数学思辨所指的是用数学的方法从数学角度进行的思考和辨析，涉及思考、分析、辨别、推理、判断、表述、交流等数学思维过程和活动。数学思辨是逻辑思维（主要用于解决问题）与非逻辑思维（主要用于发现问题）的有机统一。从表现方式上讲，数学思辨主要分为隐性思辨和显性思辨两种方式。隐性思辨也就是学生内在的思考、分析、推理和判断，是一种内隐的心理活动及思维活动。显性思辨主要是学生运用规范的学理性语言将内心的隐性思辨显性地呈现和表述出来，从而阐明观点、交流思想、生成智慧。
我认为，数学思辨应该是基于以下几个方面的思辨：基于问题的全局性、针对性思辨；基于观点和答案的拓展性、批判性思辨；基于数学知识层面的认知性、本质性思辨；基于数学方法策略的多元性、智慧性思辨。
数学思辨的圆融共生包括：数学思维上逻辑思维与非逻辑思维的圆融共生：数学课堂上个体思辨与群体思辨的圆融共生；数学学习品质上自主思辨与他主思辨的圆融共生；数学学习内容上针对性思辨与拓展性思辨的圆融共生；数学思辨方式上隐性思辨与显性思辨的圆融共生，等等。
培养学生的数学思辨力必须抓住“思辨”训练这个根本。在训练过程中，既要促其内“思”，更要导其外“辨”，还要教其圆“巧”，三者密切联系，相辅相成，只有如此，才能真正达成圆融共生的数学思辨。
一、“知”与“能”圆融共生：创鲶鱼效应，活思辨因子
1.明晰数学的核心概念，凸显思辨的深刻性。
“数学知识中最普遍的形式是概念，所以概念学习是数学学习的核心。数学实践证明，学生在解决数学问题时出错或产生困难，原因往往在于概念的了解上产生了障碍。因此，必须十分重视概念学习”。只有掌握了数学核心概念，学生才能真正开展数学思辨，才能洞察本质，由表及里，去伪存真，认清数学问题的本来面目。
例如教学“素数和合数”，在思辨“所有的素数都是奇数吗？所有的偶数都是合数吗”时，学生首先要分别明晰“什么叫素数；什么叫合数；什么叫奇数；什么叫偶数”，只有搞清楚这4个核心概念后，才能做出正确的判断。
2.厘清问题的本质要求，聚焦思辨的缜密性。
为了厘清数学问题的内涵、本质和内在规律性，必须引导学生多视角、多侧面、多因素、多向度地进行数学思考、辨析和论证，必须对可能出现的情况、可能起作用的因素、可能发生的后果逐一进行考察和预测，然后经过分析、综合，依据对数学问题的主要矛盾的基本判断做出科学的抉择或决策。
例如，本人在支教期间执教示范课“解决问题的策略”（五上）：
在教学过程中通过操作、计算、填表、交流、验证等活动，让学生经历用列举的策略解决简单实际问题的过程，从而厘清了问题的本质，并且深深懂得要想解决“有多少种不同的围法”，必须有条理地一一列举，做到不遗漏、不重复。
3.领悟思辨的策略思想，关注思辨的灵活性。
在教学中，教师应循序渐进地引领学生领悟并掌握数学思辨的方法策略，诸如事实思辨、类别思辨、对比思辨、分层思辨、层进思辨、反面思辨及引申思辨等。只有如此，学生才真正领悟数学思辨的真谛。
例如，我在执教市青蓝课程公开课“简单周期现象中的规律”时这样引领：
思辨问题（1）：观察这些物体，它们排列有规律吗？（目的：使学生初步观察、寻找并感知这些物体的排列都是有规律的）
思辨问题（2）：从左边起，盆花是按什么顺序摆放的？彩灯和彩旗呢？（目的：使学生由近及远地分别观察和找寻这三种物体的摆放规律）
思辨问题（3）：这三种物体排列的规律有什么共同之处？（目的：使学生深入体会它们符合一组一组依次重复出现的周期规律）
二、“理”与“灵”圆融共生：构学习场域，显思辨魅力
1.训练学理性语言，追求数学思辨的严谨与规范。
学生数学思辨能力的强弱往往体现在能否善于选择富有严谨和规范的学理性语言来展示数学观点。数学学理性语言的表达形式与它的含义之间都有着确定的关系，词序不同或一字之差就可能导致意义的截然不同，如自然语言中“围成”和“组成”是没有明显区别的，但在数学课堂中对“角”的定义表述是“由一点引出两条射线所组成的图形叫做角”；对“三角形”的定义表述是“由三条线段围成的图形叫做三角形”。细细品味、思辨，我们便会发现：表述时通过“组成”和“围成”这两个规范的数学学理性语言的运用，能够本质地区分出这两个图形一个是不封闭的平面图形（角），另一个是封闭的平面图形（三角形）。
2.开展思辨性交流，追求数学思辨的灵动与智慧。
（1）互补式思辨：取长补短、相互拓展。
在思辨交流中，一方顺承另一方的意思说，对一方所交流的思辨内容进行拓展性补充，深化另一方的思辨意思。
例如：五年级“圆的认识”教学片段
师：刚才我们在黑板上画了圆，在纸上画了圆，又在空中画了一个圆，这几次画圆，虽然地点变了，画圆的工具也各不相同，但是它们是否存在相同之处？请大家带着这个问题小组内互动思辨。
生1：它们都要依靠一样东西。
生2：它们都要先确定一个中心点，围绕这个点旋转。
生3：它们都要旋转一周，也就是要旋转360度。
师：这样行吗？（教师演示：围绕紧靠小球的地方定点旋转）
学生纷纷领悟，并异口同声：还要拉开一定的距离。
师：现在谁来总结一下问题的答案？
生：我们发现无论用什么画圆、在哪儿画圆，它们都有三个共同的特点：第一，确定一个点；第二，确定一段距离；第三，旋转一周。
（2）正反式思辨：左右兼顾、滴水不漏。
在思辨交流中，一方对另一方的思辨表述方式及角度呈现一正一反，双方从正反两方面、两个维度说，使思辨内容左右兼顾、滴水不漏。
例如教学“小数的性质”时，当小数的性质揭示后，教师出示：
在学生回答后，教师可以进一步引领：举例说明0可以去掉及0不可以去掉的理由，从而激发学生不仅学会正面思辨：“17.000中的3个0都可以去掉，因为这3个0都是小数末尾的0，依据是小数的性质‘小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变’”，而且学会了反面思辨：“如果将300个位和十位上的0去掉的话，就变成3了，进而改变了原来数的大小，因此整数部分数位上的0不能去掉”。通过这样正反两个方面的思辨，加深了学生对小数性质的理解。
（3）相映式思辨：相错交融、和谐统一。
在思辨交流中，一方与另一方表述的各是一个观点、一种发现，各自具有一个完整的意思和内涵，而各方思辨内容又能相互衬托、交相辉映，和谐地统一于一个题旨之中。
例如：四年级下册“认识平行四边形”一课，针对“平行四边形的边有什么特点？”这一问题，有学生通过测量得出“上下两条边长度相等、左右两条边长度也相等”；有的同学则通过平移方法思辨出“平行四边形上下两条边平行，左右两条边平行”；进而引领学生思辨、概括出“平行四边形两组对边分别平行且相等”。从中我们发现，测量和平移等实践操作实质上是学生数学隐性思辨的具体外在表现，它们相互映衬、和谐统一。
（4）争论式思辨：百家争鸣、齐赢共生。
在思辨交流中，一方的发言是对另一方思辨观点及内容的批评和否定，提出了另一种完全不同的观点，引发争论。在进行争论式思辨时，要注意这样几点：首先，将问题理解、归类；其次，找出该问题与自己观点的矛盾之处；第三，从自己的观点中找出更有深度的思想来反驳；第四，思辨时要相互尊重，在智慧碰撞中不断吸收内化，从而齐赢共生。
例如教学“三角形稳定性”时，我让学生把三角形和四边形木架稍加用力拉一拉，以此体验三角形的稳定性。也许是木架钉得不够牢固，一个学生将四边形木架拉成了如图所示的三角形，并据此断定“有的三角形没有稳定性”。学生得出这种结论本没有错，因为他是通过操作比较后得出的，而比较是数学思辨的重要方式策略之一。这说明他的确在思考，只是思考时重视了外在的东西而已。为了让学生能够清晰地掌握“三角形稳定性的本质”，我引领学生开展争辩式讨论，使学生在争论的过程中清晰地思辨出：拉的活动、形状的变化都是表面现象，并不是三角形的概念（本质），假若我们要求在拉木架时，由两根木条组成的“线段”必须始终保持是一条完整的线段的话，肯定就得不出那个结论了。
Proclus曾说：“数学就是这样一种东西：她提醒你有无形的灵魂，她赋予所发现的真理以生命；她唤起心神，澄清智慧；她给我们的内心思想增添光辉；她涤尽我们有生以来的梦寐与无知。”可见，数学教育的根本目的在于学生数学素养的可持续生长及发展，而学生拥有自我的数学思辨能力正是实现这一教育目标的核心环节，因此在数学教学中，教师要运用自身的教育智慧，大力培养和发展学生的数学思辨能力，让学生隐性和显性的思辨智慧得以圆融共生。
注：本文获2011年江苏省“教海探航”征文一等奖
（作者单位：江苏省连云港师专二附小）