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【刍议三角函数的最值之常见求法】 三角函数之间的关系

时间:2019-01-18 来源:东星资源网 本文已影响 手机版

  一、考纲要求   能利用有界性法、换元法等方法求某些简单的三角函数在给定区间上的最值,并会把某些简单的实际问题化归成三角函数的最值问题来解决。   二、知识要点
  1. 求三角函数的最值,根据变换的方向不同,通常有如下方法
  (1)三角方法。先通过三角恒等变换,转换为y=Asin(ωx+ψ)+B。(2)代数方法。先通过变量代换转化为代数函数。(3)解析法(也可以说数形结合法)。(4)导数法。
  2. 求三角函数的最值,根据函数式特点不同,通常有如下类型
  (1)y=asinx+bcosx+c型;(2)y=Asin2x+Bsinx+C(或y=Acosx2x+Bcosx+C)型;(3)y=asinxcosx+b(sinx
  ±cosx)+c型;(4)y=(或y=)型;(5)y=型;(6)y=型。
  三、考题解析
  例1 设a∈R,f(x)=(asinx-cosx)+cos2(-x)满足f(-)=f(0),求函数f(x)在[,]上的最大值与最小值。
  简解:∵由f(-)=f(0)得a=2,因此
  f(x)=2sin(2x-)。∴由单调性可得,f(x)的最大值为f()=2, f(x)的最小值为[]=。
  例2当0<x<时,函数f(x)=的最小值为( )。
  A.2B.2C.4 D.4
  方法1:∵f(x)=4tanx+≥2=4(易知tanx>0),故选C。
  方法2:∵f(x)=, 令y=,
   ∴sin(2x+φ)=5,∴≥5得y≥4或y≤-4(舍去)。
  例3函数y=sin2x+sinx-1的值域为()。
  A.[-1,1]B.[-,-1] C.[-,1]D.[-1,]
  简解:∵y=sin2x+sinx-1=(sinx+)2-, ∴-≤y≤1,故选C。
  例题4在直径为1的圆O中,作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形,其中y>x>0。
  (1)将十字形的面积表示为θ的函数;(2)θ为何值时,十字形的面积最大?最大面积是多少?
  简解:(1)设S为十字形的面积,则S=2xy-x2=2sinθcosθ-
  cos2θ(<θ<)。
  (2)方法1:由(1)化简得S=sin(2θ-φ)-,其中φ=arccos。当sin(2θ-φ)=1即2θ-φ=时,S最大。所以,当θ=+arccos时,S最大。S的最大值为 。
  方法2: 导数法(略)。
  (新余市第四中学)

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