篇一：2009年高考全国卷2数学(理)解析版
2009年全国卷Ⅱ理科数学试题解析
一选择题： 1.
10i2-i
?
A. -2+4i
10i(2+i)(2-i)(2+i)
B. -2-4i ??2?4i.故选A.
C. 2+4i D. 2-4i
解：原式?
2. 设集合A??x|x?3?,B??x|
?
?
?
?0?，则A?B= x?4?
x?1
A. ?
??
x?1
B. ?3,4? C.??2,1? D. ?4.???
解：B??x|
?
?0???x|(x?1)(x?4)?0???x|1?x?4?.?A?B?(3,4).故选B. x?4?
125
513
3. 已知?ABC中，cotA??
A.
1213
， 则cosA? ，?A?
(
B.C.??
2,?).
513
D. ?
1213
解：已知?ABC中，cotA??
125
cosA??????
1213
故选D.
4.曲线y?
x2x?1
在点?1,1?处的切线方程为
A. x?y?2?0 B. x?y?2?0 C.x?4y?5?0 D. x?4y?5?0
解：y?|x?1?
2x?1?2x(2x?1)
2
|x?1?[?
1(2x?1)
2
]|x?1??1,
故切线方程为y?1??(x?1),即x?y?2?0 故选B.
E为AA1中点，5. 已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB，则异面直线BE与CD1所
成的角的余弦值为
A.
10
B.
15
C.
10
D.
35
解：令AB?1则AA1?2,连A1B?C1D∥A1B ?异面直线BE与CD1所成的角即A1B
与BE所成的角。在?
A1BE中由余弦定理易得cos?A1BE?6. 已知向量a??
2,1?,a?b?10,|a?b|?，则|b|?
A.
10
。故选C
D. 25
B. C.5
????????
2222
解：?50?|a?b|?|a|?2a?b?|b|?5?20?|b|?|b|?5。故选C
7.
设a?log3?,b?log2
A. a?b?c
?log2?
c?log3
C. b?a?c
D. b?c?a
B. a?c?b?log2
3
解
：?log3
log2
b?c
?a
?b
log?22
??
lo?g3?l?oag?b3
?.故选A. c
?
6
8. 若将函数y?tan??x?
??
4?
0的图像向右平移?????
个单位长度后，与函数
???
y?tan??x??的图像重合，则?的最小值为
6??
A．
16
B.
14
?
C.
13
D.
12
??向右平移6个单位??????
解：y?tan??x?????????y?tan[?(x?)?]?tan??x??
4?646???
?
?
4
?
?
6
??k??
?
61
???6k?
12
(k?Z)，
又???0??min?
2
.故选D
2
9. 已知直线y?k?x?2??k?0?与抛物线C:y?8x相交
于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|?2|FB|，则k?
13
A.
B.
3
C.
23
D.
3
2
解：设抛物线C:y?8x的准线为l:x??2直线
y?k?x?2??k?0?恒过定点P??2,0? .如图过A、B分 别作AM?l于M,BN?l于
N, 由|FA|?2|FB|,则|AM|?2|BN|,点B为AP的中点.连结OB,则|OB|?
12|AF|,
?|OB|?|BF| 点B的横坐标为1, 故点B
的坐标为(1,?k?
?01?(?2)
?
3
, 故
选D
10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共
有
A. 6种 B. 12种 C. 30种D. 36种
解：用间接法即可.C42?C42?C42?30种. 故选C
xy
11. 已知双曲线C2?2?1?a?0,b?0?的右焦点为F,过F
且斜率为C于
ab
A、B两点，若AF?4FB,则C的离心率为
22
A．
65
B.
75
C.
2
2
58
D.
95
xy
解：设双曲线C2?2?1的右准线为l,过A、B分 别
ab
作AM?l于M,BN?l于N, BD?AM于D,由直线AB的斜率
为
,知直线AB的倾斜角为
12|AB|,
60???BAD?60?,|AD|?
由双曲线的
1
第二定义有
|AM|?|BN|?|AD|?
e
????11????
?|AB|?(|AF|?|FB|). 22
?????15???6
又?AF?4FB??3|FB|?|FB|?e? 故选A
e25
????????(|AF|?|FB|)
12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、
北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得
到右侧的平面图形，则标“?”的面的方位是 A. 南 B. 北 C. 西
D. 下
解：展、折问题。易判断选B
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。
13. ?
4
的展开式中xy的系数为
33
解
：C4?6
2
wwwk5uom?
4
?xy
22
4
，只需求4
展开式中的含xy项的系数：
S9S5
?14. 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若a5?5a3则
解：??an?为等差数列，?
S9S5
?
9a55a3
?9
15.设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得
7?
到圆C。若圆C的面积等于，则球O的表面积等于 8?.
4
解：设球半径为R，圆C的半径为r，由4?r?
2
R2
4
4
2
7?4
2
,得r?
2
74
2
.
因为OC?
积等于8?.
?
R。由R?2
R)?r?
2
18
R?
74
得R2?2.故球O的表面
16. 已知AC、BD为圆O:x2?y2?
4的两条相互垂直的弦，垂足为M1,,则四边形
ABCD的面积的最大值为。
22
解：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2,则d1+d2?OM
2
??3.
2
2
四边形ABCD
的面积S?
12
|AB|?|CD|??8?(d1?d2)?5
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分10分）
C的对边长分别为a、b、cos(A?C)?cosB?c，设?ABC的内角A、B、
32
，b?ac，
2
求B。
s?(C?)分析：由coA
3
Bco，s易想到先将B???(A?C)代入2
coAs?(C?)
34
33
Bcocos(A?C)?cos(A?C)?得s然后利用两角和与差的余弦公式展22。
开得sinAsinC?
2
；又由b?ac，利用正弦定理进行边角互化，得sinB?sinAsinC，
?
3
2?3
2?3
22
进而得sinB?.故B?或12
。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当B?
32
时，
由cosB??cos(A?C)??，进而得cos(A?C)?cos(A?C)??2?1，矛盾，应舍去。
也可利用若b2?ac则b?a或b?c从而舍去B?评析：本小题考生得分易，但得满分难。 18（本小题满分12分）
2?3
。不过这种方法学生不易想到。
如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE?平面BCC1（I）证明：AB?AC
（II）设二面角A?BD?C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小。
（I）分析一：连结BE，?ABC?A1B1C1为直三棱柱， ??B1BC?90?,
?E为B1C的中点，?BE?EC。又DE?平面BCC1，
?BD?DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA?平面ABC，
?AB?AC（相等的斜线段的射影相等）。
分析二：取BC的中点F，证四边形AFED为平行四边形，进而证AF∥DE，
AF?BC，得AB?AC也可。
分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。
（II）分析一：求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可。
作AG?BD于G，连GC，则GC?BD，?AGC为二面角A?BD?C的平面角，
?AGC?60?.不妨
设AC?，则AG?2,GC?4.在RT?ABD中，由AD?
AB?
AD?B?
D，易得A.
设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面
BCD13
所成
13
的角为?。利用
S?B1BC?DE?
S?BCD?h，可求得h
?又可
??求得B1C? sin
hB1C
?
12
???3?0 .
即B1C与平面BCD所成的角为30?.
分析二：作出B1C与平面BCD所成的角再行求解。如图可证得BC?面AFED，所以面AFED?面BDC。由分析一易知：四边形AFED为正方形，连AE、DF，并设交点为O，则EO?面BDC，?OC为EC在面BDC内的射影。??ECO即为所求
。
篇二：2009年高考试题全国卷2(理科数学) 全解全析
2009年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国2卷）全解全析
一、选择题 1、
10i
= 2?i
（A）-2+4i (B) -2-4i (C) 2+4i (D)2-4i 【答案】A
【解析】运用复数基本运算化为复数代数形式 2、设集合A=｛x｜x?3｝，B＝｛x｜
x?1
?0｝则A?B= x?4
（A）? （B） （3，4） （C） （-2，1） （D） （4+?） 【答案】B
【解析】解分式不等式并求交集
12
,则cosA= 5
125512（A） （B） （C）? (D)?
13131313
3、已知?ABC中，cotA=?【答案】D
12?512
,?A??，排除（A）、（B）；若cosA??，则sinA? 521313cosA5
??与题设不符，排除（C），故选D 则cotA?
sinA1212513?tanA???secA???tan2A??， 或由cotA=?51212
112
?? ∴cosA?
secA13
【解析】由cotA=?
【易错提醒】同角三角函数基本关系并注意所在象限的符号 4、.曲线y=
x
在点（1，1）处的切线方程为 2x?1
（A）x-y-2=0 (B)x+y-2=0 (C)x+4y-5=0 (D)x-4y-5=0 【答案】B 【解析】y'?
1?(2x?1)?x?2?1
，切线的斜率k?y'?
(2x?1)2(2x?1)2
x?1?
?1
??1
(2?1?1)2
∴切线方程为y?1??(x?1)?x?y?2?0
5.、已知正四棱柱ABCD?AE为AA1中点，则异面直线BE与CD1AA1?2AB，1BC11D1中，所成角的余弦值为 （A
）
13 (B)
(C) (D)
551010
A1
D1
BC1
【答案】C
【解析】如图，取DD1的中点F，连接CF，则CF∥BE， ∴∠D1CF为所求。设AB＝1，则CF?由余弦定理得：
F E
2.CD1?5，FD1＝1
A
B
cos?D1CF?
(2)?()?12?2?5
22
?
62?
。故选C 10
6.、已知向量a?(2,1)，a?b?
10,|a?b|?则b? （A
(B) 【答案】C
【解析】
由|a?b|?两边平方得：a?b由向量a?(2,1)∴a5?20?b
2
2
2
(C) 5 (D) 25
?(52)2?a?2a?b?b?50
22
?5，又a?b?10，代入上式得：
2
?50?b?25?b?5
7、设a?log3?，b?log2，c?log32则
(A) a＞b＞c(B) a＞c＞b (C) b＞a＞c(D) b＞c＞a 【答案】A
【解析】∵??3，∴log3??1，即a＞1；又1??2,1?∴0?log2又∵log2
2?3
3?1,0?log32?1，即0＜b＜1，0＜c＜1.于是a最大 3?log33?log32∴b＞c故选A
【备考提示】对数值（指数值）比较大小，（1）底同真不同，用单调性；（2）真同底不同，利用图象（当底数大于1时，底数越大图象越靠近坐标轴）；（3）底数真数都不同，找中
间值。
8、若将函数y?tan(?x?
?
4
)(?＞0)的图像向右平移
?
个单位长度后，与函数 6
y?tan(?x?
（A）
?
6
)的图像重合，则?的最小值为
1111 (B) (C) (D) 6432
【答案】D
（x?【解析】由?
∴??
?
6
）?
?
4
??x?
?
6
?k?????
?
6
?
?
4
?
?
6
?k?
11
?6k，∵??0，∴当k取0时?的最小值是
22
9、已知直线y?k(x?2)(k＞0)与抛物线C:y2?8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若FA?2FB,则k=
（A）
12
(B) (C)
(D) 33【答案】D
?y2?8x【解析】由??k2x2?(8?4k2)x?4k2?0，
?y?k(x?2)
8?4k28
x1?x2???4 （1） 22
kk
x1x2?4 （2）
又由FA?2FB及抛物线的定义知x1?2?2(x2?2) （3）
由（2）、（3）联解，2(x2?1)x2?4?x2?x2?2?0?(x2?2)(x2?1)?0 解得x2?1?x1?4代入（1）解得k??
2
22
3
22
选D 3
∵二次方程的??(4k?8)?16k?0??1?k?1，股k?
224
由一元二次根系关系出x1?x2,x1x2，由抛物线定义出x1?2?2(x2?2)，三式联立得k 10、甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙(本文来自：WWw.DXF5.com 东 星 资 源 网:2009全国高考数学2)所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
（A）6种（B）12种（C）30种 （D）36种 【答案】C
111
【解析】解法一、（直接法）（1）甲、乙有一门不同，则另一门相同，有C4C3C2=24 22 （2）甲、乙有两门不同，有C4C2＝6
所以共有24＋6＝30种
22解法二、（间接法）甲、乙各选两门有C4C4＝36（种），甲、乙所选两门都相同， 2 有C4＝6（种） 所以36－6＝30（种）
y211、已知双曲线C:2?2?1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F
C
ab
于A、B两点，若AF?4FB，则C的离心率为 （A）【答案】A
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),F(c,0)，由AF?4FB得(c?x1,?y1)?4(x2?c,y2)?
?2
6789 （B） （C）（D） 5555
3a2
（2）.（1）、c?x1?4(x2?c)?x1?4x2?5c（1），又由焦半径得x1?4x2??c5c5?3a25c2?3a2
（2）联解得x1?，x2?；又，设直线AB的方程为y?(x?c)代
8c2c
入双曲线方程整理得(b?3a)x?6acx?(3ac?ab)?0，所以有
2
2
2
2
22
2
2
6a2c6a2c6a2c
（3），将x1、x2代入（3）式得 x1?x2?2??
3a?b23a2?(c2?a2)4a2?c2
25c2?9a26a2c
?2?48a2c2?(25c2?9a2)(4a2?c2) 2
8c4a?c
?36a4?61a2c2?25c2?0?(36a2?25c2)(a2?c2)?0，
因为c?a，所以a?c?0，
2
2
c236c6
?e?? 所以36a?25c?0?36a?25c?2?25a5a
2
2
2
2
△
上
东
12、纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为 上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方 体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标
“?”的面的方位是
（A）南（B）北（C）西 （D） 【答案】B
【解析】将展开图还原成正方形，按图上所示，中间横排四个方格从右到左依次是 东?上?西?下，于是，上图下方方格必是南，带“△”的方格必是北，故选B 【高考考点】空间想象能力和几何体展开图的还原能力。 二、填空题
13.
、(4的展开式中x3y3的系数为【答案】6
rr【解析】Tr?1?C4(xy)4?r?(?yx)r?(?1)rC4x
4?r
2
?y
2?
r2
。
由题意4?
rr2?2??3?r?2，故系数为(?1)2C4?6 22
14.、设等差数列{am}的前n项和为Sn，.若a5?5a3，则【答案】9
【解析】由a5?5a3,得4a1?6d?0，?d??
S9
＝ . S5
2a1 3
2
9a1?36?(?a1)
S9a?36d?15a13 ∴9?1???15??9
25S55a1?10d5
5a1?10?(?a1)?a1
33
15、设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成45角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于【答案】8?
【解析】由小圆面积得小圆的r?交小圆C于N，连接ON.
∵OM?
2
?
7?
,则球O的表面积等于4
7
，如图，连接MC并延长 4
N
RR2,?OMC?450，∴OC???2222R
， 4
篇三：2009年全国高考理科数学试题及答案-全国2卷
2009年全国高考理科数学试题及答案（全国卷Ⅱ）
（贵州省）
一、选择题： 1.
10i
? 2-i
A. -2+4i
B. -2-4i
C. 2+4i
D. 2-4i
解：原式?
10i(2+i)
??2?4i.故选A.
(2-i)(2+i)
2. 设集合A??x|x?3?,B??x|
A. ?
??x?1?
?0?，则A?B= x?4?
C.??2,1?
D. ?4.???
B. ?3,4?
解：B??x|
?
?x?1?
?0???x|(x?1)(x?4)?0???x|1?x?4?.?A?B?(3,4).故选B. x?4?
12
， 则cosA? 5
1255
A. B. C.?
131313
?12
解：已知?ABC中，cotA??，?A?
(,?).
25
3. 已知?ABC中，cotA??
D. ?
12
13
cosA????
12
故选D. 13
4.曲线y?
x
在点?1,1?处的切线方程为 2x?1
A. x?y?2?0 B. x?y?2?0 C.x?4y?5?0 D. x?4y?5?0
解：y?|x?1?
2x?1?2x1
|?[?]|??1, x?122x?1
(2x?1)(2x?1)
故切线方程为y?1??(x?1),即x?y?2?0 故选B.
E为AA1中点，5. 已知正四棱柱ABCD?A则异面直线BE与CD1，1BC11D1中，AA1?2AB
所成的角的余弦值为
A.
10
B.
1
5
C.
10
D.
3 5
BE与CD1所成的角即A1B 解：令AB?1则AA1?2,连A1B?C1D∥A1B ?异面直线
与BE所成的角。在?
A1BE中由余弦定理易得cos?A1BE?6. 已知向量a??
2,1?,a?b?10,|a?b|?，则|b|?
A.
。故选C 10
B.
C.5 D. 25
??2?2???2?2?
解：?50?|a?b|?|a|?2a?b?|b|?5?20?|b|?|b|?5。故选C
7.
设a?log3?,b?log2c?log3
A. a?b?c
B. a?c?b
C. b?a?c
D. b?c?a
解
：?log3?log2
lo2
log2b?c
3
?
lo2g?2
?
?
.故选A. lo?g3??ag?b?a?b ?c3lo
8. 若将函数y?tan??x?
??
4?
?的图像向右平移????0
?
个单位长度后，与函数6
???
y?tan??x??的图像重合，则?的最小值为
6??
A．
1
6
B.
1
4
?
C.
13
D.
1 2
??向右平移6个单位??????
解：y?tan??x?????????y?tan[?(x?)?]?tan??x??
4?646???
?
?
4
?
?
6
??k??
又???0??min
1
???6k?(k?Z)， 621
?.故选D 2
2
?
9. 已知直线y?k?x?2??k?0?与抛物线C:y?8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|?2|FB|，则k?
A.
12
C.
D. 33
解：设抛物线C:y2?8x的准线为l:x??2直线 y?k?x?2??k?0?恒过定点P??2,0? .如图过A、B分 别作AM?l于M,BN?l于N, 由|FA|?2|FB|,则
|AM|?2|BN|,点B为AP的中点.连结OB,则|OB|?
横坐标为1, 故点B
的坐标为?k?
1
|AF|, ?|OB|?|BF| 点B的2
0故选D ?
1?(?2)3
10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
A. 6种 B. 12种 C. 30种D. 36种
222
解：用间接法即可.C4?C4?C4?30种. 故选C
x2y2
11. 已知双曲线C2?2?1?a?0,b?0?的右焦点为F,过F
的直线交C
ab
于A、B两点，若AF?4FB,则C的离心率为A．
6759 B. C. D. 5585
x2y2
解：设双曲线C2?2?1的右准线为l,过A、B分 别
ab
作AM?l于M,BN?l于N, BD?AM于D,由直线AB的斜率
为
,知直线AB的倾斜角为
1
|AB|, 2
第
二
定
义
有
60???BAD?60?,|AD|?
由
双
曲
线
的
?????1???
|AM|?|BN|?|AD|?(|AF|?|FB|)
e?????11???
?|AB|?(|AF|?|FB|). 22
????5????16
又?AF?4FB??3|FB|?|FB|?e? 故选A
e25
12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“?”的面的方位是
A. 南 C. 西
B. 北 D. 下
解：展、折问题。易判断选B
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。
?解
：?
13. 的展开式中xy的系数为。
?xy
，只需求展开式中的含xy项的系数：
4
33
4
2244
2C4?6
14. 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若a5?5a3则
S9
?S5
解：??an?为等差数列，?
S99a5
??9 S55a3
15.设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面
7?
，则球O的表面积等于 8?. 4
7?72
,得r2?. 解：设球半径为R，圆C的半径为r，由4?r?44
得到圆C。若圆C的面积等于
因为OC?
22127RR)?r?R?得R2?2.故球O的表?
。由R2?842面积等于8?.
16. 已知AC、BD为圆O:x2?y2?
4的两条相互垂直的弦，垂足为M,则四边形
?ABCD的面积的最大值为
解：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2,则d12+d22?OM2?3. 四边形ABCD
的面积S?
1
|AB|?|CD|??8?(d12?d22)?5 2
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分10分）
设?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(A?C)?cosB?
3，2
b2?ac，求B。
s?(C?)分析：由coAcoAs?(C?)
展开得sinAsinC?
3
Bc，s易想到先将B???(A?C)代入2
33Bc得scos(A?C)?cos(A?C)?然后利用两角和与差的余弦公式22。
322；又由b?ac，利用正弦定理进行边角互化，得sinB?sinAsinC，
4
进而得sinB?
?2?2?.故B?或。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当B?
33313
，进而得cos(A?C)?cos(A?C)??2?1，矛盾，22
2?
。不过这种方法学生不易想到。 3
时，由cosB??cos(A?C)??应舍去。
也可利用若b?ac则b?a或b?c从而舍去B?评析：本小题考生得分易，但得满分难。
18（本小题满分12分）
2
如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE?平面BCC1 （I）证明：AB?AC
（II）设二面角A?BD?C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小。 （I）分析一：连结BE，?ABC?A1B1C1为直三棱柱， ??B1BC?90?,
?E为B1C的中点，?BE?EC。又DE?平面BCC1，
?BD?DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA?平面ABC， ?AB?AC（相等的斜线段的射影相等）。
分析二：取BC的中点F，证四边形AFED为平行四边形，进而证AF∥DE，
AF?BC，得AB?AC也可。
分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。 （II）分析一：求B1C与平面BCD所成的线面角，只需
求点B1到面BDC的距离即可。
C?BD作AG?BD于G，连GC，则G?AGC
，