为偶数；a?0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
解法二：(从特殊考虑)f(0)?a?1, 又x?R，故f(x)不可能是奇函数．
若a?0，则f(x)?f(?x)?x2?x?1，f(x)为偶函数；
若a?0，则f(a)?a2?1,f(?a)?a2?2a?1，知f(?a)?f(a)，故f(x)在a?0时，既不是奇函数又不是偶函数．
22（2）当x?a时，f(x)?x?x?a?1?(x?)?a?1
23，由二次函数图象及其性4
1，函数f(x)在(??,a]上单调递减，从而函数f(x)在(??,a]上的最小值2
1132为f(a)?a?1；若a?，函数f(x)在(??,a]上的最小值为f()?，且224
1f()?f(a)． 2
1232当x?a时，函数f(x)?x?x?a?1?(x?)?a?． 24
1131若a??，函数f(x)在[a,??)上的最小值为f(?)??a，且f(?)?f(a)； 2242
1若a??，函数f(x)在[a,??)上单调递增，从而函数函数f(x)在[a,??)上的最小2质知：若a?
值为f(a)?a?1． 2
1311时，函数f(x)的最小值是?a；当??a?时，函数f(x)2422
132的最小值为a?1；当a?时，函数f(x)的最小值是a?． 24综上所述，当a??
点评：1．研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及f(x)与f(?x)是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证．
2．二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像．当对称轴与所给定义域区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论．
3．本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最值，有些同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论．
演变1：（05年上海）已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、
B,?2?2( 、分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x2－x－6．
(1)求k、b的值;(2)当x满足f(x)> g(x)时,求函数g(x)?1的最小值． f(x)
g(x)?1x2?x?51点拨与提示：由f(x)> g(x)得x的范围，＝＝x+2+－5，用不x?2x?2f(x)
等式的知识求其最小值．
演变2：（05年北京卷）已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a．
（I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
点拨与提示：本题用导数的知识求解．
问题2：三角函数、数列、解析几何中的最值问题
将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法求解．
x2y2
??1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右例2：（05年上海）点A、B分别是椭圆3620
焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA?PF．
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
思路分析：将d用点M的坐标表示出来，
549d2?(x?2)2?y2?x?4x2?4?20?x2?(x?)2?15，然后求其最小值． 992
解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)
????????设点P(x,y),则AP={x+6, y},FP={x－4, y},由已知可得
?x2y2
?13??2 ?3620，则2x+9x－18=0, 解得 x=或x=－6． 2?(x?6)(x?4)?y2?0?
由于y>0,只能x=335353,于是y=．∴点P的坐标是(,) 2222
(2) 直线AP的方程是x－y+6=0．
设点M(m,0),则M到直线AP的距离是m?6
2．
于是m?6
2=m?6,又－6≤m≤6,解得m=2．
椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有
d?(x?2)?y549?x?4x2?4?2?x2??2), ?15992
9由于－6≤m≤6, ∴当x=时,d取得最小值 2222
演变3：（05年辽宁）如图，在直径为１的圆O中，作一关于圆
心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y?x?0．
(Ⅰ) 将十字形的面积表示为?的函数；
(Ⅱ) ?为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
点拨与提示：将十字型面积S用变量?表示出来，转化为三
角函数的极值问题，利用三角函数知识求出S的最大值．
问题3：最值的实际应用
在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值．
例3：（06年江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高
为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如
右图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少
时，帐篷的体积最大？
思路分析：将帐蓬的体积用x表示（即建立目标函数），然后
求其最大值．
解：设OO1为xm，则1?x?4 22由题设可得正六棱锥底面边长为：3?(x?1)?8?2x?x2，（单位：m） 故底面正六边形的面积为：6?
帐篷的体积为： 32（单位：m） ?(?2x?x2)2=?(8?2x?x2)，42
1333(8?2x?x2)[(x?1)?1]?(16?12x?x3)（单位：m3） 322
求导得V'（x）?(12?3x2)． 2
（x）?0，解得x??2（不合题意，舍去）令V'，x?2，
（x）?0，V（x）当1?x?2时，V'为增函数；
（x）?0，V（x）当2?x?4时，V'为减函数．
∴当x?2时，V（x）最大．
3答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为16m． V（x）?
点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力
演变4．（05年湖南）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的
清洁度定义为：1?污物质量）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种物体质量（含污物）
方案可供选择．方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1?a?3)．设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是x?0.8y?ac(x?a?1)．用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中x?1y?ac(0.8?c?0.99)是该物体初次清洗后的清洁度．
（1）分别求出方案甲以及c?0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方法用水量较小．
（2）若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响．
5c?4点拨与提示：设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，x?，y?a(99?100c) 5(1?c)
于是x?y?5c?41?100a(1?c)?a?1，利用均值不等式求最值． +a(99?100c)?5(1?c)5(1?c)
问题4：恒成立问题
不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题．f(x)＞m恒成立，即f(x)min＞m；f(x)<m恒成立，即f(x)max<m．
x2?2x?a,x?[1,??). 例4、已知函数f(x)?x
（1）当a?1时，求函数f(x)的最小值； 2
（2）若对任意x?[1,??),f(x)?0恒成立，试求实数a的取值范围．
思路分析：f(x)＞0恒成立，即f(x)min＞0．
解：（1）当a?111?2,f'(x)?1?2． 时，f(x)?x?22xzx
? x?1， ?f/(x)?0．
? f(x)在区间[1,??)上为增函数．
? f(x)在区间[1,??)上的最小值为f(1)?
（也可用定义证明f(x)?x?7． 21?2在[1,??)上是减函数） 2x
篇二：2014高考数学公式大全(最全面,最详细)
2014高考数学公式大全（最全面，最详细）
抛物线：y = ax *+ bx + c
就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c
a > 0时开口向上
a < 0时开口向下
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y = a（x+h）* + k
就是y等于a乘以（x+h）的平方+k
-h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程:y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3)
面积=(pi)(r^2)
周长=2(pi)r
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
（一）椭圆周长计算公式
椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。
（二）椭圆面积计算公式
椭圆面积公式： S=πab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。
椭圆形物体 体积计算公式椭圆 的 长半径*短半径*PAI*高 三角函数：
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+??+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+??+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
四倍角公式：
sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)
tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)
五倍角公式：
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)
六倍角公式：
sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))
cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))
tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)
七倍角公式：
sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))
cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))
tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：
sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))
cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)
tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)
九倍角公式：
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))
an9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)
十倍角公式：
sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))
cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))
0A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)
2万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+?+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+?+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+?+(2n)=n(n+1)
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+?+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+?n^3=(n(n+1)/2)^2
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+?+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角
乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韦达定理
判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根
b2-4ac>0 注：方程有两个不相等的个实根
b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根
公式分类 公式表达式
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h
正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r
锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长
柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
图形周长 面积 体积公式
长方形的周长=（长+宽）32
正方形的周长=边长34
长方形的面积=长3宽
正方形的面积=边长3边长
三角形的面积
已知三角形底a，高h，则S＝ah/2
已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S＝ √[p(p - a)(p - b)(p - c)] （海伦公式）（p=(a+b+c)/2）
和：（a+b+c)*(a+b-c)*1/4
已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝absinC/2
设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r
则三角形面积=(a+b+c)r/2
设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r
则三角形面积=abc/4r
已知三角形三边a、b、c,则S＝ √{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积” 南宋秦九韶）
| a b 1 |
S△=1/2 * | c d 1 |
| e f 1 |
【| a b 1 |
| c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC
| e f 1 |
选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面
篇三：2014年天津市高考数学试卷(理科)
2014年天津市高考数学试卷（理科）
2014年天津市高考数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分） 1．（5分）（2014?天津）i是虚数单位，复数=（ ）
2．（5分）（2014?天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数
z=x+2y的最小值为（ ）
3．（5分）（2014?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（
）
2
（x﹣4）的单调递增区间为（ ）
4．（5分）（2014?天津）函数f（x）=log5．（5分）（2014?天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线
l：y=2x+10，双曲线的一
6．（5分）（2014?天津）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：
2
①BD平分∠CBF；
②FB=FD?FA； ③AE?CE=BE?DE； ④AF?BD=AB?BF．
所有正确结论的序号是（
）
8．（5分）（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边
BC、DC上，BE=λBC，DF=μDC，若?=1，
?
=﹣，则λ+μ=（ ）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）（2014?天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 _________ 名学生．
10．（5分）（2014?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m．
3
11．（5分）（2014?天津）设{an}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为 _________ ．
12．（5分）（2014?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．13．（5分）（2014?天津）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为 _________ ．
14．（5分）（2014?天津）已知函数f（x）=|x+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为 _________ ．
三、解答题（共6小题，共80分）
15．（13分）（2014?天津）已知函数f（x）=cosx?sin（x+（Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在闭区间
[﹣
，
]上的最大值和最小值．
）﹣
cosx+
2
2
，x∈R．
16．（13分）（2014?天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率； （Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）（2014?天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点． （Ⅰ）证明：BE⊥DC； （Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值； （Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P
的余弦值．
18．（13分）（2014?天津）设椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，
已知|AB|=
|F1F2|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段(本文来自：www.dXF5.com 东 星资 源 网:最高考数学)PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．19．（14分）（2014?天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnq，xi∈M，i=1，2，…n}． （Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A； （Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anq＜t．
n﹣1
n﹣1
，t=b1+b2q+…+bnq
n﹣1
，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．证明：若an＜bn，则s
20．（14分）（2014?天津）设f（x）=x﹣ae（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2． x
（Ⅰ）求a的取值范围； （Ⅱ）证明：
随着a的减小而增大；
（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．