篇一:2016年上海高考数学(理科)真题含解析
2016年上海高考数学(理科)真题
一、解答题(本大题共有14题,满分56分)
1. 设x?R,则不等式x?3?1的解集为________________
【答案】(2,4)
【解析】?1?x?3?1,即2?x?4,故解集为(2,4)
3?2i2. 设z?,其中i为虚数单位,则Imz?_________________ i
【答案】?3
【解析】z??i(3?2i)?2?3i,故Imz??3
3. l1:2x?y?1?0, l2:2x?y?1?0, 则l1,l2的距离为__________________
?【解析】d?
4. 某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是___ (米)
【答案】1.76
5. 已知点(3,9)在函数f(x)?1?ax的图像上,则f(x)的反函数f?1(x)?____________
【答案】log2(x?1) 【解析】a3?1?9,故a?2,f(x)?1?2x
∴x?log2(y?1)
∴f?1(x)?log2(x?1)
26. 如图,在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中,底面ABCD的边长为3,BD1与底面所成角的大小为arctan, 3
则该正四棱柱的高等于____________________
【答案】
2【解析】BD?
, DD1?BD??3
7. 方程3sinx?1?cos2x在区间[0,2π]上的解为________________
π5π, 66
【解析】3sinx?2?2sin2x,即2sin2x?3sinx?2?0
∴(2sinx?1)(sinx?2)?0 1∴sinx? 2
π5π∴x?, 66
【答案】x?
2?8.
在?的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于_______________ x?【答案】112
【解析】2n?256, n?8 8?r8?4r2rrrr3通项C8?x?(?)?C8(?2)?x3 x
取r?2
常数项为C82(?2)2?112
9. 已知?ABC的三边长为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于________________
a2?b2?c21??
【解析】a?3,b?5,c?7,cosC?2ab2
∴sinC?
c?∴R? 2sinC
?ax?y?1x,ya?0,b?010. 设,若关于的方程组?无解,则a?b的取值范围是_____________ ?x?by?1n
【答案】(2,??)
【解析】由已知,ab?1,且a?
b,∴a?b??2
11. 无穷数列?an?由k个不同的数组成,Sn为?an?的前n项和,若对任意n?N*,Sn?{2,3},则k的最大
值为___________
【答案】4
????????12. 在平面直角坐标系中,已知A(1,0), B(0,?1), P
是曲线y?则BP?BA的取值范围
是____________
【答案】[0,1 ????????
P(cos?,sin?)??[0,π]【解析】设, ,BA?(1,1), BP?(cos?,sin??1)
????????πBP?BA?cos??sin??1???)?1?[0,1 4
π13. 设a,b,?R, c?[0,2π),若对任意实数x都有2sin(3x?)?asin(bx?c),则满足条件的有序实数组 3
(a,b,c)的组数为______________
【答案】4
【解析】(i)若a?2
5π4π若b?3,则c?; 若b??3,则c? 33
π2π(ii)若a??2,若b??3,则c?;若b?3,则c? 33
共4组
14. 如图,在平面直角坐标系xOy中,O为正八边形A1A2?A8的中心,A1(1,0),任取不同的两点Ai,Aj,??????????????点P满足OP?OAi?OAj?0,则点P落在第一象限的概率是_______________ 5 28
55【解析】2? C828【答案】
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)
15. 设a?R,则“a?1”是“a2?1”的()
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
【答案】A
16. 下列极坐标方程中,对应的曲线为右图的是( )
A. ??6?5cos? B. ??6?5sin? C. ??6?5cos? D. ??6?5sin?
【答案】D π【解析】???时,?达到最大 2
imSn?S,下列条件中,使得2Sn?S(n?N*)恒17. 已知无穷等比数列?an?的公比为q,前n项和为Sn,且ln??
成立的是( )
A. a1?0, 0.6?q?0.7B. a1?0, ?0.7?q??0.6
C. a1?0, 0.7?q?0.8D. a1?0, ?0.8?q??0.7
【答案】B a1a1(1?qn)S?S?【解析】n, , ?1?q?1 1?q1?q
2Sn?S,即a1(2qn?1)?0
1n若a1?0,则q?,不可能成立 2
1n若a1?0,则q?,B成立 2
18. 设f(x),g(x),h(x)是定义域为R的三个函数,对于命题:①若f(x)?g(x),f(x)?h(x),g(x)?h(x)均
为增函数,则f(x),g(x),h(x)中至少有一个为增函数;②若f(x)?g(x),f(x)?h(x),g(x)?h(x)均是以T为周期的函数,则f(x),g(x),h(x)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是( )
A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题
C. ①为真命题,②为假命题D. ①为假命题,②为真命题
【答案】D
【解析】①不成立,可举反例
?2x?3,x?0?2x,x?1??x,x?0?g(x)??x?3,0?x?1f(x)??h(x)?, , ??2x,x?0??x?3,x?1??2x,x?1?
②f(x)?g(x)?f(x?T)?g(x?T)
f(x)?h(x)?f(x?T)?h(x?T)
g(x)?h(x)?g(x?T)?h(x?T)
前两式作差,可得g(x)?h(x)?g(x?T)?h(x?T)
结合第三式,可得g(x)?g(x?T), h(x)?h(x?T)
也有f(x)?f(x?T)
∴②正确
故选D
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的
步骤.
19. (本题满分12分)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,?AC长?2为?,?A1B1长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧 33
(1) 求三棱锥C?O1A1B1的体积
(2) 求异面直线B1C与AA1所成角的大小
?A1B1??AO【解析】(1) 连O1B1,则? 11B1?3
∴?O1A1B1为正三角形
1∴VC?O1A1B1?OO1?S?O1A1B1? 3(2) 设点B1在下底面圆周的射影为B,连BB1,则BB1∥AA1 ∴S?O1A1B1?
∴?BB1C为直线B1C与AA1所成角(或补角)
BB1?AA1?1
连BC,BO,OC
?2??AB??A1B1?, ?AC? 33
??∴BC?
3 ∴?BOC? 3
∴?BOC为正三角形
∴BC?BO?1 BC?1 ∴tan?BB1C?BB1
∴?BB1C?45?
∴直线B1C与AA1所成角大小为45?
20.(本题满分14分)
有一块正方形菜地EFGH, EH所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到F点或河边运走。于是,菜 地分为两个区域S1和S2,其中S1中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S1和S2
的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点, 点F的坐标为(1,0),如图
(1) 求菜地内的分界线C的方程
8(2) 菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍,由此得到S1面积的“经验值”为。设M是C上 3
纵坐标为1的点,请计算以EH为一边,另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并 判断哪一个更接近于S1面积的经验值
【解析】(1) 设分界线上任一点为(x,y),依题意
?
x?
可得y??x?1)
(2) 设M(x0,y0),则y0?1 2y01? ∴x0?44
15∴设所表述的矩形面积为S3,则S3?2?(?1)? 42
设五边形EMOGH面积为S4,则S4?S3?S?OMP?S?MGQ?5111311???1???1? 224244
85111811S1?S3???, S4?S1???? 32643126
∴五边形EOMGH的面积更接近S1的面积
21.(本题满分14分)本题共2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 y2
2双曲线x?2?1(b?0)的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2且与双曲线交于A,B两点 b
(1) 若l的倾斜角为?,?F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程 2
篇二:2016上海高考理科数学(含答案)
2016上海高考理科数学
1. 设x?R,则不等式x?3?1的解集为________________
3?2i
,其中i为虚数单位,则Imz?_________________ i
3. l1:2x?y?1?0, l2:2x?y?1?0, 则l1,l2的距离为__________________
4. 某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据
的中位数是___ (米)
5. 已知点(3,9)在函数f(x)?1?ax的图像上,则f(x)的反函数f?1(x)?____________ 6. 如图,在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中,底面ABCD的边长为3,BD1与底面所成角的大
2
小为arctan,则该正四棱柱的高等于____________________
3
7. 方程3sinx?1?cos2x在区间[0,2π]上的解为________________ 2. 设z?
2?8.
在?的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于
x?_______________
9. 已知?ABC的三边长为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于________________
?ax?y?1
x,ya?0,b?010. 设,若关于的方程组?无解,则a?b的取值范围是
?x?by?1
n
_____________
Sn为?an?的前n项和,Sn?{2,3},11. 无穷数列?an?由k个不同的数组成,若对任意n?N*,
则k的最大
值为___________
12. 在平面直角坐标系中,已知A(1,0), B(0,?1), P
是曲线y?????????
BP?BA的取值范围
是____________
13. 设a,b,?R, c?[0,2π),若对任意实数x都有
π
sin(bx?c) ,则满足条件的有序实数组(a,b,c)的组数为____ 2sin(3x??a3
14. 如图,在平面直角坐标系xOy中,O为正八边形A1A2?A8的中心,A1(1,0),任取不同
??????????????
A,AOP?OA?OA的两点ij,点P满足ij?0,则点P落在第一象限的概率是
_______________
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)
15. 设a?R,则“a?1”是“a2?1”的()
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充
分也非必要条件
16. 下列极坐标方程中,对应的曲线为右图的是( ) A. ??6?5cos? B. ??6?5sin? C. ??6?5cos? D. ??6?5sin?
Sn?S,下列条件中,使得17. 已知无穷等比数列?an?的公比为q,前n项和为Sn,且limn??2Sn?S(n?N*)恒成立的是( )
A. a1?0, 0.6?q?0.7B. a1?0, ?0.7?q??0.6 C. a1?0, 0.7?q?0.8D. a1?0, ?0.8?q??0.7
18. 设f(x),g(x),h(x)是定义域为R的三个函数,对于命题:①若f(x)?g(x),f(x)?h(x),
g(x)?h(x)均为增函数,则f(x),g(x),h(x)中至少有一个为增函数;②若f(x)?g(x),f(x)?h(x),g(x)?h(x)均是以T为周期的函数,则f(x),g(x),h(x)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是( )
A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题
C. ①为真命题,②为假命题D. ①为假命题,②为真命题
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,
2???如图,?长为,长为,其中B1与C在平面AA1O1
O的同侧 ABAC1133
(1) 求三棱锥C?O1A1B1的体积
(2) 求异面直线B1C与AA1所成角的大小
20.(本题满分14分)
有一块正方形菜地EFGH, EH所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到F点或河边运走。于是,菜
地分为两个区域S1和S2,其中S1中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S1和S2
的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,
点F的坐标为(1,0),如图
(1) 求菜地内的分界线C的方程
(2) 菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍,由此得到S1面积的“经验值”8
为。设M是C上 3
纵坐标为1的点,请计算以EH为一边,另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并
判断哪一个更接近于S1面积的经验值
21.(本题满分14分)本题共2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
y22
双曲线x?2?1(b?0)的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2且与双曲线交于A,B
b
两点
?
(1) 若l的倾斜角为,?F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程
2
????????????
(2)
设b?,若l的斜率存在,且(F1A?F1B)?AB?0,求l的斜率 22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3
小题满分6分
1
已知a?R,函数f(x)?log2(?a)
x
(1) 当a?5时,解不等式f(x)?0
(2) 若关于x的方程f(x)?log2[(a?4)x?2a?5]?0的解集中恰有一个元素,求a的取值范围
1
(3) 设a?0,若对任意t?[,1],函数f(x)在区间[t,t?1]上的最大值和最小值的差
2
不超过1,求a的取值范围
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3
小题满分8分
若无穷数列?an?满足:只要ap?aq(p,q?N*),必有ap?1?aq?1,则称?an?具有性质P. (1) 若?an?具有性质P. 且a1?1, a2?2, a4?3, a5?2, a6?a7?a8?21, 求a3;(2) 若无穷数列?bn?是等差数列,无穷数列?cn?是公比为正数的等比数列,b1?c5?1,b5?c1?81,an?bn?cn,判断?an?是否具有性质P,并说明理由;
(3) 设?bn?是无穷数列,已知an?1?bn?sinan(n?N*),求证:“对任意质P”的充要条
件为“?bn?是常数列”
答案: 1.(2,4)
?3
4.1.76
5.log
2(x?1) 6.7.x?π5π6,6
10.
(2,??) 11.4
12.[0,1 13.4
14.528
15.A 16.D 17.B 18.D
19.解:(1) 连O1B1,则A??
1B1??AO11B1?
3
a1,?an?都具有性
∴?O1A1B1为正三角形
1∴VC?O1A1B1?OO1?S?O1A1B1?3(2) 设点B1在下底面圆周的射影为B,连BB1,则BB1∥AA1 ∴S?O1A1B1?
∴?BB1C为直线B1C与AA1所成角(或补角)
BB1?AA1?1 连BC,BO,OC
?AB??A?1B1?3, AC??2?3 ∴?BC
??
3
∴?BOC?
?
3
∴?BOC为正三角形 ∴BC?BO?1
∴tan?BB?BC
1CBB?1 1
∴?BB1C?45?
∴直线B1C与AA1所成角大小为45?
20.解:(1) 设分界线上任一点为(x,y),依题意
x?
可得y??x?1)
(2) 设M(x0,y0),则y0?1
∴xy200?
4?14
∴设所表述的矩形面积为S?2?(15
3,则S34?1)?2
设五边形EMOGH面积
S5111311
4?S3?S?OMP?S?MGQ?2?2?4?1?2?4?1?4
S?S?85111813?2?6, S?S1
1341?4?3?12?6
∴五边形EOMGH的面积更接近S1的面积 21.解:(1)
由已知F1(
, F2
取x,得y?
b2
F1F22A
∵F1F2
?, F2A?b2
∴2
即3b4?4b2?4?(3b2?2)(b2?2)?0
∴b?
∴渐近线方程为y?
S4则
为
,
篇三:2016年高考上海卷理工类数学试题(含答案和解析)
2016年普通高等学校招生全国统一考试
上海数学试卷(理工农医类)
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1、设x?R,则不等式x?3?1的解集为______________________ 【答案】(2,4) 【解析】试题分析:
由题意得:?1?x?3?1,解得2?x?4. 考点:绝对值不等式的基本解法. 2、设Z?
3?2i
,期中i为虚数单位,则Imz=______________________ i
【答案】-3 【解析】 试题分析:
z?
3?2i
?2?3i,Imz=-3. i
考点:1.复数的运算;2.复数的概念.
3、已知平行直线l1:2x?y?1?0,l2:2x?y?1?0,则l1,l2的距离_______________
【解析】试题分析:
利用两平行线间距离公式得d?
?
?
5
考点:主要考查两平行线间距离公式.
4、某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________(米) 【答案】1.76 【解析】试题分析:
将这6位同学的身高按照从矮到高排列为:1.69,1.72,1.75,1.77,1.78,1.80,这六个数的中
位数是1.75与1.77的平均数,显然为1.76. 考点:主要考查了中位数的概念.
5、已知点(3,9)在函数f(x)?1?ax的图像上,则f(x)的反函数 f?1(x)?________【答案】log2(x?1) 【解析】试题分析:
将点(3,9)带入函数f?x??1?ax的解析式得a?2,所以f?x??1?2x,用y表示x得
x?log2(y?1),所以f?1?x??log2(x?1).
考点:反函数的概念以及指对数式的转化.
6、如图,在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中,底面ABCD的边长为3,BD1与底面所成角的大小为arctan【答案】【解析】试题分析:
由题意得tan?DBD1?考点:线面角
7、方程3sinx?1?cos2x在区间?0,2??上的解为___________ 【答案】
2
,则该正四棱柱的高等于____________
3
DD122
????DD1? BD33
?5?
或 66
【解析】试题分析:
化简3sinx?1?cos 2x得:3sinx?2?2sinx,所以2sinx?3sinx?2?0,解得
2
2
sinx?
1?5?或sinx??2(舍去),所以在区间[0,2π]上的解为或.学.科.网 266
考点:二倍角公式及三角函数求值.
2??
8、在?3x??的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于_________
x??
【答案】112 【解析】试题分析:
nn
由二项式定理得:二项式所有项的二项系数之和为2,由题意得2?256,所以n?8,
n
84?r842rrr33
考点:
中二项式的通项为Tr?1?C(?)?(?2)C8x,求常数项则令?r?0,
33x
r8
8?r
所以r?2,所以T3?112. 考点:二项式定理.
9、已知?ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________
【解析】试题分析:
32?52?721
??,所以此角的正弦值
利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为
2?3?52
2R?,
所以R?
考点:正弦、余弦定理.
10、设a?0,b?0.若关于x,y的方程组?____________
?ax?y?1
无解,则a?b的取值范围是
x?by?1?
(2,+?)【答案】
【解析】试题分析:
将方程组中的(1)式化简得y?1?ax,代入(2)式整理得(1?ab)x?1?b,方程组无解应该满足1?ab?0且1?b?0,所以ab?1且b?
1,所以由基本不等式得
a?b??2.
考点:方程组的思想以及基本不等式的应用.
11.无穷数列?an?由k个不同的数组成,Sn??2,3?,Sn为?an?的前n项和.若对任意n?N,
?
则k的最大值为________.
【答案】4
【解析】试题分析:
要满足数列中的条件,涉及最多的项的数列可以为2,1,?1,0,0,0,???,所以最多由4个不同的数组成.
考点:数列的项与和.
12.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y??x2上一个动点,则BP?BA的取值范围是. 【答案】[0,1
考点:1.平面向量的数量积;2.三角函数的图象和性质;3.数形结合的思想. 13.设a,b?R,c??0,2??,若对任意实数x都有2sin?3x?的有序实数组?a,b,c?的组数为. 【答案】4
【解析】试题分析:
?
?
??
??
asin?bx?c?,则满足条件3?
a??2,b??3,当a,b确定时,c唯一,故有4种组合.
考点:三角函数
14.如图,在平面直角坐标系xOy中,O为正八边形A1A2?A8的中心,A1?1,0?.任取不同的两点Ai,Aj,点P满足OP?OAi?OAj?0,则点P落在第一象限的概率是.
【答案】
5 28
【解析】试题分析:
22
共有C8?28种基本事件,其中使点P落在第一象限共有C3?2?5种基本事件,故概率为
5. 28
考点:古典概型 二、选择题(5×4=20)
15.设a?R,则“a?1”是“a2?1”的() (A)充分非必要条件(B)必要非充分条件 (C)充要条件(D)既非充分也非必要条件 【答案】A
【解析】试题分析:
a?1?a2?1,a2?1?a?1或a??1,所以是充分非必要条件,选A.
考点:充要条件
16.下列极坐标方程中,对应的曲线为右图的是()