篇一：高考圆锥曲线经典大题
圆锥曲线经典大题
1.已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于B、C两点．当
1→＝4AB→.
直线l的斜率是时，AC
2
(1)求抛物线G的方程；
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
2.如图，已知F(1，0)，直线l:x??1，点P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且QP?QF?FP?FQ．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程。
（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M．
MA??1AF，MB??2BF，求?1??2的值；
MA?MB的最小值． （1）已知（2）求
3.设点F是抛物线G:x2=4y的焦点.
（1）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线的方程；
?0,分别延长（2）设A，B为抛物线G上异于原点的两点，且满足·
AF，BF交抛物线G于C,D两点，求四边形ABCD面积的最小值.
4.设抛物线方程为x2?2py(p?0)，M为直线y??2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
?2p)时，AB? （Ⅱ）已知当M点的坐标为(2，
x2y2
5.设椭圆M:2?
?1a?的右焦点为F1，直线l:x?
a2
?a2a?2
2
与x轴交于点
． A，若OF1?2AF1?0（其中O为坐标原点）
（1）求椭圆M的方程；（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆，求PE?PF的N:x2??y?2??1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点）
2
最大值．
篇二：2015年高考数学圆锥曲线综合题型归纳解析
圆锥曲线综合题型归纳解析
【知识点精讲】 一、定值问题
解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量——函数——定值”，具体操作程序如下：
（1）变量——选择适当的量为变量；
（2）函数——把要证明为定值的量表示成变量的函数； （3）定值——化简得到函数的解析式，消去变量得到定值。 求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊情况入手，求出定值，在证明定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定值。
二、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形的性质来解决。 （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，在求该函数的最值。求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法、和三角换元等，这是代数法。
三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”
（1）重视定义在解题中的应用（优先考虑）；
（2）重视曲线的几何特征特别是平面几何的性质与方程的代数特征在解题中的作用； （3）重视根与系数的关系（韦达定理）在解题中的应用（涉及弦长、中点要用）。
四、求参数的取值范围
根据已知条件及题目要求建立等量或不等量关系，再求参数的范围。 题型一、平面向量在解析几何中的应用
【思路提示】解决平面向量在解析几何中的应用问题要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示。常见的应用有如下两个：
（1）用向量的数量积解决有关角的问题：
??
①直角?a?b?1xxyy0；
2?12?
??
a?b
②钝角??1??
|a|?|b|??a?b
③锐角?0??
|a|?|b|
?0；
?1。
（2）利用向量的坐标表示解决共线、共面问题。
一、利用向量的数量积解决有关夹角（锐角、直角、钝角）的问题
其步骤是：弦写出向量的坐标形式，再用向量积的计算公式
??
??a?bcos?a,b???
|a|?|b|
。
【例10.44】过抛物线x2?2py(p?0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，O为坐标原点.求证：?ABO是钝角三角形.
【评注】若直线l与抛物线x2?2py(p?0)交于A,B两点，则： （1）直线l在y轴上的截距等于2p时，?AOB?90； （2）直线l在y轴上的截距大于2p时，?AOB?90； （3）直线l在y轴上的截距大于0且小于2p时，?AOB?90。
变式1 如题（20）图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且?AB1B2是面积为4的直角三角形 （1）求该椭圆的离心率和标准方程
（2）过B1作直线l交椭圆于P、Q两点，使PB2?QB2,求直线l的方程
00
x2y2
??1的左、变式2 设A,B分别为椭圆右顶点，P为43
直线x?4上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP,BP分别与椭圆交于异于A,B的点
M,N.证明：点B在以MN为直径的圆内。
m2x2
?0，椭圆C:2?y2?1，F1,F2分别为椭圆C的变式3 已知m＞1，直线l:x?my?2m
左、右焦点.（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A,B两点，VAF1F2，VBF1F2的重心分别为G,H.若原点
O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.
【例10.45】在平面直角坐标系中，点P
到两点(0,的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y?kx?1与C交于A,B两点
.
（1）求C的方程；（2）若OA?OB，求k的值.
x2y2
变式1 椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右、上、下顶点为A1,A2，焦点为F1,F2，
B1,B2，
ab
|A1B2|?S?B1A1B2A2?2S?B1F1B2F2.（1）求椭圆C的方程；（2）设m为过原点的直线，直????
线l与椭圆C交于A,B两点，且m?l,m?l?P，|OP|?1，是否存在上述直线l使
????????OA?OB?0成立，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。
x2y2
变式2 椭圆C:2?2?1(a?b?0)的一个焦点是F(1,0)，O为原点坐标。设过点F的
ab
直线l交椭圆于A,B两点，若直线l交绕点F任意转动，恒有|OA|?|OB|?|AB|，求实数a的取值范围。
二、利用向量的坐标表示解决共线问题
2
2
2
???? a,b共线?a??或b1x2y???
，其中=(a，，b(2x 2).y2x1y1x)1,y=
x2
?y2?1有【例10.46】在平面直角坐标系中，
经过点且斜率为k的直线l与椭圆2
两个不同的交点P,Q。（1）求k的取值范围；（2）设A,B是椭圆的右顶点和上顶点，是
????????????
否存在常数k，使OP?OQ与AB共线？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由。
x2y2变式1 设椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右焦点为F1,F
2，离心率e?，直线
ab????????????????????a2
l:x?，M,N是l上的两个动点，FM（1）
若|F求a,b?F2N?0。11M|?|F2N|?c???????????????
的值；（2）证明：当|MN|取最小值时，FM?F2N与F1F2共线。 1
????????x22
?y?1上的两点，并且点N(?2,0)满足NA??NB，当【例10.47】设A,B是椭圆2
??[,]时，求直线AB斜率的取值范围。
x2y2
??1的左、变式1 已知F1,F2分别为椭圆右焦点，直线l1过F1且垂直于椭圆的长轴，32
动直线l2垂直于直线l1，垂足为D，线段DF2的垂直平分线交l2于点M。
11
53
（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过点F1作直线交C于P,Q两个不同点，设
??????????????????F1P??FQF2Q的取值范围。 1，若??[2,3]，求F2P?
变式2 过点F(1,0)的直线交抛物线y2?4x于A,B两点，交直线l:x??1于点M，已知
????????????????
MA??1AF,MB??2BF，求?1??2的值。
题型二、定点问题
【思路提示】（1）直线过定点，由对称性知定点一般在坐标轴上，如直线y?kx?b(k?0)过定点(?
b
,0)；（2）一般曲线过定点，把曲线方程变为f1(x,y)??f2(x,y)?0(?为参数)， k
解方程组?
?f1(x,y)?0
，即得定点。
?f2(x,y)?0
模型一：三大曲线的顶点直角三角形的斜边所在的直线过定点。
x2y2
??1，直线l:y?kx?m与椭圆交于A,B两点（A,B非【例10.48】已知椭圆C：43
顶点），且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点。求证直线l过定点，并求定点坐标。
x2y2
【评注】已知椭圆C：C:2?2?1(a?b?0)，直线l:y?kx?m与椭圆交于A,B两
ab
a(a2?b2)
,0)；点（A,B非顶点），①若以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线l过定点(2 2
a?ba(a2?b2)
,0)； ②若以AB为直径的圆过椭圆的左顶点，则直线l过定点(?
a2?b2b(b2?a2)
)； ③若以AB为直径的圆过椭圆的上顶点，则直线l过定点(0,22
a?bb(b2?a2)
)； ④若以AB为直径的圆过椭圆的下顶点，则直线l过定点(0,?
a2?b2
x2y2
⑤类比椭圆，对于双曲线2?2?1(a?0,b?0)上异于顶点的两动点A,B，若以AB为
aba(a2?b2)
,0) 直径的圆过椭圆的右顶点，则直线l过定点(2
2
a?b
x2y2
⑥类比椭圆，对于双曲线2?2?1(a?0,b?0)上异于顶点的两动点A,B，若以AB为
ab
?a(a2?b2)
,0)。 直径的圆过椭圆的左顶点，则直线l过定点(
a2?b2
x2
?y2?1的左顶点为A，不过A的直线l:y?kx?b与椭圆交于不同的变式1 已知椭圆4
????????
两点P,Q.当AP?AQ?0时，求k与b的关系，并证明直线l过定点。
变式2 已知焦点在x轴上的椭圆C过点(0,1)
，且离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）已知过点(?
,Q为椭圆C的左顶点. 2
6
,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点. 5
（ⅰ）若直线l垂直于x轴，求?AQB的大小;
（ⅱ）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得?QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由.
【例10.49】已知抛物线y?2px(p?0)上异于顶点的两动点A，B满足以AB为直径的圆过顶点.求证：直线AB过定点，并求出定点坐标。
【评注】（1）①将斜率存在的直线设为y?kx?b，将直线斜率不为0的直线设为x?ty?m；
2
y12y22②抛物线y?2px(p?0)中x1x2?y1y2??y1y2； 2
4p
2
③对于过定点问题，必须引入参数，最后令参数的系数为0。
（2）抛物线y?2px(p?0)上异于顶点的两动点A，B满足OA?OB，则直线AB过定点(2p,0)；抛物线x?2py(p?0)上异于顶点的两动点A，则直线ABB满足OA?OB，过定点(0,2p)。
变式1 如图10-39所示，已知定点P(x0,y0)在抛物线y?2px(p?0)上，过点P作两直线l1,l2分别交抛物线于A，B两点，且以AB为直径的圆过点P.求证：直线AB过定点，并求定点坐标。
2
2
2
篇三：历年高考数学圆锥曲线试题汇总
高考数学试题分类详解——圆锥曲线
一、选择题
x2y2
1.设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C )
ab
（A
（B）2（C
（D
x2
?y2?1的右焦点为F,右准线为l，2.已知椭圆C:点A?l，线段AF交C于点B，若FA?3FB,2
则|AF|=
(A).
(B). 2
(D). 3
x2y2
3.过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右顶点A作斜率为?1的直线，该(本文来自：www.dXF5.com 东 星资 源 网:高考数学圆锥曲线大题)直线与双曲线的两条渐近线
ab
1
的交点分别为B,C．若AB?BC，则双曲线的离心率是 ( )
2
A
B
C
D
x2y2
4.已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF?x轴， 直
ab
线AB交y轴于点P．若AP?2PB，则椭圆的离心率是（）
A
11 B
C．D．
322
5.点P在直线l:y?x?1上，若存在过P的直线交抛物线y?x于A,B两点，且
|PA?|AB|，则称点P为“
A．直线l上的所有点都是“B．直线l上仅有有限个点是“C．直线l上的所有点都不是“
点”，那么下列结论中正确的是（ ） 点” 点” 点”
点”
D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“
x2y22
6.设双曲线2?2?1的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为
ab
( ).
A.
5 B. 5C. D.5 42
2
7.设斜率为2的直线l过抛物线y?ax(a?0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).
A.y2??4x B.y2??8x C. y2?4x D. y2?8x
x2y2
??1的渐近线与圆(x?3)2?y2?r2(r?0)相切，则r= 8.双曲线63
（A） （B）2 （C）3 （D）6
9.已知直线y?k(x?2)(k?0)与抛物线C:y2?8x相交A、B两点，F为C的焦点。若?2FB,则k=
(A)
12222(B) (C)(D) 3333
10.
22x2y2x2y2x2y2xy（A）? （B） （C） （D）?1??1??1??1
244246410
11.
A. B. C.
D.
12.直线过点（-1，2）且与直线垂直，则的方程是 A．C.
B.D.
x2y2
13.设F，F2，P(0,2b)是正三角形的三个1和F2为双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点, 若F1
ab
顶点,则双曲线的离心率为
A．
35
B．2 C． D．3 22
x2y2
P，F2为右焦点，若14.过椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点
ab
?F1PF2?60，则椭圆的离心率为
A
11B
C． D．
23x2y2
15.设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
ab
A y??2xB y??2xC y??
12
xDy??x
22
x2y2x2y2
??1的准线过椭圆?2?1的焦点，则直线y?kx?2与椭圆至多有一个交16.已知双曲线
224b
点的充要条件是
A. K???,? B. K????,??
222
?11????
?
1???1?,??? ??
2?????? 2??
?
?C. K??? D. K?????,?222?
???
x2y2
??1(b?0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y?x，点17.已知双曲线
2b2
P(,y0)在双曲线上.则PFPF2＝ 1·
A. －12 B. －2C.0 D. 4
18.已知直线y?k?x?2??k?0?与抛物线C:y2?8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若
|
FA|?2|FB|，则k?
A.
12
C.D. 33x2y2
19.已知双曲线C2?2
?1?a?0,b?0?的右焦点为F,过FC于A、B两
ab
点，若AF?4FB,则C的离心率为
A．
6759 B. C. D. 5585
2
20.抛物线y??8x的焦点坐标是【】
A．（2，0） B．（- 2，0） C．（4，0） D．（- 4，0）
21.已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为 （A）(x?1)?(y?1)?2(B) (x?1)?(y?1)?2 (C) (x?1)?(y?1)?2 (D) (x?
1)?(y?1)?2
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
22.双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为
412
（A）
（B）2（C （D）1
23.设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线?的方程为_____________.
24.过原点且倾斜角为60?的直线被圆学x2?y2?4y?0所截得的弦长为 （A
（B）2 （C
D）
25.“m?n?0”是“方程mx2?ny2?1”表示焦点在y轴上的椭圆”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
x2y2
??1(b?0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y?x，点26.已知双曲线
2b2
P(,y0)在双曲线上.则PFPF2＝ 1·
A. －12 B. －2C.0 D. 4
x2y22
1相切，则该双曲线的离心率等于 27.设双曲线2－2＝1?a＞0，b＞0?的渐近线与抛物线y＝x＋
ab
（A
（B）2 （C
（D
x2
?y2?1的右焦点为F,右准线l，点A?l，线段AF交C于点B。若FA?3FB,28.已知椭圆C:2
则AF=
(A)
(B) 2
(C) (D) 3
x2y2x2y2
??1的准线经过椭圆?2?1（b＞0）的焦点，则b= 29.已知双曲线224b
A.3 B. C.3D.2
30.设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M
0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，BF=2，则?BCF与?ACF的面积之比
S?BCF
= S?ACF
（A）
4241
（B）（C） （D） 5372
x2y2
?2?1(b?0)的左右焦点分别为F1,F2，其一条渐近线方程为y?x，
点31.已知双曲线
2b
Py0)在该双曲线上，则PF1?PF2=
A. ?12B. ?2C .0D. 4
32.已知直线l1:4x?3y?6?0和直线l2:x??1，抛物线y?4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是
A.2 B.3 C.
2
1137 D. 516
33.已知圆C1：(x?1)2+(y?1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x?y?1?0对称，则圆C2的方程为 （A）(x?2)2+(y?2)2=1（B）(x?2)2+(y?2)2=1 （C）(x?2)2+(y?2)2=1（D）(x?2)2+(y?2)2=1
x2y2
34.若双曲线2?2?1?a?o?的离心率为2，则a等于
a3
A. 2
B.
C.
3
D. 1 2
35.直线y?x?1与圆x2?y2?1的位置关系为（ ） A．相切 B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心
D．相离
??x?(?1,1]
36.已知以T?
4为周期的函数f(x)??，其中m?0。若方程3f(x)?x恰有5
??1?x?2,x?(1,3]
个实数解，则m的取值范围为（ ）
A
．8) 3
B
． C．(,)
4833
D
．(
43
37.圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A．x2?(y?2)2?1 B．x2?(y?2)2?1 C．(x?1)2?(y?3)2?1
2
2
D．x2?(y?3)2?1
?AOB38.过圆C：作直线分别交x、y正半轴于点A、B，(x?1)?(y?1)?1的圆心，
被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S??S￥?S??S|||,则直线AB有（） （A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条
二、填空题
1.若⊙O1:x2?y2?5与⊙O2:(x?m)2?y2?20(m?R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 w
2.若直线m被两平行线l1:x?y?1?0与l2:x?y?3?0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是 ①15②30③45④60 ⑤75
其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）
3.若圆x?y?4与圆x?y?2ay?6?0（a>0）的公共弦的长
为，则
2
2
2
2
a?___________。
4.过原点O作圆x2+y2-－6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为 。