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数学必修四高考常见题

时间:2017-05-10 来源:东星资源网 本文已影响 手机版

篇一:高中数学必修4知识归纳 典型试题

数学必修4知识归纳

一、任意角(逆时针旋转?正角,顺时针旋转?负角) 1、与?终边相同的角的集合:{?(1)

|????2k?,k?Z} 2、弧度制

?

??

lr

,l???r

(2)180

?? rad

1??() rad

180

?

1rad?(

180

?

)??57.3?

(3)扇形面积S?

11

lr??r2 22

二、任意角的三角函数1、定义 2、三角函数的值在各象限的符号 三、同角三角函数的基本关系式: 1、sin

2

??cos2??1;tan??

sin?

cos?

tan??co?t?

1 2、特殊角的三角函数值:

四、诱导公式(口诀:纵变横不变,符号看象限)

五、三角恒等变换 思想方法:①切化弦、平方降幂的思想;②化为同角、同名的思想;③拆角的思想:如?

?(???)?????(???),2??(???)?(???)等

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、降幂公式:

令???

?sin2??2sin?cos? sin??????sin?cos??cos?sin????

令???

?cos2??cos2??sin2? cos??????cos?cos??sin?sin????

cos2??2cos2??1 ?降幂公式:cos2??

1+cos2?2

cos2??1?2sin2?sin2??

1?cos2?

2

tan??????

2tan?tan??tan?令???

????tan2??   2

1?tan?1?tan?tan?

2、辅助角公式(合一思想):关键是“提斜边”

asinx?bcosxx??) (?

3、正余弦“三兄妹”:

sinx?cosx、sinx?cosx、sinxcosx —— 知一求二

2

内在联系:(sinx?cosx)六、三角函数的图象与性质

?1?2sinxcosx?1?sin2x

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质的比较(见书) 1、会用“五点法”画出函数

y?Asin(?x??)?B的图象:步骤:设X??x??,令X

6

=0,

?

2

,?,

?

x值及对应的y值?描点作图试一试:请用“五点法”画出函数y?2sin(2x?)在一个周期内闭区间的图象

列表:

3?

,2??求相应的2

2、函数

y?Asin(?x??)?B的图象变换(伸缩变换与平移变换)

y?sin?x?y?sin??x???,应向左或向右平移|

特别注意:

?

|个单位长度 ?

试一试:函数3、函数

1?

y?3sin(x?)?2的图象可以由y?sinx的图象经过怎样的变换得到?

26

y?Asin(?x??)表达式的确定:

几个物理量:步骤:

A——振幅 T?

2?

?

——周期

f?

1

T

——频率

?——初相 ?x?? ——相位

A由最值确定 ? ?由周期确定 ? ?由图象上的特殊点确定,

七、解三角形:

1、内角和定理:A?B?C2、正弦定理:

??,A?B???C,sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,sin

A?BC

?cos 22

abc

???2R(R为△ABC外接圆的半径).

sinAsinBsinC

a

注意:① 正弦定理的一些变式:a?b?c?sinA?sinB?sinC;sinA?

2R

,sinB?

b2R

,sinC?

c2R

a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC ② 解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解

3、余弦定理 4、面积公式:S八、平面向量 1、平面向量的概念

(1)定义(2)零向量(3)单位向量(4)平行向量(共线向量) 2、平面向量的线性运算

(1)向量的加法与减法① 三角形法则 ② 平行四边形法则 (2)向量的模性质:

≤|a?b|≤|a|?|b|  |a|?|b|?aha?absinC?r(a?b?c)(其中r为三角形内切圆半径). (3)向量共线定理:向量b与非零向量a共线?有且只有一个实数?,使得b3、平面向量的数量积

(1)平面向量数量积的定义(投影.) (注意:用几何法计算(2)夹角?与数量积a?b之间的关系 (3)数量积的三个运算律: ① 交换律a?b

??a

a和b的夹角时,必须先判断a与b是否共起点)

?b?a;② 对实数的结合律:(?a)?b??(a?b)?a?(?b)

③ 分配律(a?b)?c

?a?c?b?c由此可得:(a?b)2?a2?2a?b?b2,(a?b)?(a?b)?a2?b2

?a?(b?c)

注意:结合律是对实数的结合,对向量一般是不成立的,即(a?b)?c4、平面向量的坐标运算

????????????

P、A、B、C(1)平面向量基本定理【定理2】:平面上四点满足PC?xPA?yPB,x?y?1?A、B、C三点共线 ????

(2)任意两点组成的向量AB?(x2?x1,y2?y1)

(3)向量的加法、减法、数乘运算:a?b?(x1向量的数量积运算:a?b(4)平行向量:

?x2,y1?y2);?a?(?x1,?y2)

?x1x2?y1y2?a?bcos?

a∥b?x1y2?x2y1?0?b??a

?b?x1x2?y1y2?0?a?b?0

?

(5)垂直向量:a

(6)向量的夹角:cos?

?

a?ba?b

2

(7)向量的模:

a?

?a2?a?a?a

两点间距离:d?AB?AB?AB的中点坐标:(

(8)

x?x?xy?y2?y3x1?x2y1?y2

,;?ABC的重心坐标:(123,1). 2233

同向的单位向量a

(9)单位向量:与向量

a?

a?a

第三章 三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴cos⑶sin

??????cos?cos??sin?sin?;⑵cos??????cos?cos??sin?sin?;

??????sin?cos??cos?sin?;⑷sin??????sin?cos??cos?sin?; ????????????

tan??tan?

?(tan??tan??tan??????1?tan?tan??);

1?tan?tan?

tan??tan?

?(tan??tan??tan??????1?tan?tan??).

1?tan?tan?

万能公式:

αα2tan1?tan2

;cosα?sinα?

αα

1?tan21?tan2

22

⑸tan

⑹tan

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式 26、 半角公式:

(转载自:www.dXf5.cOm 东星资源网:数学必修四高考常见题)

α?cosαα1?cosα

cos??;sin??

22α?cosα

?(后两个不用判断符号,更加好用)

y?Asin(?

x??)?B形式。

27、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的

?sin???cos???????,其中tan??

28、常用的数学思想方法技巧如下:

?. ?

(1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关

系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如:

?

①2?是?的二倍;4?是2?的二倍;?是

2

③?

?

的二倍;

2?是430o

的二倍; ②15?45?30?60?45?

2

o

o

o

o

o

?(???)??;④

?

4

???

?

2

?(

?

4

??);⑤2??(???)?(???)?(

?

4

??)?(

?

4

??);等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换变形有:

1?sin2??cos2??tan?cot??sin90o?tan45o

(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式

有: ;。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式常用升幂公式有: ; ;

(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 ?cos?

常用升幂化为有理式,

1?tan?

?_______________

1?tan?

1?tan?

?______________

1?tan?

tan??tan??____________

1?tan?tan??___________

tan??tan??____________;1?tan?tan??___________;2tan??;

1?tan2??tan20o?tan40o?tan20otan40o? asin??bcos??;(其中tan??)

1?cos??;1?cos??;

(6)三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手;

基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值与特殊角的三角函数互化。 如:sin50

o

(1?3tan10o)?tan??cot??

高中数学必修四三角函数检测题

1.下列不等式中,正确的是()

A.tan2. 函数A.[?C.[?

7?2?13?13???

B.sin?cos(?) C.sin(π-1)<sin1oD.cos?tan?cos(?)

554557

y?sin(?2x?

6?2k?,

?

6

)的单调递减区间是()

B.[

??

3

?2k?](k?Z)

?

6

?2k?,

5?

?2k?](k?Z) 6

?

6

?k?,

?

3

?k?](k?Z) D.[

?

6

?k?,

5?

?k?](k?Z) 6

3.函数A.

?,x?

y?|tanx|的周期和对称轴分别为()

k?? B.

2(k?Z)

2

,x?k?(k?Z)

C.

?,x?k?(k?Z)D.

?

2

,x?

k?

(k?Z) 2

4.要得到函数

y?sin2x的图象,可由函数y?cos(2x??)( )

4

A. 向左平移

?8

个长度单位B. 向右平移

?8

个长度单位 C. 向左平移

??

个长度单位 D. 向右平移个长度单位 44

5.三角形ABC中角C为钝角,则有 ( )

A.sinA>cosBB. sinA<cosBC. sinA=cosB D. sinA与cosB大小不确定

??15?的值等于() cosx(??x?0),则?6.设的函数,若f(x)?f(?)2?4

??sinx(0?x??)

A.1 B

C.0

D. ?

7.函数y?f(x)的图象如图所示,则y?f(x)的解析式为( ) 3?

f(x)是定义域为R,最小正周期为

2

A. C.

ysin2x?2B.y?2cos3x?1

y?sin(2x?

?

5

)?1 D. y?1?sin(2x?

?

5

)

8.已知函数是( )

f(x)?asinx?bcosx(a、b为常数,a?0,x?R)在x?

?

4

7?20处取得最小值,则函数

y?f(

3?

?x)4

A.偶函数且它的图象关于点(?,0)对称B.偶函数且它的图象关于点(C.奇函数且它的图象关于点(

3?

,0)对称 2

3?

,0)对称 2

D.奇函数且它的图象关于点(?,0)对称

f(x)?sinx?3cosx,x?[??,0]的单调递增区间是( )

5?5????] B.[?,?]C.[?,0] D.[?,0] A.[??,?

36666

??????

10. 已知函数y?sin?x?cosx????,则下列判断正确的是( )

1212????

???

A.此函数的最小周期为2?,其图像的一个对称中心是?,0?

?12????

B.此函数的最小周期为?,其图像的一个对称中心是?,0?

12?????

C.此函数的最小周期为2?,其图像的一个对称中心是?,0?

?6????

D.此函数的最小周期为?,其图像的一个对称中心是?,0?

?6?

cos2?2

??11. 若,则cos??sin?的值为( ) 2

sin(??)

4

1177

A.? B.?C.D.

2222

9.函数

篇二:高中数学必修4综合测试题及答案

必修4综合检测

一、选择题(每小题5分,共60分) 1.下列命题中正确的是()

A.第一象限角必是锐角B.终边相同的角相等 C.相等的角终边必相同D.不相等的角其终边必不相同 2.将分针拨慢5分钟,则分钟转过的弧度数是 A.

( ) D.-

? 3

B.-

? 3

C.

? 6? 6

3.已知角?的终边过点P??4m,3m?,?m?0?,则2sin??cos?的值是()

A.1或-1 B.

2222

或?C.1或? D.-1或 5555

4、若点P(sin??cos?,tan?)在第一象限,则在[0,2?)内?的取值范围是( )

??5??3?5?

A.(,)(?,)B.(,)(?,)

424244

?3?5?3??3?3?

C.(,)(,) D.(,)(,?)

2442244

5. 若||?2 ,||?2 且(?)⊥ ,则与的夹角是 ( )

(A) (B)

?

6

5??

(C) (D)? 4312

6.已知函数y?Asin(?x??)?B的一部分图象如右图所示,如果A?0,??0,|?|?

?

2

,则( )

A.A?4B.??1 C.??

?

6

D.B?4

7. 设集合A??(x,y)|y?2sin2x?,集合B??(x,y)|y?x?,则( ) A.A?B中有3个元素 B.A?B中有1个元素 C.A?B中有2个元素 D.A?B?R 8.已知x?(?

A.

7

24

?

2

,0),cosx?

4

,则tan2x?( ) 5

B.?

724

C.24

7

D.?

247

πππ

9. 同时具有以下性质:“①最小正周期实π;②图象关于直线x=3在[-63上是增函数”的一个函数是 ()xπA. y=sin(2+6)

π

B. y=cos(2x+3

ππ

C. y=sin(2x

-6 D. y=cos(2x-6)

10. 设i=(1,0),j=(0,1),a=2i+3j,b=ki-4j,若a⊥b,则实数k的值为( ) A.-6B.-3 C.3D.6 11. 函数y?3sin(

A.2?

3

?

4

?3x)?3cos(

?

4

?3x)的最小正周期为 ()

B.?

3

C.8 D.4

12. 2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为?,大正方形的面积是1,小正方形的面积是

A.1

1

,则sin2??cos2?的值等于( ) 252477B.?C. D.-

252525

二、填空题(每小题4分,共16分) 13. 已知sin

?

2

?cos

?

2

?

2,那么sin?的值为 ,cos2?的值为 。 3

12

,则a·b= 。 5

14. 已知|a|=3,|b|=5, 且向量a在向量b方向上的投影为

15. 已知向量OP?(2,1),OA?(1,7),OB?(5,1),设X是直线OP上的一点(O为坐标原点),那么?的最小值是___________________。 16.给出下列6种图像变换方法:

①图像上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的横坐标伸长到原来的2倍;③图像向右平移右平移

1

;②图像上所有点的纵坐标不变,2

??

个单位;④图像向左平移个单位;⑤图像向33

2?2?

个单位;⑥图像向左平移个单位。请写出用上述变换将函数y = sinx的图像变33

x?

换到函数y = sin (+)的图像的一个变换______________.(按变换顺序写上序号即可)

23

三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应有证明或演算步骤) 17、(12分)已知cos(α-18. (12分)已知值.

19.(12分)已知向量a?(cos

3x3xxx

,sin),b?(cos,?sin),其中x?R.(Ⅰ)c?(,?1),2222

???????12

)=?,sin(??)=,且α∈(,π),β∈(0,),求cos的值. 2222293

??33?5?3????,0???,cos(??)??,sin(??)?,求sin?????的

44541344

当a?b时,求x值的集合;(Ⅱ)求|a?c|的最大值。

20、(12分)已知函数f(x)?2sin2x?sin2x?1,x?R.

(1)求f(x)的最小正周期及f(x)取得最大值时x的集合; (2)在平面直角坐标系中画出函数f(x)在[0,?]上的图象. 21、(12分)设a、b是两个不共线的非零向量(t?R)

1

(1)记OA?a,OB?tb,OC?(a?b),那么当实数t为何值时,A、B、C三点共线?

3

(2)若||?||?1且与夹角为120?,那么实数x为何值时|?x|的值最小?

22、(14分)某沿海城市附近海面有一台风,据观测,台风中心位于城市正南方向200km的海面P处,并正以20km/h的速度向北偏西?方向移动(其中cos??

19

),台风当前影响半径20

为10km,并以10km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风影响?影响时间多长?

参考答案C2. D3.B4、B5、B6、C7、A8、D 9、C. 10、D11、A12、D

17

13、,、15.-8 16. ④②或②⑥

39

17、已知cos(α-18. 解:∵

???????12

)=?,sin(??)=,且α∈(,π),β∈(0,),求cos的值. 2222293

?3???? 44

?4???3

∴????? 又cos(??)?? ∴sin(??)?

452445

?3?3?3?5

????? 又sin(??)? ∵0??? ∴

4444133?12

∴cos(??)??

413

?3?

∴sin(? + ?) = ?sin[? + (? + ?)] = ?sin[(??)?(??)]

44

?3??3?4123563

??[sin(??)cos(??)?cos(??)sin(??)]??[?(?)??]?

444451351365

3xx3xx

19解:(Ⅰ)由a?b,得a?b?0,即coscos?sinsin?0.????4分

2222

kππ

?(k?Z).?????????????5分 则cos2x?0,得x?

24

kππ??

∴ ?x|x??,k?Z?为所求.?????????????6分

24??

(Ⅱ)|a?c|2?(cos

3x3x3xπ?)2?(sin?1)2?5?4sin(?),?????10分 2223

所以|a?c|有最大值为3.????????????????????12分 20解:(I)f(x)?2sin2x?sin2x?1?sin2x?(1?2sin2x)?sin2x?cos2x

?

=2sin(2x?)??????????5分

4

所以f(x)的最小正周期是??????6分

所以当2x??x? R,

?

4

?2k??

?

2

,即x?k??

3?

(k?Z)8

时,f(x)的最大值为2.

即f(x)取得最大值时x的集合为{x|x?k??

3?

,k?Z}??????8分 8

(II)图象如下图所示:(阅卷时注意以下3点) 1.最小值f(

3?

)?2, 8

7?

)??2.??????10分 8

最小值f( 2.增区间[0,

3?7?

],[,?]; 88

减区间[

3?7?

,]????????12分 88

??3?

3.图象上的特殊点:(0,-1),(,1),(,1),(,?1),(?,?1)???14分

442

[注:图象上的特殊点错两个扣1分,最多扣2分]

21、解:(1)A、B、C三点共线知存在实数?,使???(1??)

1

即(?)???(1??)t,???????????????????4分 3

11

则??,实数t?????????????????????????6分

32

1

(2)??||?||cos120???,

2?|?x|2??x2??2x???x2?x?1,?????9分

2

2

1当x??时,|?x|取最小值?????????12分

22

22、解:如右图,设该市为A,经过t小时后台风开始影响该城市,

则t小时后台风经过的路程PC=(20t)km,台风半径为CD=(10+10t)km,需满足条件:CD≥AC

AC?(PC?PA)2?PC?PA?2PAPC|AC|?|PC|?|PA|?2|PA||PC|cos?

2

2

2

222

?2002?(20t)2?220020t

19

?40000?400t2?7600 20

∴40000?400t2?7600t?CD2?(10?10t)2 整理得300t2?7800t?39900?0 即t2?26t?133?0 解得7?t?19

∴7小时后台风开始影响该市,持续时间达12小时。

篇三:高中数学 必修四 三角函数最值与值域常考题型总结(含答案)

三角函数最值与值域专题

三角函数的最值问题是高考的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。

类型一:利用sinx?1,cosx?1这一有界性求最值。

sinx?1

的值域。

2?sinxsinx?12y?1

解:由y?变形为(y?1)sinx?2y?1,知y??1,则有sinx?,

2?sinxy?1

22y?12y?12

|sinx|?||?1?||?1?(2y?1)2?(y?1)2???y?0,则此函数的值域是

3y?1y?1

2

y?[?,0]

3

例2,若函数y?acosx?b的最大值是1,最小值是?7,求a,b a?0,a?b?1,?a?b??7?a?4,b??3

例1:求函数y?

a?0,?a?b?1,a?b??7?a??4,b??3

1?cosx

(??,?3][1,+?)练习:1,求函数y?的值域

3?cosx

1

2,函数y?sinx的定义域为[a,b],值域为[?1,],则b-a的最大值和最小值之和为b

2

4?8?A.B.2?C. D.4?

33

类型二:y?

asinx?bcosx型。此类型通常可以可化为y?asinx?bcosx?x??)求其最值(或值域)。

例1:求函数y?3sinx?4cosx,x?(0,

?

2

)的最值。

解:

34y?3sinx?4cosx?5sin(x??),cos??,sin??

55x???(?,

?

2

??),y?(3,5]

2,求函数y?sin(x?解法:y?sin(x?

?

6

)?sin(x?

?

3

)(x?R)的最值。

?

6

)?cos(x?

?

6

)?2sin[(x?

?

6

)?

?

4

]?2sin(x?

?

12

),∴函数的最大值为2,最小值

为?2。

练习:1,函数y=3sin(x+20°) +5sin(x+80°)的最大值是: ( c ) A、5B、6C、7 D、8

2,已知函数f(x)?sin2x,g(x)?cos(2x??),直线x=t(t∈?0,??)与函数f(x)、g(x)的图像分别交于M、N两点,则|MN|的最

6

??2??

2

类型三:y?asin2x?bsinx?c(a?0)型。此类型可化为y?at?bt?c(a?0)在区间[?1,1]上的最值问题。

例1:求函数y?cos2x?3sinx?1(x?R)的最值

329

)? 24

95?2∴函数的最大值为,最小值为

44

例2:求函数y?cos2x?asinx?1(a?R,x?R)的最大值。

解:y?1?sinx?sinx?1??(sinx?

2

解:y?

cos2x?3asinx?1转化为y??sin2xsinx?2配方得:

1

232

a)?a?2 24

323①当时,在sinx=1,ymax?3a?1 a?1,即a?

23323②当时,在sinx=-1,ymax??3a?1 a??1时,即a??

23

332233

③当?1?时,在sinx?a?1,即??a?a时,ymax?a2?2

42332

?1(a???32

?a? 综上:ymax??a?2(?33?4

??1(a??

??y??(sinx?

练习:函数f(x)?sin2x?2cosx在区间[?2?,?]上的最大值为1,则?的值是d

3

A.0 B.?C.?D.—?

3

2

2

类型四:y?asin2x?bsinx?cosx?c(a?0)型。

例:求函数f(x)?53cosx?sinx?4sinxcosx(解:f(x)?53

2

2

?

4

?x?

7?

)的最值,并求取得最值时x的值。 24

1?cos2x1?cos2x

??2sin2x 22

?23cos3x?2sin2x?

?4cos(2x?

?

6

)?3

7?2??3?2?1

?2x??, ∴,∴??cos(2x??)?

424364262

7?

∴f(x)的最小值为?22,此时x?,f(x)无最大值。

24

?

?x?

练习:已知:y?

解:∵y?

2

1sin

2

2

x求y的最大值及此时x的集合.

x?cosx?1,x?R,

sin

x?1?cos2x1?5

x?

cosx?1?2x?1?sin(2x?)?,∴当sin(2x??1时,

64264

157???

??2x??2k??,x?k?? .此时,即. ymax244

626

7?

所以y的最大值为,此时x的集合为{x|x?k??,k?Z}.

46asinx?b

类型五:f(x)?型。此类型最值问题可考虑如下几种解法:①转化为asinx?bcosx?c再利用辅

ccosx?d

?

助角公式求其最值;②采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。

sinx

的值域。

cosx?2

sinx解法1:将函数y?变形为ycosx?sinx?

2y,∴sin(x??)?由

cosx?2例:求函数y?

2

|sin(x??)|?

?1?(2y)2?1?

y2,解得:,故值域是[ ?y

解法2:数形结合法:求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx, sinx)

与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象,当过Q点的

sinx

得最值,由几何知识,

cosx?2易求得过Q

的两切线得斜率分别为

的值域是[。

直线与单位圆相切时得斜率便是函数y?

练习:求函数f(?)?2sin??2的最值。

cos??3

ysin??1

∴y/2即为单位圆上的点(cosθ,sinθ)与定点(3,1)连线的斜率,由数形结合可知y/2∈[0,3/4], ∴ y∈[0,?

2cos??3

3/2]

x?coxs与sinx?coxs的最值问题。解此类型最值问题通常令t?sinx?cosx,类型六:含有sin

t2?1?2sinx?cosx,?2?t?2,再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。

例:求函数y?sinx?cosx?sinx?cosx的最大值并指出当x为何值时,取得最大值。 解法1:设t=sinx+cosx,则t?

∴y?

2sin(x?

?

4

) ∴t?[?2,2] ∴sinxcosx?

12

(t?1) 2

1121

(t?1)?t?(t?1)2?1 ymax??2。

222

??1?

解法2:y?sinx?cosx?sinx?cosx?sin2x?2sin(x?),x????x???

4424

11?11

y?sin(2??)????cos2???sin2?

??ymax?22222

练习:1,求函数y?(sinx?2)(cosx?2)的最大、最小值.

解:原函数可化为:y?sinxcosx?2(sinx?cosx)?4,

令sinx?cosx?(|t|t?2inxcos,则s

t2?1

x?,

2

t2?113

?2t?4?(t?2)2?.

∴y?222

∵t?2?[,且函数

在[上为减函数,∴

当t?时,即x?2k??]

?

4

(k?Z)时

ymin?

93?9?

t?x?2k??(k?

Z)时,ymax??. 242

sinxcosx的值域是dA.

??1,1??1,2?1B.?2?12?1?

,???1?sinx?cosx22

?

?

2,函数f(x)?

C.?

????

2?D.?

?1,?1?????22???2?1???1? ??1,,?1?????22???

类型七:y?asinx?

例:求函数y?

b

(0?x??)型(转化为对号函数)函数最值问题。 sinx

1?sinx的最大、最小值

2

2?2sinx?sinx

1?sinx1∵1-sinx≥0

y??

(1?sinx)2?11?sinx?

1?sinx

3

∴ y≥0,当sinx=1时Ymin=0,当1-sinx>0时,1-sinx+

1≥2, ymax=1/2 1?sinx

2sin(?x)

已知??x?? ,则函数y?的最大值与最小值的和为

5?

43cosx

?

cos2x当0?x?时,函数f(x)?的最小值4 cossin?sin?

的最大值;

1?cos2x?8cos2x?

2,当0?x?时,函数f(x)?的最小值为2sin2x

1?cos2x?8cos2x2sin2x?8cos2x4f(x)???tanx?

sin2x2sinxcosxtanx

tanx?(0,??),f(x)?[4,??)

练习:1,已知x?

(0,?),求函数

y?

类型八:条件最值问题。

2222

例1:已知3sin??2sin??2sin?,求y?sin??sin?的取值范围。

解:∵3sin

2

??2sin2??2sin?,∴sin2???sin2??sin?

32

3

sin2??sin??0

22

解得0?sin??

33sin2??sin??12

1211222

∵y?sin??sin???sin??sin???(sin??1)? \

222

224

∵0?sin??∴sinα=0时,ymin?0; sin??时,ymax?

339

422

∴0?sin??sin??。

9????2

∵0?sin??1∴?

????

2,sinxcosy?2,则cosxsiny的取值

3

设cosxsiny?t

2

?t?[?1,1]3

2

sinxcosy?cosxsiny?sin(x?y)??t?[?1,1]

3

11t?[?,]

33

41

练习:1,已知Sinx+Siny=,求Siny—cos2x的最大值

93sinxcosy?cosxsiny?sin(x?y)?

2,因式cosx+cosy的最大值为

2

A.2 B.0 C.D.D

1422,已知sinx?siny?

4

cosx?cosy?t,sinx?siny?

2

(sinx?siny)2?(cosx?cosy)2?2?2cos(x?y)?t2?1

2

t2?32?[?2,2],t?[?22

类型九:其他问题

例1:函数y?xcosx?sinx在?

??3?

2,??

2??的最小值为 y?xcosx?sinx?y'??xsinx?0,x????3??

?2,2?

?

x??,x?[?3?

2,?),y'???x?(?,2

],y'??

ymax???

2,求函数y?x??x的最大值和最小值, 并指出当x分别为何值时取到最大值和最小值。

解:∵定义域为0≤x≤1,可设x?cos2

x且0???

?

2

1?x?1?cos2??sin2?,0???

?

2

∴y?

cos2??sin2??sin??cos??2sin(??

?

4

)

∵0???

?

2

,∴

?

4

???

?

4

?

3?2?4,∴2?sin(??4

)?1即1?y?2 ∴当???4??4或???4?3?4

,即θ =0或???

2(此时x=1或x=0),y=1;

当???2,即???4时,(此时x?12

),y?2,

当x=0或x=1时,y有最小值1;当x?1

2

时,y有最大值2。

练习:1,求y?sinxcos2x,x?[0,

?

2

]的最大值。

y?sinxcos2x??2sin3x?sinx,x?[0,?

2

]

设sinx?t?[0,1],y??2t3?t,y'??6t2?1?0t?,t?[0,y'?0;t?y'?0

666

ymax?

2

a,x∈(???

2,2)的解集非空,则参数a的取值范围为

令tanx = m,则m∈R,∴原不等式化为a

a

1.a<1.

5

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