篇一：3.3 垂径定理 教学设计
第三章 圆
《垂径定理》教学设计说明
广东省佛山市华英学校 罗建辉
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形的有关概念和性质，等腰三角形的对称性，以及本节定理的证明要用到的三角形全等的知识，在本章前两节课中也已经初步理解了圆的轴对称性和圆弧的表示等知识，具备探索证明几何定理的基本技能．
学生活动经验基础：在平时的学习中，学生已掌握探究图形性质的不同手段和方法，具备几何定理的分析、探索和证明能力．
二、教学任务分析
该节内容为1课时．圆是一种特殊图形，它是轴对称图形，学生通过类比等腰三角形的轴对称性，能利用圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆定理．具体地说，本节课的教学目标是：
知识与技能
1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；
2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．
过程与方法
1．经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．
情感与态度
1. 培养学生类比分析，猜想探索的能力．
2. 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．
教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．
1
教学难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．
三、教学设计分析
本节课设计了四个教学环节：
类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结.
第一环节 类比引入
活动内容：
1.等腰三角形是轴对称图形吗？
2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，3.圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？
活动目的：
通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力．
第二环节 猜想探索
活动内容：
1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD
⊥AB，垂足为M．
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．
条件：① CD是直径；② CD⊥AB
结论（等量关系）：③AM=BM；
⌒ =BC⌒ ；⑤AD⌒ =BD⌒ . ④AC
证明：连接OA,OB,则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
2
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合,
⌒ 和BC⌒ 重合,AC⌒ 和BD⌒ 重合. AD
⌒ =BC⌒ ，AD⌒ =BD⌒ . ∴ AC
2．证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？
注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦．
通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识．
4．垂径定理逆定理的探索
如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
条件：① CD是直径；② AM=BM
结论（等量关系）：③CD⊥AB；
⌒ =BC⌒ ；⑤AD⌒ =BD⌒ . ④AC
让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容
3
——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
5．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
反例：
活动目的：
活动1的主要目的是通过让学生猜想、类比、探索和证明获得新知，从而得到研究数学的多种方法的体会，获取经验；活动2 的主要目的是让学生通过对定理表述反复的语言提炼，锻炼学生的归纳能力和严谨的表述能力，并对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识；活动3的主要目的是通过反例使学生对定理的严谨性有更深的认识；活动4的主要目的与活动1相似，并让学生与活动1类比，提高探索能力；活动5的主要目的与活动3相似．
实际教学效果：
在活动1中的证明时，学生对如何证明平分弦，可能会有一定困难，此时应引导学生类比等腰三角形，通过连接OA、OB，构造等腰三角形，并利用三角形全等的知识来证明；另外，在证明直径平分弦所对的弧，也是一个难点，学生会觉得比较难表述，这时应类比等腰三角形的轴对称性，运用圆的轴对称性启发引导；在活动2中，学生的说法可能不够准确、精炼，但教师应该鼓励学生坚持勇于尝试，让学生互相指出说法的不足和缺陷，互相加以修正，在反复的语言提炼中对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识，这也是一个自主构建的过程；活动3是通过反例说明定理的条件的必要性和严谨性，要注意让学生学会通过反例找出对应缺失的条件，提高学生对定理的理解；在活动4中，学生已经有了活动1的经验，教师应放手让学生去猜想、类比、探索和证明，增加学生对数学知识的探索的领悟和经验；活动5与活动3相似．
4
第三环节 知识应用
活动内容：
讲解例题及完成随堂练习．
⌒ ,1．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD
⌒ 所在圆的圆心）⌒ 上的点0是CD，其中CD=600m，E为CD
一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径．
解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m．
∵OE⊥CD
?CF?11CD??600?300 22
根据勾股定理，得
OC2=CF2 +OF2
即R2=3002+(R-90)2.
解这个方程，得R=545.
所以，这段弯路的半径为545m.
2．随堂练习1．1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到0.1米）．
3．随堂练习2．如果圆的两条弦互相平行，
那么这两条弦所夹的弧相等吗？ 5
篇二：垂径定理教学设计与反思
教学设计
篇三：垂径定理教案
垂直于弦的直径
教学目标 知识与技能：
1、 理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其结论；
2、 学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算问题； 过程与方法：
1、 在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法； 2、 在解决垂径定理的相关问题中总结出相应的常见辅助线作法（连半径、作垂直）； 情感态度与价值观：
经历探索定理并解决问题的过程，激发学生探索、发现数学的兴趣和欲望； 教学重点 垂径定理及其推论的掌握及运用. 教学难点 垂径定理的探索和证明 教学过程 一、
情景引入
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？为了解决这个问题，我们一起来探索下这节课的内容。
二、
探索新知
1、活动一：（实践）把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
设计意图：让学生动手实验、探索并发现结论，激发学生的求知欲望。
2、活动二：（学生活动）请同学按下面要求完成下题： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）将圆O沿CD所在直线折叠,你能发现图中有哪些等量关系？
设计意图：通过该实验让学生探索、发现垂径定理，初步感知。 （3）你能证明你的结论吗？
设计意图：学生证明自己的发现，培养学生养成严谨的思维习惯。
思考：反过来，平分弦（不是直径）的直径是否垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧？
3、活动三：练习
（1）在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧
设计意图：检验是否理解了定理，熟悉定理能应用的相应图形。 （2）判断是非
①平分弦的直线必垂直弦 ②垂直于弦的直径平分这条弦
③平分弦的直径垂直于这条弦 ④弦的垂直平分线是圆的直径
⑤平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 设计意图：加深对定理及推论的理解。
（3）如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论不正确的是（ ）
???
A．AB⊥CD B．∠AOP=∠BOP C．AD??BD D．PO=PD
设计意图：检验是否理解推论。
（4）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径为 设计意图：检验能否简单的运用垂径定理，初步感受“连半径”这一辅助线作法。
C
第（3）题图第（4）题图
三、巩固新知
例题1已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。
设计意图：垂径定理的巧妙运用，初步感受“作垂直”这一辅助线作法
变式 如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。
设计意图：“连半径”或“作垂直”都可以解决问题，进一步发现垂径定理的好用之处，培养学生的发散思维。
例题2 你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
分析 如图，用ＡＢ表示主桥拱，设ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦
(本文来自：www.dXF5.com 东 星资 源 网:垂径定理的教学设计)AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是Ａ
Ｂ的中点，CD 就是拱高。
设计意图：解决一开始提出的问题，学生感受垂径定理的用途，并体会解决问题的满足感。
四、 总结回顾 1、 2、 3、
圆的轴对称性 垂径定理及其推论 相应的常见辅助线作法
五、 布置作业
（一）《学评》P77-78达标训练 设计意图：基础过关 （二）添加练习
设计意图：提升能力，适当拓展
1、如图3，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，?P与x轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），
?P的半径为，则点P的坐标为 ____________.
图7
图3
2、如图4，在⊙O中，AB、AC是两条互相垂直且相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E。求证：四边形ADOE是正方形。
3、一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图5），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
图4
图5
4、如图6，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设⊙O的半径为
4cm，MN=4cm．
（1）求圆心O到弦MN的距离； （2）求∠ACM的度数．
图6