问题是数学的心脏，数学正是因为不断地有新问题的提出和不断地被解决才充满蓬勃的生命力．最值问题是中考的热点，也是得分的难点，命题者的精心打造，使试题不断更新、富有创意，其中三条线段和的最值问题对能力要求较高，也使同学们颇感困惑，本文以近年中考题为例，探究此类问题的解法，与大家分享．
（2011湖北咸宁）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+4分别交x轴、y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．
（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点N的坐标.
（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连结MP，MH，设点P的运动时间为t秒．
①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值.
②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．
（1）A（-3，0），B（0，4），N-，2.
（2）①1或.
②BP+PH+HQ有最小值. 连结PB，CH，则四边形PHCB是平行四边形． 所以BP=CH. 所以BP+PH+HQ=CH+HQ+2． 当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小． 因为点C，Q的坐标分别为（0，2），（-6，-4），所以直线CQ的解析式为y=x+2. 所以点H的坐标为（-2，0）. 因此点P的坐标为（-2，2）．
BP+PH+HQ中PH=CO=2，故只需求BP+HQ的最小值. 注意到PH∥BC，且PH=BC，从而可将BP平移至CH，转化为求CH+HQ的最小值，利用“两点之间，线段最短”知当C，H，Q三点共线时，CH+HQ=CQ最小．
（2010福建宁德）如图2，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结EN，AM，CM.
（1）求证：△AMB≌△ENB.
（2）①当点M在何处时，AM＋CM的值最小？
②当点M在何处时，AM＋BM＋CM的值最小？说明理由.
（3）当AM＋BM＋CM的最小值为+1时，求正方形的边长.
（1）略.
（2）①当点M落在BD的中点时，AM＋CM的值最小，理由略.
②连结CE，当点M位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小. 理由如下：连结MN. 由①知△AMB≌△ENB，所以AM＝EN. 因为∠MBN＝60°，MB＝NB，所以△BMN是等边三角形. 所以BM＝MN. 所以AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. 根据“两点之间，线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短. 所以当点M位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.
（3）正方形的边长为.
本题（2）②要探究点M的位置，使三条线段和的值最小，关键是利用旋转证出第（1）小题后得到AM=EN，再由等边三角形得BM=MN，将求AM＋BM＋CM的最小值问题转化为求EN+MN+CM的最小值. 最后利用“两点之间，线段最短”知当E，N，M，C四点共线时，EN+MN+CM=EC最小．
（2011福建福州）已知，如图3，二次函数y=ax2+2ax-3a（a≠0）的图象的顶点为H，与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧），点H，B关于直线l：y=x+对称．
（1）求A，B两点的坐标，并证明点A在直线l上.
（2）求二次函数的解析式.
（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于点K，M，N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连结HN，NM，MK，求HN+NM+MK的最小值．
（1）A（-3，0），B（1，0），证明略.
（2）y=-x2-x+.
（3）直线AH的解析式为y=x+3， 直线BK的解析式为y=x－，由y=x+，y=x-， 解得x=3，y=2， 即K（3，2），则BK=4. 如图4，因为点H，B关于直线AK对称，所以HN+MN的最小值是MB. 过点K作直线AH的对称点Q，连结QK，交直线AH于点E，作KD⊥x轴于点D，则KD=KE=2. QM=MK，QE=EK=2，AE⊥QK. 所以BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值. 因为BK∥AH，所以∠BKQ=∠HEQ=90°. 由勾股定理得QB=8， 所以HN+NM+MK的最小值为8.
本题的难点是HN+NM+MK中有M，N两个点在动，注意到点H，B关于直线AK对称，得出HN+MN=BN+MN，过点K作直线AH的对称点Q，连结QK，交直线AH于点E，得MK=MQ，于是HN+NM+MK=BN+MN+MQ. 利用“两点之间，线段最短”知当Q，M，N，B四点共线时BN+MN+MQ最小，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，从而问题得解.
（2011四川眉山）如图5，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（－4，4）． 将点B绕点A按顺时针方向旋转90°得到点C，顶点在坐标原点的抛物线经过点B．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标.
（2）抛物线上有一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1+1.
（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC周长的最小值．
（1）y=x2，C（3，5）.
（2）略.
（3）过点P作PH⊥x轴于点H，由（1）可得AC=5，所以△PAC的周长=PA+PC+5，由（2）可得△PAC的周长=PH+PC+6. 因为当C，P，H三点共线时，PH+PC最小，所以当点P的坐标为3，时△PAC的周长最小，最小值为11．
△PAC的周长涉及三条线段的和，其中AC为定长，故只需求PA+PC的最小值. 但由于点P在抛物线上，不能套用“对称点法”求解，注意到第（2）小题可用PH+1代换PA，可把问题转化为求PH+PC的最小值. 利用“两点之间，线段最短”知当C，P，H三点共线时，PH+PC=CH最小，从而问题得解．
此类题的最大特点是找“替身”以实现“等量转化”. 可以利用几何变换或等线段代换，将相关线段适当集中，再利用“两点之间，线段最短”原理进行解决. 全等、等边三角形的性质等知识都是解决此类问题的得力助手.