平面直角坐标系 ■ 1. 平面直角坐标系 在平面内两条互相________且有共同______的数轴，组成平面直角坐标系. 平面直角坐标系把坐标平面分成______个象限，x轴上的点的______为0，y轴上的点的______为0.
2. 坐标平面内的点与有序实数对是___________.
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例1 （2011湖南怀化）如图1，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“?”位于点（-1，-2），“?”位于点（2，-2），则“兵”位于点（ ）
A. （-1，1） B. （-2，-1）
C. （-3，1） D. （1，-2）
分析：要确定“兵”的位置，必须找到原点的位置. 由“?”与“?”所在位置，我们可以知道它们的纵坐标都是-2，则它们所在位置的两点连线必定平行于x轴，且在x轴下方，到x轴的距离为2个单位，由图1可知“炮”所在的水平直线即为x轴. 再由“?”与“?”的横坐标可知，两点到y轴的距离分别为1个单位、2个单位，即可知道“炮”所在的竖直线为y轴. 因此可知，“炮”为坐标系的原点，“兵”位于点（-3，1）. 选C.
点评：本题以同学们非常熟悉的棋盘为问题背景，考查了同学们根据实际问题中的相关条件建立恰当的直角坐标系来解决问题的能力.
例2 （2011湖南常德）在平面直角坐标系中，?荀ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（4，2），则顶点D的坐标为（ ）
A. （7，2） B. （5，4） C. （1，2） D. （2，1）
分析：根据平行四边形的性质，可以知道：CD∥AB且CD=AB=3. 点C的坐标为（4，2），则点D的纵坐标为2，横坐标为4-3=1，即其坐标为（1，2）. 选C.
点评：本题考查了平面直角坐标系内平行于坐标轴的直线上点的坐标的特点. 如果本题改为：以点A（0，0）、B（3，0）、C（4，2）为顶点作平行四边形，则第四个点的坐标又是什么呢？请同学们不妨自己试试.
例3 （2011江苏镇江）如图2，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（1，-1），C（-1，-1），D（-1，1），y轴上有一点P（0，2）. 作点P关于点A的对称点P1，作点P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点C的对称点P3，作点P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A的对称点P5，作点P5关于点B的对称点P6……按此操作下去，则点P2 011的坐标为（ ）
A. （0，2） B. （2，0） C. （0，-2） D. （-2，0）
分析：易知正方形的边AD所在的直线垂直平分OP，连接OA、PA，则可以得到∠POA=45°、∠PAO=90°，所以点P关于点A的对称点P1必定在x轴上，且OP1=OP=2，所以点P1的坐标为（2，0）. 同样，可以得到点P2的坐标为（0，-2），点P3的坐标为（-2，0），点P4的坐标为（0，2），点P5的坐标为（2，0）. 显然，点P1、P2、P3、P4所在的位置依次循环出现，且2 011=502×4+3，因此，点P2 011的坐标与点P3的坐标相同，为（-2，0）. 选D.
点评：本题是一道探究规律性的问题，以确定点的坐标为问题背景，综合考查了同学们对图形性质与对称点的掌握.
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“平面直角坐标系”所涉及的知识点是《函数》中最基础、最基本的知识，是进一步掌握其他函数知识的前提. 有些同学由于不能灵活掌握相关点的坐标性质，不能根据平面直角坐标系内图形条件确定图形中点的坐标，难免会出现一些错误.
例1 （2011江苏泰州）点P（-3，2）关于x轴对称的点P′的坐标是__________.
错解：（3，2）.
剖析：平面直角坐标系内两点关于x轴对称，则它们的横坐标不变. 由于不能正确把握点关于坐标轴对称的特点，因而出现错误.
正解：本题正确应该选（-3，-2）.
例2 （2011江西南昌）如图3，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是________.
错解：（-1，1）.
剖析：图形绕某点旋转前后图形的大小不变，且对应点到旋转中心
的距离相等，因此，旋转中心必定在对应点连线的垂直平分线上，每对对应点连线的垂直平分线的交点必过旋转中心. 所以，本题只要分别作出AD、BE的垂直平分线，它们的交点为（0，1）.
正解：本题正确答案是（0，1）.
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例1 （2011山东滨州）如图4，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB为弦的⊙M与x轴相切. 若点A的坐标为（0，8），则圆心M的坐标为（ ）
A. （-4，5） B. （-5，4） C. （5，-4） D. （4，-5）
分析：要求圆心M的坐标，关键是要求点M到x轴的距离. 因为点M在边AB的垂直平分线上，且点M与点B、切点之间的距离相等. 不妨设⊙M与x轴相切于点D，连接DM，并延长DM交AB于点E，则∠BEM=90°，所以，在Rt△BEM中，BE 2+EM 2=BM 2，设DM=y，则42+（8-y）2=y2，解得y=5，圆心M的坐标为（-4，5）. 选A.
例2 （2011江苏南京）如图5，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P所截得的弦AB的长为2■，则a的值是（ ）
A. 2■ B. 2+■ C. 2■ D. 2+■
分析：要求a的值，即需要求圆心P到x轴的距离PD. 由⊙P的圆心坐标是（2，a）、⊙P的半径为2、弦AB的长为2■，则可求得圆心P到AB的距离PC为1，且⊙P与y轴相切. 再由直线的解析式为y=x可知函数图象与y（x）轴的夹角为45°. 设PD交OB于点F，则∠PFC=45°，所以PF=■，DF=OD=PE=2，即PD=2+■，所以a的值是2+■. 正确答案选B.
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1. （2011江苏宿迁）在平面直角坐标系中，点M（-2，3）在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. （2011江苏泰安）若点A的坐标为（6，3），O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标为（ ）
A. （3，-6） B. （-3，6） C. （-3，-6） D. （3，6）
3. （2011江苏盐城）如图6，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（-1，4），将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C′的坐标是______.
4. （2011贵州安顺）如图7，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，P点的坐标为_____.
5. （2011安徽省）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位. 其行走路线如图8所示.
（1） 填写下列各点的坐标：A4（_____，______），A8（______，______），A12（_____，_____）；
（2） 写出点A4n的坐标（n是正整数）；
（3） 指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向.
一 次 函 数
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1. 一般地，如果两个变量x与y之间的函数关系可以表示为y=kx+b（k、b为常数，且k_____0）的形式，那么称y是x的________. 特别地，当b=_____时，y叫做x的正比例函数.
2. 一次函数的图象是一条__________. 因此，画一次函数的图象时，一般可选取两个特殊点. 直线y=kx+b（k≠0，k、b均为常数）与y轴的交点为______，与x轴的交点为________；画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点___________与________ 即可.
3. 一次函数y=kx+b中，
（1） k＞0时，y的值随x值的增大而_____；
（2） k_________0时，y的值随x值的增大而减小.
4. 正比例函数y=kx中，
（1） 当k＞0时，图象经过第________象限，y随x的________而增大；
（2） 当k________0时，图象经过第________象限，y随x的增大而减小.
5. 一般地，正比例函数y=kx的图象是经过________的一条直线，一次函数y=kx+b的图象是正比例函数y=kx的图象沿y轴向________（b＞0）或向________（b＜0）平移________个单位得到的一条直线.
6. 函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）与x轴交点的________就是方程kx+b=0的解；函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图象在x轴上方时x的取值范围是不等式________的解集；函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图象在x轴下方时x的取值范围是不等式________的解集.
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例1 （2011四川乐山）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a（x-1）-b＞0的解集为（ ）
A. x＜-1 B. x＞-1 C. x＞1 D. x＜1
分析：根据一次函数图象的位置，可以得到a＜0、b＞0；又由一次函数图象与x轴的交点，可得a与b之间的数量关系2a+b=0，即b=-2a，从而有关于x的不等式a（x-1）+2a＞0，解得其解集为x＜-1. 本题正确答案为A.
例2 （2011浙江杭州）点A、B、C、D的坐标如图1，求直线AB与直线CD的交点坐标.
分析：先根据点A、B、C、D的坐标分别求出直线AB和CD的解析式，再确定它们的交点坐标.
解答：设直线AB的解析式为y1=k1x+b1，由A（-3，0）、B（0，6）得
-3k1+b1=0，b1=6. 解得k1=2，b1=6. 所以y1=2x+6.
设直线CD的解析式为y2=k2x+b2，由C（0，1）、D（2，0），得
2k2+b2=0，b2=1. 解得k2=-■，b2=1. 所以y2=-■x+1.
因为方程组y=2x+6，y=-■x+1的解为x=-2，y=2.
所以直线AB与直线CD的交点坐标为（-2，2）.
点评：本题着重考查应用待定系数法求一次函数的解析式以及应用二元一次方程组与一次函数之间的关系求两直线交点问题的能力. 特别要注意的是求正比例函数解析式时，只需要一个自变量和其对应的函数值即可. 求一次函数解析式时，需要两个自变量和其对应的函数值.
例3 （2011江苏泰州）小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2 400 m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96 m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2 min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t（min）时，小明与家之间的距离为S1（m），小明爸爸与家之间的距离为S2（m），图2中折线OABD、线段EF分别是表示S1、S2与t之间函数关系的图象.
（1） 求S2与t之间的函数关系式；
（2） 小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？
分析：（1） 先根据条件求得小明爸爸从邮局到家的时间，确定点F的坐标，再应用待定系数法即可求得S2与t之间的函数关系式；（2） 根据条件求得线段BD所在直线的函数解析式，进而求得与线段EF的交点坐标，即可解决问题.
解答：（1） 2 400÷96=25（min），
∴ 点E、F的坐标分别为（0，2 400）、（25，0）.
设EF的解析式为S2=kt+b，则有2 400=b，0=25k+b. 解得k=-96，b=2 400.
∴ S2与t之间的函数关系式为：S2=-96t+2 400.
（2） 由条件可知：B、D点的坐标为（12，2 400）、（22，0）.
设BD的解析式为S=mt+n，则有12m+n=2 400，22m+n=0. 解得m=-240，n=5 280.
∴ BD段的解析式为S=-240t+5 280.
由方程组s=-96t+2 400，s=-240t+5 280求得t=20，s=480. 即BD与EF的交点坐标为（20，480），
∴ 小明从家出发，经过20分钟在返回途中追上爸爸，这时他们距离家480 m.
点评：本题是一道一次函数的实际应用题. 着重考查应用一次函数的数学知识解决实际问题的能力. 解答时要根据条件，抓住函数图象中点的坐标表示的实际意义建立恰当的函数解析式，就能在解答中游刃有余.
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例1 （2011湖北随州）如图3，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x-6上时，线段BC扫过的面积为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 8■
错解：B.
剖析：由条件易求得CA=4，所以点C的坐标为（1，4），将△ABC沿x轴向右平移后点C落在直线y=2x-6上其对应的坐标为（a，4），易求得a=5，说明平移了4个单位. 线段BC扫过的图形为一个平行四边形，其高为4，底为4，面积为16. 究其错因，没有正确理解题意以及求得平移后BC的位置，而导致错误.
正解：本题正确答案选C.
例2 已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是-2≤y≤4，则kb的值为（ ）
A. 12 B. -6 C. -6或-12 D. 6或12
错解：A或B或D.
剖析：由自变量0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是-2≤y≤4，可确定这个一次函数必过（0，-2）和（2，4）或（0，4）和（2，-2），把这两组坐标分别代入可求得k=3，b=-2或k=-3，b=4，所以kb的值为-6或-12. 错解原因：仅仅考虑k＞0时，一次函数必过（0，-2）和（2，4）的情形，忽视k＜0时，一次函数必过（0，4）和（2，-2）的情形，因而出现错误.
正解：本题正确答案选C.
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例1 （2011浙江）如图4，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（-2，4），B（4，2），直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的值不可能是（ ）
A. -5 B. -2 C. 3 D. 5
分析：我们假设直线y=kx-2与线段AB仅有一个交点A或点B时，可以求得y=-3x-2或y=x-2. 当直线y=kx+b越接近y轴时，|k|的值越大，即k≤-3或k≥1时，直线y=kx-2与线段AB有一个交点. 因此，其中k的值不可能是-2. 正确答案为B.
点评：解答这类问题时，往往从其特殊情形入手，再思考其一般性.
例2 （2011江苏南通）如图5，已知三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并且它们都与直线y=■x相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3的半径分别是r1、r2、r3，则当r1=1时，r3=_______.
分析：根据直线的解析式y=■x，不妨设直线上任意一点P的坐标为（m，■m），则tan∠POX=■，直线与x轴的正半轴的夹角∠POX为30°，再根据三个半圆依次相外切，可以得到r2=3r1，同样得到r3=3r2、r3=9r1=9.
点评：根据直线解析式揭示图象上点的坐标间的数量关系，再转化为直角三角形中边之间的数量关系，进而确定其内角的度数.
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1. （2011广东广州）当实数x的取值使得■有意义时，函数y=4x+1中y的取值范围是
（ ）
A. y≥-7 B. y≥9 C. y＞9 D. y≤9
2. （2011湖北黄石）已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直线y=kx+2将梯形分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）
A. -■ B. -■ C. -■ D. -■
3. （2011江苏泰州）“一根弹簧原长10 cm，在弹性限度内最多可挂质量为5 kg的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，■则弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式是y=10+0.5x（0≤x≤5）. ”
王刚同学在阅读上面材料时就发现部分内容被墨迹污染，被污染部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是______________（只需写出一个）.
4. （2011内蒙古呼和浩特）已知关于x的一次函数y=mx+n的图象如图6所示，则|n-m|-■可化简为________.
5. （2011湖北襄阳）为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客.门票定价为50元/人，非节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m人以下（含m人）的团队按原价售票；超过m人的团队，其中m人仍按原价售票，超过m人部分的游客打b折售票. 设某旅游团人数为x人，非节假日购票款为y1（元），节假日购票款为y2（元）. y1、y2与x之间的函数图象如图7所示.
（1） 观察图象可知：a=________；b=________；m=________；
（2） 直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（3） 某旅行社导游王娜于5月1日带A团，5月20日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款1 900元，A、B两个团队合计50人，求A、B两个团队各有多少人？
反比例函数
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1. 反比例函数y=■（k≠0）的图象是________，它有两个分支. 当k＞0时，图象的两个分支分别在________象限内；当k＜0时，图象的两个分支分别在________象限内.
2. 当k＞0时，在每个象限内，反比例函数y=■中的y随x的增大而________；当k＜0时，在每个象限内，y随x的增大而________.
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例1 （2011江苏连云港）关于反比例函数y=■的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 必经过点（1，1） B. 两个分支分布在第二、四象限
C. 两个分支关于x轴成轴对称 D. 两个分支关于原点成中心对称
分析：根据反比例函数的性质可以知道，图象的两个分支分布在第一、三象限，两个分支关于第一、三象限的角平分线成轴对称图形，并且关于原点成中心对称. 而点（1，1）不在该函数图象上. 因此，正确的选项只有D.
例2 （2011江苏淮安）如图1，反比例函数y=■的图象经过点A（-1，-2），则当x＞1时，函数值y的取值范围是（ ）
A. y＞1 B. 0＜y＜1 C. y＞2 D. 0＜y＜2
分析：由反比例函数y=■的图象经过点A（-1，-2），则可以知道该函数的解析式为y=■. 由图象和反比例函数的性质知道，当x＞1时，0＜y＜2. 故选D.
例3 （2011江苏扬州）如图2，已知函数y=-■与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+■=0的解为__________.
分析：求关于x的方程ax2+bx+■=0的解，也就是求关于x的方程ax2+bx=-■的解，即求函数y=-■与y=ax2+bx交点P的横坐标，由图象易得-3.
点评：本题灵活地将解方程问题转化为求两个函数的交点问题，体现了形数结合的数学思想和转化思想.
例4 （2011江苏南通）如图3，直线l经过点A（1，0），且与双曲线y=■（x＞0）交于点B（2，1），过点P（p，p-1）（p＞1）作x轴的平行线分别交曲线y=■（x＞0）和y=-■（x＜0）于M，N两点.
（1） 求m的值及直线l的解析式；
（2） 若点P在直线y=2上，求证：△PMB∽△PNA；
（3） 是否存在实数p，使得S△AMN=4S△APM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由.
分析：根据点A、B的坐标，应用待定系数法即可解决问题（1）；根据直线l的解析式，知点A、B、P在同一条直线上，且点B为PA的中点，再确定点P在直线y=2上时点M也是PN的中点，从而根据三角形的中位线性质解决问题（2）；第（3）问，要探求两个三角形的面积比的条件，可以转化为探求两条线段比的条件，进而可以转化为求关于p的一元二次方程.
解答：（1） ∵ 点B（2，1）在双曲线y=■上，∴ 1=■，得m=2.
设直线l的解析式为y=kx+b，∵ 直线l过A（1，0）和B（2，1），∴ k+b=0，2k+b=1，解得k=1，b=-1.
∴ 直线l的解析式为y=x-1.
（2） 当x=p时，y=p-1，点P（p，p-1）（p＞1）在直线l上，如图4.
∵ P（p，p-1）（p＞1）在直线y=2上，∴ p-1=2，解得p=3，∴ P（3，2）.
∵ PN∥x轴，∴ P、M、N的纵坐标都等于2，把y=2分别代入双曲线y=■和y=-■，得M（1，2），N（-1，2），由■=■=1，知M是PN的中点，又B是PA的中点，∴ BM∥AN，∴ △PMB∽△PNA.
（3） 由于PN∥x轴，P（p，p-1）（p＞1），∴ M、N、P的纵坐标都是p-1（p＞1），把y=p-1分别代入双曲线y=■（x＞0）和y=-■（x＜0），得M的横坐标x=■，N的横坐标x=-■（其中p＞1）.
∵ S△AMN=4S△APM且P、M、N在同一直线上，∴ ■=■=4，得MN=4PM，即■
=4p-■，整理得p2-p-3=0，解得p=■. 由于p＞1，负值舍去，∴ p=■，经检验p=■是原题的解，∴ 存在实数p，使得S△AMN=4S△APM，p的值为■.
点评：本题考查了同学们综合应用反比例函数、一次函数、三角形的中位线、相似三角形条件以及一元二次方程等知识解决综合问题的能力. 同时，能够较好地体现数形结合、等积转化和方程的数学思想.
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例1 （2011浙江杭州）如图5，函数y1=x-1和函数y2=■的图象相交于点M（2，m），N（-1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A. x＜-1或0＜x＜2 B. x＜-1或x＞2
C. -1＜x＜0或0＜x＜2 D. -1＜x＜0或x＞2
错解：选C.
剖析：解题正确思路是观察函数y1在函数y2上方部分所对应的自变量x的值的范围. 错解原因：不能正确地从函数的图象中获取相关信息.
正解：D.
例2 （2011江苏南京）设函数y=■与y=x-1的图象的交点坐标为（a，b），则■-■的值为________.
错解：1.
剖析：因为函数y=■与y=x-1的图象的交点坐标为（a，b），所以ab=2、a-b=1，则■-■=■=-■.
正解：-■.
例3 （2011四川南充）小明乘车从南充到成都，行车的平均速度y（km/h）和行车时间x（h）之间的函数图象是（ ）
错解：选A.
剖析：由条件知，行车的平均速度y（km/h）和行车时间x（h）之间的函数关系应该为反比例函数，不妨设y=■，且k＞0、x＞0，因此，函数图象应该是在第一象限，即选B. 如果忽视x＞0的隐含条件，就会出现选A的错误结果.
正解：选B.
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例1 （2011江苏无锡）如图6，抛物线y=x2+1与双曲线y=■的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式■+x2+1＜0的解集是（ ）
A. x＞1 B. x＜-1 C. 0＜x＜1 D. -1＜x＜0
分析：求关于x的不等式■+x2+1＜0的解集，也就是求关于x的不等式x2+1＜-■的解集，显然，双曲线y=-■的图象在二、四象限，且与双曲线y=■关于y轴成轴对称图形，与抛物线y=x2+1的交点A的横坐标必定是-1，因此，其解集为-1＜x＜0. 故选D.
点评：本题需要灵活应用图象的轴对称性和图象的相关性质求得所求不等式的解集.
例2 （2011陕西省）如图7，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-■和y=■的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
分析：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，则四边形AMOP的面积为4、四边形PONB的面积为2，四边形AMNB的面积为6，所以△ABC的面积为3. 故选A.
点评：本题巧妙地应用反比例函数中的一个重要结论“过双曲线y=■上的任意一点作坐标轴的垂线与坐标轴围成的四边形面积为|k|”，使问题的解答得心应手.
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1. （2011江苏扬州）某反比例函数的图象经过点（-1，6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（ ）
A. （-3，2） B. （3，2） C. （2，3） D. （6，1）
2. （2011江苏徐州）平面直角坐标系中，已知点O（0，0）、A（0，2）、B（1，0），点P是反比例函数y=-■图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q. 若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. （2011江苏苏州）如图8，已知点A的坐标为（■，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=■（k＞0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D. 若AB=3BD，以点C为圆心，CA的■倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是________（填“相离”、“相切”或“相交”）.
4. （2011浙江宁波）如图9，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y=■（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=■（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为________.
5. （2011山东菏泽）已知一次函数y=x+2与反比例函数y=■，其中一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5）.
① 试确定反比例函数的表达式；
② 若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标.
二次函数
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1. 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象是抛物线，它的顶点坐标是（_____，_____），对称轴是过_____点且与y轴平行的直线（当b=0时，对称轴为y轴所在的直线）.
（1） 当a＞0时，图象开口向_____，且当x_____时，函数y=ax2+bx+c有最小值，y最小值=_____；
（2） 当a＜0时，图象开口向_____，且当x_____时，函数y=ax2+bx+c有最大值，y最大值=_____.
2. 二次函数常见的表达形式
（1） 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；
（2） 顶点式：________，其中点（m，h）为该二次函数的顶点.
3. 一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下关系：
（1） 如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有__________的实数根；
（2） 如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有且只有一个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有________的实数根；
（3） 如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c
=0有_______实数根.
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例1 （2011江苏宿迁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图1，则下列结论中正确的是（ ）
A. a＞0 B. 当x＞1时，y随x的增大而增大
C. c＜0 D. 3是方程x2+bx+c=0的一个根
分析：观察图象，我们即可知道a＜0、c＞0，对称轴为直线x=1，图象与x轴的一个交点为（-1，0），由此推出图象与x轴的另一个交点为（3，0），因此，方程x2+bx+c=0的两个根分别为-1、3，所以，正确选项为D.
例2 （2011江苏镇江）已知二次函数y=-x2+x-■，当自变量x取m时，对应的函数值大于0，当自变量x分别取m-1，m+1时，对应的函数值y1、y2必定满足（ ）
A. y1＞0，y2＞0 B. y1＜0，y2＜0 C. y1＜0，y2＞0 D. y1＞0，y2＜0
分析：因为y=-x2+x-■=-x-■2+■，所以其对称轴为直线x=■，且与y轴的交点为0，-■，则该函数图象与x轴的两个交点A、B都在x轴的正半轴上. 当自变量x取m时，对应的函数值大于0，所以，点（m，0）位于交点A、B之间，易知|AB|＜1，所以，点（m-1，0）、（m+1，0）都位于这两个交点A、B的外侧，所以当自变量x分别取m-1，m+1时，对应的函数值y1、y2都小于0. 故选B.
例3 （2011江苏连云港）如图2，抛物线y=■x2-x+a与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点在直线y=-2x上.
（1） 求a的值；
（2） 求A、B两点的坐标；
（3） 以AC、CB为一组邻边作?荀ACBD，则点D关于x轴的对称点D′是否在该抛物线上？请说明理由.
分析：先求得顶点的横坐标，再求得顶点坐标，即可求得a的值和A、B两点的坐标. 对于问题（3）中的点D可以看成另外两边所在直线的交点，从而确定点D关于x轴的对称点D′，并判定其是否在该抛物线上.
解答：（1） ∵ 抛物线y=■x2-x+a的顶点的横坐标为x=-■=1.
∵ 顶点在直线y=-2x上，所以y=-2，即顶点坐标为（1，-2），由-2=■-1+a，求得a=-■.
（2） 二次函数的关系式为y=■x2-x-■，当y=0时，■x2-x-■=0，解得x1=-1、x2=3，即A（-1，0），B（3，0）.
（3） 如图2，直线BD∥AC，AD∥BC，由A（-1，0），C0，-■，可得直线AC的解析式为y=-■x-■，设BD的解析式为y=-■x+b，由B（3，0），得b=■，则直线BD的解析式为y=-■x+■，同理可得直线AD的解析式为y=■x+■.
因此，直线BD与CD的交点D的坐标为2，■，点D关于x轴的对称点D′是2，-■，当x=2时代入y=■x2-x-■，得y=-■，所以D′在二次函数y=■x2-x-■的图象上.
例4 （2011江苏无锡）张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定，张经理的采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图3中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）.
（1） 求y与x之间的函数关系式；
（2） 已知老王种植水果的成本是2 800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？
分析：由于采购价y （元/吨）与采购量x （吨）之间函数关系的图象是折线段ABC，因此，所求函数关系式需要分情况加以讨论，同样，所获利润也需要分情况加以讨论，比较不同情况下所获最大利润.
解答：（1） 当0＜x≤20时，y=8 000；
当20＜x≤40时，设BC满足的函数关系式为y=kx+b，将B（20，8 000），C（40，4 000）代入，解得
k=-200，b=12 000，∴ y=-200x+12 000.
（2） 当0＜x≤20时，老王获得的利润为w=（8 000-2 800）x=5 200x≤104 000，
此时老王获得的最大利润为104 000元；
当20＜x≤40时，老王获得的利润为：
w=（-200x+12 000-2 800）x=-200（x2-46x）=-200（x-23）2+105 800，
∴ 当x=23时，利润w取得最大值，最大值为105 800元.
∵ 105 800＞104 000，
∴ 当张经理的采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获得的利润最大，最大利润为105 800元.
点评：对于实际问题，需要结合实际意义背景下的自变量的取值范围确定其函数关系式和函数值. 本题考查同学们应用所学数学知识解决实际问题的能力，体现了数学的应用价值.
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例1 （2011江苏无锡）下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴，且经过点（0，1）的是
（ ）
A. y=（x-2）2+1 B. y=（x+2）2+1 C. y=（x-2）2-3 D. y=（x+2）2-3
错解：选B.
剖析：由条件直线x=2为对称轴可以淘汰B、D，再从A与C中选择经过点（0，1）的解析式，为y=（x-2）2-3.
正解：选C.
例2 （2011四川广安）若二次函数y=（x-m）2-1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A. m=1 B. m＞1 C. m≥1 D. m≤1
错解：选A.
剖析：二次函数y=（x-m）2-1，当x≤m时，y随x的增大而减小，当x≥m时，y随x的增大而增大. 反过来，二次函数y=（x-m）2-1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则说明x≤1是x≤m的一部分或全部，因此，m应该满足m≥1.
正解：选C.
例3 （2011湖北襄阳）已知函数y=（k-3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是
（ ）
A. k＜4 B. k≤4 C. k＜4且k≠3 D. k≤4且k≠3
错解：选D.
剖析：当k-3≠0时，图象与x轴有交点，则4-4（k-3）≥0，解得k≤4；当k-3=0，即k=3时，函数为y=2x+1，其图象与x轴仍然有交点. 所以k的取值范围是k≤4. 由于忽视问题中的条件“函数”，而误以为“二次函数”导致出现错误.
正解：选B.
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例1 已知实数x、y满足x2+3x+y-3=0，则x+y的最大值为________.
分析：我们把x+y看成是一个整体，对x2+3x+y-3=0进行变形得，x+y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，所以，当x=-1时，x+y最大值为4.
解答：本题应填4.
例2 若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
则当x=1时，y的值为（ ）
A. 5 B. -3 C. -13 D. -27
分析：观察表格中x与y的对应值，我们不难看出，当x=-4与x=-2时，y的值都是3，因此，函数的图象关于直线x=-3成轴对称，则x=1与x=-7时的函数值也是相等的，为-27.
解答：选D.
点评：本解法没有根据表格中的相关数值应用待定系数法分别求得a、b、c的值，而是灵活地应用表格中函数值y相等确定其对称轴，再应用函数的对称性解决问题.
例3 k为何值时，函数y=2x2+4x+k-3的值总是大于0？
分析：由于函数的值总是大于0，所以这个函数图象全部在x轴的上方，与x轴没有交点，从而可以应用一元二次方程与二次函数之间的关系解决问题.
解答：∵ 函数y=2x2+4x+k-3的二次项系数是2＞0，且它的函数值总是大于0，
∴ 函数图象的开口方向向上，且全部在x的上方，与x轴没有交点，
∴ △=42-8（k-3）＜0，解得k＞5.
即k＞5时，函数y=2x2+4x+k-3的值总是大于0.
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1. （2011江苏淮安）抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是________.
2. （2011广东茂名）给出下列命题：
命题1. 点（1，1）是双曲线y=■与抛物线y=x2的一个交点；
命题2. 点（1，2）是双曲线y=■与抛物线y=2x2的一个交点；
命题3. 点（1，3）是双曲线y=■与抛物线y=3x2的一个交点；
……
请你观察上面的命题，猜想出命题n（n是正整数）：______________.
3. （2011广西桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）
A. y=-（x+1）2+2 B. y=-（x-1）2+4
C. y=-（x-1）2+2 D. y=-（x+1）2+4
4. （2011山东聊城）某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的. 为了牢固起见，每段护栏间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m（如图4），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A. 50 m B. 100 m C. 160 m D. 200 m
5. （2011江苏南京）已知函数y=mx2-6x+1（m是常数）.
（1） 求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
（2） 若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.
6. （2011辽宁沈阳）一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件. 今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次，以拓展市场. 若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量增加x倍（本题中0＜x≤1）.
（1） 用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为______元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为________元；
（2） 求今年这种玩具每件的利润y与x之间的函数关系式；
（3） 设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？
注：年销售利润=（每件玩具的出厂价-每件玩具的成本）×年销售量
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平面直角坐标系
1. B. 2. A. 3. （3，1）. 4. P（3，4）或（2，4）或（8，4）.
5. （1） A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）. （2） A4n（2n，0）. （3） 向上.
一次函数
1. B. 2. A. 3. 悬挂2 kg物体弹簧总长度为11 cm（答案不唯一）. 4. n.
5. （1） a=6、b=8、m=10. （2） y1=30x；y2=50x（0≤x≤10），40x+100（x＞10）.
（3） 设A团有n人，则B团有（50-n）人. 当0≤n≤10时，50n+30（50-n）=1 900，解得n=20，这与n≤10矛盾；当n＞10时，40n+100+30（50-n）=1 900，解得n=30，∴ 50-30=20.
答：A团有30人，B团有20人.
反比例函数
1. A. 2. D. 3. 相交. 4. （■+1，■-1）.
5. 因一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5），得5=k+2，解得k=3，所以反比例函数的表达式为y=■；（2） 联立方程组得y=x+2，y=■.解得x=1，y=3或x=-3，y=-1，故第三象限的交点Q的坐标为（-3，-1）.
二次函数
1. （1，-4）. 2. 点（1，n）是双曲线y=■与抛物线y=nx2的一个交点.
3. B. 4. C.
5. （1） 当x=0时，y=1，所以不论m为何值，函数y=mx2-6x+1的图象经过y轴上的一个定点（0，1）. （2） ① 当m=0时，函数y=-6x+1的图象与x轴只有一个交点；② 当m≠0时，若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2-6x+1=0有两个相等的实数根，所以（-6）2-4m=0，m=9. 综上，若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9.
6. （1） （10+7x），（12+6x）. （2） y=（12+6x）-（10+7x）=2-x. （3） ∵ w=2（1+x）（2-x）=-2x2
+2x+4，∴ w=-2（x-0.5）2+4.5. ∵ -2＜0，0＜x≤1，∴ w有最大值，当x=0.5时，最大值为4.5（万元）.
答：当x=0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元.
标签：函数