摘 要：本文主要介绍了UFLP问题的一类变型问题，即在原UFLP问题上，加入新的约束条件。如工厂可以生产不同类型的产品，客户可以要求由不同的工厂为其提供不同的产品。我们称这种问题为多产品非受限工厂选址问题（MUFLP）。在实际生活和工作中，MUFLP是非常有用的问题模型。尤其是对某些设备造价昂贵且用途广泛，但同时又要满足客户对其使用需求的情况。
关键词：MUFLP；数学模型；选址问题
1 问题介绍
为了能以最小的费用代价来满足各类客户对产品的需求，如何最优化地选择工厂建厂地址这个问题已经成为了一个目前在运筹学、计算机领域讨论、研究的热门问题。而像此类问题本身，在实际生活、经济领域也极具代表意义。例如：问题中要确定建立的工厂也可以是现实问题中零售商的厂址、移动电话通信基站等。
目前，非受限工厂选址问题（UFLP）已经被许多运筹学专家、学者做了深入的研究和探讨。无论是在问题的理论研究还是实际应用都取得了很大的发展。在UFLP问题中，要考虑的优化费用是指建厂的建厂费用以及不同地点工厂送货到客户所在地所产生的运输费用。
本文主要介绍了UFLP问题的一类变型问题，即在原UFLP问题上，加入新的约束条件。如工厂可以生产不同类型的产品，客户可以要求由不同的工厂为其提供不同的产品。我们称这种问题为多产品非受限工厂选址问题（MUFLP）。在MUFLP问题中，除了原有的建厂费用和运输费用外，如果某工厂已被建立并确定生产某一类特定产品，还会产生新的额外的附加费用。
在实际生活和工作中，MUFLP是非常有用的问题模型。尤其是对某些设备造价昂贵且用途广泛，但同时又要满足客户对其使用需求的情况。例如：对于通信设备厂商而言，工厂提供的昂贵测试设备经常要用来测试各类不同的部件，但不可能保证所有部件生产商都配备这样造价昂贵的测试设备。因此，如何选址测试设备存放地以满足各类部件生产商的测试需求就成为了企业亟待解决的问题，同时这也是我们MUFLP问题的求解目标。
下一节，我们重点讨论了MUFLP问题的一类0-1规划模型。
2 问题模型
针对MUFLP问题，目前学者们提出了众多的问题模型，即从不同的角度、用不同的约束条件来描述该问题。问题模型的提出为下一步设计算法提供了基础，对于不同的模型可以通过不同的数学工具（如：线性规划、分枝-限界等）求解，同时也设计出不同类型的求解算法（如：启发式算法、近似算法、随机算法等）。
本节，我们主要介绍了MUFLP问题的一类0-1整数规划模型，并希望通过对该模型的介绍、分析，使有兴趣的研究者们进一步为其设计出性能优越的求解算法。
问题描述：
在MUFLP问题中，k=1,2,…,k代表一组可能被用于建厂的厂址，产品i=1,2,…,I则被要求提供给客户j=1,2,…,J。
求解MUFLP问题，首先要从可能建厂的工厂k=1,2,…,k中选取一个子集用于作为确定建立的工厂。其次，在确定好要建立的工厂后，就要进一步确定该工厂应生产何种产品，因为当客户需要某种产品时，只能由指定专门生产该产品的工厂来供应。并且在该模型中，我们假设工厂i的生产能力不受限制，此时，MUFLP问题的优化目标就是最小化求解方案总费用。其中，总费用包括了Fk，即开设工厂k所需的建厂费用，Eik，即为工厂k配备生产产品i的附加费用，cijk ，即从工厂k为客户j提供产品i的服务费用。
在MUFLP问题中，我们令0-1变量zk表示工厂k是否被建立（当zk=1，工厂k被建立，否则，工厂k未被建立）；令0-1变量yik表示工厂k是否生产产品i（当yik=1，工厂k生产产品i，否则，工厂k不生产产品i）；令变量xijk（0≤xijk≤1）表示工厂k为客户j提供产品i的多少（说明：在MUFLP中，我们把客户j对产品i的需求总量看成1，可以由不同的工厂k为客户j提供对产品i的部分需求，由此可知定有0≤xijk≤1成立），通过对MUFLP问题的描述以及对目标变量的定义，下面给出了一类MUFLP问题的数学模型。
（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
（f）
（g）
模型分析：
模型中约束条件（b）的目的是确保客户对每种产品的需求都能保证有确定的工厂供应。约束条件（c）则是保证只有已经确定开设的工厂才能生产某种产品。约束条件（d）说明客户若需要某种产品的话，前提是必须由生产该产品的工厂才能供应。
在本模型中，值得注意的是若变量zk的取值是事先确定的（即工厂建厂的厂址是固定的），那针对每一类产品MUFLP问题可以分解成I个子问题，而每个子问题其形式就是一个UFLP问题。
3 总结
本文重点介绍了一类MUFLP问题的数学模型，并进一步分析了该模型的特点。希望本文所做工作，能为有兴趣研究MUFLP问题的人们提供帮助。
参考文献：
[1] 易斌，李荣珩.一种关于K种产品选址问题的近似算法.计算机工程与应用，2008,1.
[2] Huang H.C. and Li R.,A k-product uncapacitated facility location problem,European Journal of Operations Research, Available online 14 February 2007.
[3] Fisher,M.L.Nemhauser,G.L.\& Wolsey,L.A.,1978.An analysis of approximation for maximizing submodular set functions-II.Mathematical Programming Study 8,73-87.
[4] Bumb A.F. and Kern W.,2001.A simple dual ascent algorithm for the multilevel facility location problem.”In 4th. International Workshop on Approximation Algorithms for Combinatorial Optimization Problems,LNCS 2129,pp.55-62.
[5] Klincewicz,J.G.\& Luss, H.,1987.A dual based algorithm for multiproduct uncapacitated facility location. Transportation Science 21,198-206.