篇一:高中数学必修4知识归纳 典型试题
数学必修4知识归纳
一、任意角(逆时针旋转?正角,顺时针旋转?负角) 1、与?终边相同的角的集合:{?(1)
|????2k?,k?Z} 2、弧度制
?
??
lr
,l???r
(2)180
?? rad
1??() rad
180
?
1rad?(
180
?
)??57.3?
(3)扇形面积S?
11
lr??r2 22
二、任意角的三角函数1、定义 2、三角函数的值在各象限的符号 三、同角三角函数的基本关系式: 1、sin
2
??cos2??1;tan??
sin?
cos?
;
tan??co?t?
1 2、特殊角的三角函数值:
四、诱导公式(口诀:纵变横不变,符号看象限)
五、三角恒等变换 思想方法:①切化弦、平方降幂的思想;②化为同角、同名的思想;③拆角的思想:如?
?(???)?????(???),2??(???)?(???)等
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、降幂公式:
令???
?sin2??2sin?cos? sin??????sin?cos??cos?sin????
令???
?cos2??cos2??sin2? cos??????cos?cos??sin?sin????
cos2??2cos2??1 ?降幂公式:cos2??
1+cos2?2
,
cos2??1?2sin2?sin2??
1?cos2?
2
tan??????
2tan?tan??tan?令???
????tan2?? 2
1?tan?1?tan?tan?
2、辅助角公式(合一思想):关键是“提斜边”
asinx?bcosxx??) (?
3、正余弦“三兄妹”:
sinx?cosx、sinx?cosx、sinxcosx —— 知一求二
2
内在联系:(sinx?cosx)六、三角函数的图象与性质
?1?2sinxcosx?1?sin2x
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质的比较(见书) 1、会用“五点法”画出函数
y?Asin(?x??)?B的图象:步骤:设X??x??,令X
6
=0,
?
2
,?,
?
x值及对应的y值?描点作图试一试:请用“五点法”画出函数y?2sin(2x?)在一个周期内闭区间的图象
列表:
3?
,2??求相应的2
2、函数
y?Asin(?x??)?B的图象变换(伸缩变换与平移变换)
y?sin?x?y?sin??x???,应向左或向右平移|
特别注意:
?
|个单位长度 ?
试一试:函数3、函数
1?
y?3sin(x?)?2的图象可以由y?sinx的图象经过怎样的变换得到?
26
y?Asin(?x??)表达式的确定:
几个物理量:步骤:
A——振幅 T?
2?
?
——周期
f?
1
T
——频率
?——初相 ?x?? ——相位
A由最值确定 ? ?由周期确定 ? ?由图象上的特殊点确定,
七、解三角形:
1、内角和定理:A?B?C2、正弦定理:
??,A?B???C,sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,sin
A?BC
?cos 22
abc
???2R(R为△ABC外接圆的半径).
sinAsinBsinC
a
注意:① 正弦定理的一些变式:a?b?c?sinA?sinB?sinC;sinA?
2R
,sinB?
b2R
,sinC?
c2R
;
a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC ② 解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解
3、余弦定理 4、面积公式:S八、平面向量 1、平面向量的概念
(1)定义(2)零向量(3)单位向量(4)平行向量(共线向量) 2、平面向量的线性运算
(1)向量的加法与减法① 三角形法则 ② 平行四边形法则 (2)向量的模性质:
≤|a?b|≤|a|?|b| |a|?|b|?aha?absinC?r(a?b?c)(其中r为三角形内切圆半径). (3)向量共线定理:向量b与非零向量a共线?有且只有一个实数?,使得b3、平面向量的数量积
(1)平面向量数量积的定义(投影.) (注意:用几何法计算(2)夹角?与数量积a?b之间的关系 (3)数量积的三个运算律: ① 交换律a?b
??a
a和b的夹角时,必须先判断a与b是否共起点)
?b?a;② 对实数的结合律:(?a)?b??(a?b)?a?(?b)
③ 分配律(a?b)?c
?a?c?b?c由此可得:(a?b)2?a2?2a?b?b2,(a?b)?(a?b)?a2?b2
?a?(b?c)
注意:结合律是对实数的结合,对向量一般是不成立的,即(a?b)?c4、平面向量的坐标运算
????????????
P、A、B、C(1)平面向量基本定理【定理2】:平面上四点满足PC?xPA?yPB,x?y?1?A、B、C三点共线 ????
(2)任意两点组成的向量AB?(x2?x1,y2?y1)
(3)向量的加法、减法、数乘运算:a?b?(x1向量的数量积运算:a?b(4)平行向量:
?x2,y1?y2);?a?(?x1,?y2)
?x1x2?y1y2?a?bcos?
a∥b?x1y2?x2y1?0?b??a
?b?x1x2?y1y2?0?a?b?0
?
(5)垂直向量:a
(6)向量的夹角:cos?
?
a?ba?b
2
(7)向量的模:
a?
?a2?a?a?a
两点间距离:d?AB?AB?AB的中点坐标:(
(8)
x?x?xy?y2?y3x1?x2y1?y2
,;?ABC的重心坐标:(123,1). 2233
同向的单位向量a
(9)单位向量:与向量
a?
a?a
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴cos⑶sin
??????cos?cos??sin?sin?;⑵cos??????cos?cos??sin?sin?;
??????sin?cos??cos?sin?;⑷sin??????sin?cos??cos?sin?; ????????????
tan??tan?
?(tan??tan??tan??????1?tan?tan??);
1?tan?tan?
tan??tan?
?(tan??tan??tan??????1?tan?tan??).
1?tan?tan?
万能公式:
αα2tan1?tan2
;cosα?sinα?
αα
1?tan21?tan2
22
⑸tan
⑹tan
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式 26、 半角公式:
(转载自:www.dXf5.cOm 东星资源网:数学必修四高考常见题)α?cosαα1?cosα
cos??;sin??
22α?cosα
?(后两个不用判断符号,更加好用)
y?Asin(?
x??)?B形式。
27、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的
?sin???cos???????,其中tan??
28、常用的数学思想方法技巧如下:
?. ?
(1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关
系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如:
?
①2?是?的二倍;4?是2?的二倍;?是
2
③?
?
的二倍;
2?是430o
的二倍; ②15?45?30?60?45?
2
o
o
o
o
o
;
?(???)??;④
?
4
???
?
2
?(
?
4
??);⑤2??(???)?(???)?(
?
4
??)?(
?
4
??);等等
(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换变形有:
1?sin2??cos2??tan?cot??sin90o?tan45o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式
有: ;。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式常用升幂公式有: ; ;
(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 ?cos?
常用升幂化为有理式,
1?tan?
?_______________
1?tan?
;
1?tan?
?______________
1?tan?
;
tan??tan??____________
;
1?tan?tan??___________
;
tan??tan??____________;1?tan?tan??___________;2tan??;
1?tan2??tan20o?tan40o?tan20otan40o? asin??bcos??;(其中tan??)
1?cos??;1?cos??;
(6)三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手;
基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值与特殊角的三角函数互化。 如:sin50
o
(1?3tan10o)?tan??cot??
高中数学必修四三角函数检测题
1.下列不等式中,正确的是()
A.tan2. 函数A.[?C.[?
7?2?13?13???
B.sin?cos(?) C.sin(π-1)<sin1oD.cos?tan?cos(?)
554557
y?sin(?2x?
6?2k?,
?
6
)的单调递减区间是()
B.[
??
3
?2k?](k?Z)
?
6
?2k?,
5?
?2k?](k?Z) 6
?
6
?k?,
?
3
?k?](k?Z) D.[
?
6
?k?,
5?
?k?](k?Z) 6
3.函数A.
?,x?
y?|tanx|的周期和对称轴分别为()
k?? B.
2(k?Z)
2
,x?k?(k?Z)
C.
?,x?k?(k?Z)D.
?
2
,x?
k?
(k?Z) 2
4.要得到函数
y?sin2x的图象,可由函数y?cos(2x??)( )
4
A. 向左平移
?8
个长度单位B. 向右平移
?8
个长度单位 C. 向左平移
??
个长度单位 D. 向右平移个长度单位 44
5.三角形ABC中角C为钝角,则有 ( )
A.sinA>cosBB. sinA<cosBC. sinA=cosB D. sinA与cosB大小不确定
??15?的值等于() cosx(??x?0),则?6.设的函数,若f(x)?f(?)2?4
??sinx(0?x??)
A.1 B
C.0
D. ?
7.函数y?f(x)的图象如图所示,则y?f(x)的解析式为( ) 3?
f(x)是定义域为R,最小正周期为
2
A. C.
ysin2x?2B.y?2cos3x?1
y?sin(2x?
?
5
)?1 D. y?1?sin(2x?
?
5
)
8.已知函数是( )
f(x)?asinx?bcosx(a、b为常数,a?0,x?R)在x?
?
4
7?20处取得最小值,则函数
y?f(
3?
?x)4
A.偶函数且它的图象关于点(?,0)对称B.偶函数且它的图象关于点(C.奇函数且它的图象关于点(
3?
,0)对称 2
3?
,0)对称 2
D.奇函数且它的图象关于点(?,0)对称
f(x)?sinx?3cosx,x?[??,0]的单调递增区间是( )
5?5????] B.[?,?]C.[?,0] D.[?,0] A.[??,?
36666
??????
10. 已知函数y?sin?x?cosx????,则下列判断正确的是( )
1212????
???
A.此函数的最小周期为2?,其图像的一个对称中心是?,0?
?12????
B.此函数的最小周期为?,其图像的一个对称中心是?,0?
12?????
C.此函数的最小周期为2?,其图像的一个对称中心是?,0?
?6????
D.此函数的最小周期为?,其图像的一个对称中心是?,0?
?6?
cos2?2
??11. 若,则cos??sin?的值为( ) 2
sin(??)
4
1177
A.? B.?C.D.
2222
9.函数
篇二:高中数学必修4综合测试题及答案
必修4综合检测
一、选择题(每小题5分,共60分) 1.下列命题中正确的是()
A.第一象限角必是锐角B.终边相同的角相等 C.相等的角终边必相同D.不相等的角其终边必不相同 2.将分针拨慢5分钟,则分钟转过的弧度数是 A.
( ) D.-
? 3
B.-
? 3
C.
? 6? 6
3.已知角?的终边过点P??4m,3m?,?m?0?,则2sin??cos?的值是()
A.1或-1 B.
2222
或?C.1或? D.-1或 5555
4、若点P(sin??cos?,tan?)在第一象限,则在[0,2?)内?的取值范围是( )
??5??3?5?
A.(,)(?,)B.(,)(?,)
424244
?3?5?3??3?3?
C.(,)(,) D.(,)(,?)
2442244
5. 若||?2 ,||?2 且(?)⊥ ,则与的夹角是 ( )
(A) (B)
?
6
5??
(C) (D)? 4312
6.已知函数y?Asin(?x??)?B的一部分图象如右图所示,如果A?0,??0,|?|?
?
2
,则( )
A.A?4B.??1 C.??
?
6
D.B?4
7. 设集合A??(x,y)|y?2sin2x?,集合B??(x,y)|y?x?,则( ) A.A?B中有3个元素 B.A?B中有1个元素 C.A?B中有2个元素 D.A?B?R 8.已知x?(?
A.
7
24
?
2
,0),cosx?
4
,则tan2x?( ) 5
B.?
724
C.24
7
D.?
247
πππ
9. 同时具有以下性质:“①最小正周期实π;②图象关于直线x=3在[-63上是增函数”的一个函数是 ()xπA. y=sin(2+6)
π
B. y=cos(2x+3
ππ
C. y=sin(2x
-6 D. y=cos(2x-6)
10. 设i=(1,0),j=(0,1),a=2i+3j,b=ki-4j,若a⊥b,则实数k的值为( ) A.-6B.-3 C.3D.6 11. 函数y?3sin(
A.2?
3
?
4
?3x)?3cos(
?
4
?3x)的最小正周期为 ()
B.?
3
C.8 D.4
12. 2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为?,大正方形的面积是1,小正方形的面积是
A.1
1
,则sin2??cos2?的值等于( ) 252477B.?C. D.-
252525
二、填空题(每小题4分,共16分) 13. 已知sin
?
2
?cos
?
2
?
2,那么sin?的值为 ,cos2?的值为 。 3
12
,则a·b= 。 5
14. 已知|a|=3,|b|=5, 且向量a在向量b方向上的投影为
15. 已知向量OP?(2,1),OA?(1,7),OB?(5,1),设X是直线OP上的一点(O为坐标原点),那么?的最小值是___________________。 16.给出下列6种图像变换方法:
①图像上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的横坐标伸长到原来的2倍;③图像向右平移右平移
1
;②图像上所有点的纵坐标不变,2
??
个单位;④图像向左平移个单位;⑤图像向33
2?2?
个单位;⑥图像向左平移个单位。请写出用上述变换将函数y = sinx的图像变33
x?
换到函数y = sin (+)的图像的一个变换______________.(按变换顺序写上序号即可)
23
三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应有证明或演算步骤) 17、(12分)已知cos(α-18. (12分)已知值.
19.(12分)已知向量a?(cos
3x3xxx
,sin),b?(cos,?sin),其中x?R.(Ⅰ)c?(,?1),2222
???????12
)=?,sin(??)=,且α∈(,π),β∈(0,),求cos的值. 2222293
??33?5?3????,0???,cos(??)??,sin(??)?,求sin?????的
44541344
当a?b时,求x值的集合;(Ⅱ)求|a?c|的最大值。
20、(12分)已知函数f(x)?2sin2x?sin2x?1,x?R.
(1)求f(x)的最小正周期及f(x)取得最大值时x的集合; (2)在平面直角坐标系中画出函数f(x)在[0,?]上的图象. 21、(12分)设a、b是两个不共线的非零向量(t?R)
1
(1)记OA?a,OB?tb,OC?(a?b),那么当实数t为何值时,A、B、C三点共线?
3
(2)若||?||?1且与夹角为120?,那么实数x为何值时|?x|的值最小?
22、(14分)某沿海城市附近海面有一台风,据观测,台风中心位于城市正南方向200km的海面P处,并正以20km/h的速度向北偏西?方向移动(其中cos??
19
),台风当前影响半径20
为10km,并以10km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风影响?影响时间多长?
参考答案C2. D3.B4、B5、B6、C7、A8、D 9、C. 10、D11、A12、D
17
13、,、15.-8 16. ④②或②⑥
39
17、已知cos(α-18. 解:∵
???????12
)=?,sin(??)=,且α∈(,π),β∈(0,),求cos的值. 2222293
?3???? 44
?4???3
∴????? 又cos(??)?? ∴sin(??)?
452445
?3?3?3?5
????? 又sin(??)? ∵0??? ∴
4444133?12
∴cos(??)??
413
?3?
∴sin(? + ?) = ?sin[? + (? + ?)] = ?sin[(??)?(??)]
44
?3??3?4123563
??[sin(??)cos(??)?cos(??)sin(??)]??[?(?)??]?
444451351365
3xx3xx
19解:(Ⅰ)由a?b,得a?b?0,即coscos?sinsin?0.????4分
2222
kππ
?(k?Z).?????????????5分 则cos2x?0,得x?
24
kππ??
∴ ?x|x??,k?Z?为所求.?????????????6分
24??
(Ⅱ)|a?c|2?(cos
3x3x3xπ?)2?(sin?1)2?5?4sin(?),?????10分 2223
所以|a?c|有最大值为3.????????????????????12分 20解:(I)f(x)?2sin2x?sin2x?1?sin2x?(1?2sin2x)?sin2x?cos2x
?
=2sin(2x?)??????????5分
4
所以f(x)的最小正周期是??????6分
所以当2x??x? R,
?
4
?2k??
?
2
,即x?k??
3?
(k?Z)8
时,f(x)的最大值为2.
即f(x)取得最大值时x的集合为{x|x?k??
3?
,k?Z}??????8分 8
(II)图象如下图所示:(阅卷时注意以下3点) 1.最小值f(
3?
)?2, 8
7?
)??2.??????10分 8
最小值f( 2.增区间[0,
3?7?
],[,?]; 88
减区间[
3?7?
,]????????12分 88
??3?
3.图象上的特殊点:(0,-1),(,1),(,1),(,?1),(?,?1)???14分
442
[注:图象上的特殊点错两个扣1分,最多扣2分]
21、解:(1)A、B、C三点共线知存在实数?,使???(1??)
1
即(?)???(1??)t,???????????????????4分 3
11
则??,实数t?????????????????????????6分
32
1
(2)??||?||cos120???,
2?|?x|2??x2??2x???x2?x?1,?????9分
2
2
1当x??时,|?x|取最小值?????????12分
22
22、解:如右图,设该市为A,经过t小时后台风开始影响该城市,
则t小时后台风经过的路程PC=(20t)km,台风半径为CD=(10+10t)km,需满足条件:CD≥AC
AC?(PC?PA)2?PC?PA?2PAPC|AC|?|PC|?|PA|?2|PA||PC|cos?
2
2
2
222
?2002?(20t)2?220020t
19
?40000?400t2?7600 20
∴40000?400t2?7600t?CD2?(10?10t)2 整理得300t2?7800t?39900?0 即t2?26t?133?0 解得7?t?19
∴7小时后台风开始影响该市,持续时间达12小时。
篇三:高中数学 必修四 三角函数最值与值域常考题型总结(含答案)
三角函数最值与值域专题
三角函数的最值问题是高考的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。
类型一:利用sinx?1,cosx?1这一有界性求最值。
sinx?1
的值域。
2?sinxsinx?12y?1
解:由y?变形为(y?1)sinx?2y?1,知y??1,则有sinx?,
2?sinxy?1
22y?12y?12
|sinx|?||?1?||?1?(2y?1)2?(y?1)2???y?0,则此函数的值域是
3y?1y?1
2
y?[?,0]
3
例2,若函数y?acosx?b的最大值是1,最小值是?7,求a,b a?0,a?b?1,?a?b??7?a?4,b??3
例1:求函数y?
a?0,?a?b?1,a?b??7?a??4,b??3
1?cosx
(??,?3][1,+?)练习:1,求函数y?的值域
3?cosx
1
2,函数y?sinx的定义域为[a,b],值域为[?1,],则b-a的最大值和最小值之和为b
2
4?8?A.B.2?C. D.4?
33
类型二:y?
asinx?bcosx型。此类型通常可以可化为y?asinx?bcosx?x??)求其最值(或值域)。
例1:求函数y?3sinx?4cosx,x?(0,
?
2
)的最值。
解:
34y?3sinx?4cosx?5sin(x??),cos??,sin??
55x???(?,
?
2
??),y?(3,5]
2,求函数y?sin(x?解法:y?sin(x?
?
6
)?sin(x?
?
3
)(x?R)的最值。
?
6
)?cos(x?
?
6
)?2sin[(x?
?
6
)?
?
4
]?2sin(x?
?
12
),∴函数的最大值为2,最小值
为?2。
练习:1,函数y=3sin(x+20°) +5sin(x+80°)的最大值是: ( c ) A、5B、6C、7 D、8
2,已知函数f(x)?sin2x,g(x)?cos(2x??),直线x=t(t∈?0,??)与函数f(x)、g(x)的图像分别交于M、N两点,则|MN|的最
6
??2??
2
类型三:y?asin2x?bsinx?c(a?0)型。此类型可化为y?at?bt?c(a?0)在区间[?1,1]上的最值问题。
例1:求函数y?cos2x?3sinx?1(x?R)的最值
329
)? 24
95?2∴函数的最大值为,最小值为
44
例2:求函数y?cos2x?asinx?1(a?R,x?R)的最大值。
解:y?1?sinx?sinx?1??(sinx?
2
解:y?
cos2x?3asinx?1转化为y??sin2xsinx?2配方得:
1
232
a)?a?2 24
323①当时,在sinx=1,ymax?3a?1 a?1,即a?
23323②当时,在sinx=-1,ymax??3a?1 a??1时,即a??
23
332233
③当?1?时,在sinx?a?1,即??a?a时,ymax?a2?2
42332
?1(a???32
?a? 综上:ymax??a?2(?33?4
??1(a??
??y??(sinx?
练习:函数f(x)?sin2x?2cosx在区间[?2?,?]上的最大值为1,则?的值是d
3
A.0 B.?C.?D.—?
3
2
2
类型四:y?asin2x?bsinx?cosx?c(a?0)型。
例:求函数f(x)?53cosx?sinx?4sinxcosx(解:f(x)?53
2
2
?
4
?x?
7?
)的最值,并求取得最值时x的值。 24
1?cos2x1?cos2x
??2sin2x 22
?23cos3x?2sin2x?
?4cos(2x?
∵
?
6
)?3
7?2??3?2?1
?2x??, ∴,∴??cos(2x??)?
424364262
7?
∴f(x)的最小值为?22,此时x?,f(x)无最大值。
24
?
?x?
练习:已知:y?
解:∵y?
2
1sin
2
2
x求y的最大值及此时x的集合.
x?cosx?1,x?R,
sin
x?1?cos2x1?5
x?
cosx?1?2x?1?sin(2x?)?,∴当sin(2x??1时,
64264
157???
??2x??2k??,x?k?? .此时,即. ymax244
626
7?
所以y的最大值为,此时x的集合为{x|x?k??,k?Z}.
46asinx?b
类型五:f(x)?型。此类型最值问题可考虑如下几种解法:①转化为asinx?bcosx?c再利用辅
ccosx?d
?
助角公式求其最值;②采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。
sinx
的值域。
cosx?2
sinx解法1:将函数y?变形为ycosx?sinx?
2y,∴sin(x??)?由
cosx?2例:求函数y?
2
|sin(x??)|?
?1?(2y)2?1?
y2,解得:,故值域是[ ?y
解法2:数形结合法:求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx, sinx)
与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象,当过Q点的
sinx
得最值,由几何知识,
cosx?2易求得过Q
的两切线得斜率分别为
的值域是[。
直线与单位圆相切时得斜率便是函数y?
练习:求函数f(?)?2sin??2的最值。
cos??3
ysin??1
∴y/2即为单位圆上的点(cosθ,sinθ)与定点(3,1)连线的斜率,由数形结合可知y/2∈[0,3/4], ∴ y∈[0,?
2cos??3
3/2]
x?coxs与sinx?coxs的最值问题。解此类型最值问题通常令t?sinx?cosx,类型六:含有sin
t2?1?2sinx?cosx,?2?t?2,再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。
例:求函数y?sinx?cosx?sinx?cosx的最大值并指出当x为何值时,取得最大值。 解法1:设t=sinx+cosx,则t?
∴y?
2sin(x?
?
4
) ∴t?[?2,2] ∴sinxcosx?
12
(t?1) 2
1121
(t?1)?t?(t?1)2?1 ymax??2。
222
??1?
解法2:y?sinx?cosx?sinx?cosx?sin2x?2sin(x?),x????x???
,
4424
11?11
y?sin(2??)????cos2???sin2?
??ymax?22222
练习:1,求函数y?(sinx?2)(cosx?2)的最大、最小值.
解:原函数可化为:y?sinxcosx?2(sinx?cosx)?4,
令sinx?cosx?(|t|t?2inxcos,则s
t2?1
x?,
2
t2?113
?2t?4?(t?2)2?.
∴y?222
∵t?2?[,且函数
在[上为减函数,∴
当t?时,即x?2k??]
?
4
(k?Z)时
,
ymin?
93?9?
t?x?2k??(k?
Z)时,ymax??. 242
sinxcosx的值域是dA.
??1,1??1,2?1B.?2?12?1?
,???1?sinx?cosx22
?
?
2,函数f(x)?
C.?
????
2?D.?
?1,?1?????22???2?1???1? ??1,,?1?????22???
类型七:y?asinx?
例:求函数y?
b
(0?x??)型(转化为对号函数)函数最值问题。 sinx
1?sinx的最大、最小值
2
2?2sinx?sinx
1?sinx1∵1-sinx≥0
y??
(1?sinx)2?11?sinx?
1?sinx
3
∴ y≥0,当sinx=1时Ymin=0,当1-sinx>0时,1-sinx+
1≥2, ymax=1/2 1?sinx
2sin(?x)
已知??x?? ,则函数y?的最大值与最小值的和为
5?
43cosx
?
cos2x当0?x?时,函数f(x)?的最小值4 cossin?sin?
的最大值;
1?cos2x?8cos2x?
2,当0?x?时,函数f(x)?的最小值为2sin2x
1?cos2x?8cos2x2sin2x?8cos2x4f(x)???tanx?
sin2x2sinxcosxtanx
tanx?(0,??),f(x)?[4,??)
练习:1,已知x?
(0,?),求函数
y?
类型八:条件最值问题。
2222
例1:已知3sin??2sin??2sin?,求y?sin??sin?的取值范围。
解:∵3sin
2
??2sin2??2sin?,∴sin2???sin2??sin?
32
3
sin2??sin??0
22
解得0?sin??
33sin2??sin??12
1211222
∵y?sin??sin???sin??sin???(sin??1)? \
222
224
∵0?sin??∴sinα=0时,ymin?0; sin??时,ymax?
339
422
∴0?sin??sin??。
9????2
∵0?sin??1∴?
????
2,sinxcosy?2,则cosxsiny的取值
3
设cosxsiny?t
2
?t?[?1,1]3
2
sinxcosy?cosxsiny?sin(x?y)??t?[?1,1]
3
11t?[?,]
33
41
练习:1,已知Sinx+Siny=,求Siny—cos2x的最大值
93sinxcosy?cosxsiny?sin(x?y)?
2,因式cosx+cosy的最大值为
2
A.2 B.0 C.D.D
1422,已知sinx?siny?
4
cosx?cosy?t,sinx?siny?
2
(sinx?siny)2?(cosx?cosy)2?2?2cos(x?y)?t2?1
2
t2?32?[?2,2],t?[?22
类型九:其他问题
例1:函数y?xcosx?sinx在?
??3?
2,??
2??的最小值为 y?xcosx?sinx?y'??xsinx?0,x????3??
?2,2?
?
x??,x?[?3?
2,?),y'???x?(?,2
],y'??
ymax???
2,求函数y?x??x的最大值和最小值, 并指出当x分别为何值时取到最大值和最小值。
解:∵定义域为0≤x≤1,可设x?cos2
x且0???
?
2
1?x?1?cos2??sin2?,0???
?
2
∴y?
cos2??sin2??sin??cos??2sin(??
?
4
)
∵0???
?
2
,∴
?
4
???
?
4
?
3?2?4,∴2?sin(??4
)?1即1?y?2 ∴当???4??4或???4?3?4
,即θ =0或???
2(此时x=1或x=0),y=1;
当???2,即???4时,(此时x?12
),y?2,
当x=0或x=1时,y有最小值1;当x?1
2
时,y有最大值2。
练习:1,求y?sinxcos2x,x?[0,
?
2
]的最大值。
y?sinxcos2x??2sin3x?sinx,x?[0,?
2
]
设sinx?t?[0,1],y??2t3?t,y'??6t2?1?0t?,t?[0,y'?0;t?y'?0
666
ymax?
2
a,x∈(???
2,2)的解集非空,则参数a的取值范围为
令tanx = m,则m∈R,∴原不等式化为a
a
1.a<1.
5
∴