摘要：销售投入对公司的销售额有促进作用，但会增加公司的开支。怎样选择合适的销售投入是一个动态最优化的问题。本文以中国移动通信市场为例，实证分析了中国移动（0941HK）和中国联通（0762HK）两寡头在动态双寡头（dynamic duopoly）环境下的最优销售投入路径。使用Lanchester模型，实证了销售投入的市场反应函数（即市场份额和销售投入之间的函数关系），实证结果支持本公司的销售投入对销售额的促进作用，而对手的销售投入则会减少本公司的市场份额。运用微分博弈的理论得到了闭环纳什均衡（closed-loop Nash equilibrium，CLNE），并与实际销售投入做了比较分析。
关键词：动态最优化 销售投入 中国移动 中国联通 双寡头 微分博弈 闭环纳什均衡
引入
中国电信业（包括移动通信市场）行业集中度非常高。中国移动和中国联通更是长期垄断无线通信市场。而电信业的自然垄断属性使得市场份额仍然不断地向一家公司集中。例如，2006年中期，中国移动的市值、营业额都要大于中国电信、中国联通和中国网通的任何一家。
理论上，一家公司销售投入应能促进销售额的增长。本文基于Lanchester最优广告策略模型，实证分析了中国移动(寡头1)和中国联通（寡头2）的市场份额和销售投入之间的函数关系。使用最优广告策略模型的原因是销售投入对市场份额的影响机制同广告投入类似。
本文结构如下：第一部分，给出了最优销售投入的动态模型；第二部分讨论了Lanchester模型下的市场反应函数；第三部分实证分析；第四部分结论。
第一部分：最优销售投入的动态模型
寡头公司以利润的现值最大化为目标。
目标函数为
（1）
（2）
式（1）是寡头公司的目标函数。其中是每单位市场份额的利润率；是贴现率。
式（2）是寡头公司的约束条件，即市场反应函数。本文采用Lanchester模型式。详细内容及模型式的估计将在下文中详细讨论。
在本文中，将中国移动作为寡头1，中国联通为寡头2。
第二部分：最优广告模型―市场反应函数
市场反应函数―Lanchester模型
Kimball(1957)将Lanchester模型引入广告策略竞争。本文中使用Lanchester模型描述中国移动通信市场上两个寡头（中国移动和中国联通）的市场份额同本公司、竞争对手销售投入之间的动态关系（可以用一个市场反应函数表示这一动态关系）。Kimball（1957），Horsky(1977) ,Erickson(1985)等人论文中的Lanchester模型是用于描述最优广告投放策略的。前面已经提到，之所以将这一模型运用于最优销售投入是因为其有着与广告投入类似的市场反应函数。
模型的一般公式为
（3）
由于假定市场是双寡头市场，因此对寡头2的分析与寡头1是相同的。设M为寡头1的市场份额，则寡头2的市场份额等于1-M。因此，为简便起见，仅已寡头1中国移动为例。式（3）简化为
（4）
其中，M表示寡头1市场份额；表示寡头1的市场份额的改变量，；表示寡头1 的销售投入；表示寡头2的销售投入。
参数；是待定常数。
这一模型公式的含义是：具体而言，寡头1的销售投入作用于对手寡头2的市场份额，并通过反应参数改变寡头1的市场份额，由于本公司的销售投入越大，越有利于扩大市场份额（扩大的市场份额来自对寡头2市场份额的侵占），因此应为正值；寡头2的销售投入作用于寡头1的市场份额，并通过反应参数改变寡头1的市场份额，理论上，由于双寡头的竞争关系，应为负值。即，理论上：寡头1的市场份额的变化量同本公司的销售投入成正向相关关系；同对手即寡头2的销售投入成负向相关关系
实证估计模型
参数值的确定
理论上讲，寡头1市场份额的改变M是本公司销售投入的凹函数，即本公司销售投入对寡头1市场份额的边际改变量是递减的；此外，市场份额的改变的绝对值是竞争对手公司销售投入的凹函数，即对寡头1市场份额的作用也是边际递减的。因此，只要即可。Chintagunta和Vilcassim(1992),Erickson(1992),Jarrar、Herran和Zaccour(2004)将的值取为。本文采用这一取值。
离散时间模型公式
模型的一般公式（4）是在连续时间情况下的公式。要把其转化成离散时间模型。
综上，实证估计模型采用下面的式子
（5）
待定常数可以用线性回归估计出来。
每单位市场份额的利润率的估计
值被假设为一个不随时间变化的常数。它的值可以用下面的线性回归式估计出来
（6）
第三部分：实证分析
本文采用中国移动和中国联通2002年-2008年每半年期的相关数据。这些数据有：每年分别截至6月30日和12月31日的市场份额、销售投入（非累计）、利润总额（非累计）。其中，市场份额和销售投入数据用于市场反应函数模型公式中值的估计，估计式为式（5）；市场份额和利润总额数据用于值的估计，估计式为式（6）。本文使用的数据来自中国移动和中国联通自2002年至2008年间披露各年的中期报告和年报。下半年的销售投入和利润总额用年报中给出的全年值减去中期报告中的上半年值。市场份额按照两家公司占有用户数比例计算，比如。
数据未区分两家公司内部的具体业务。
值
对式（5）进行线性回归，得到如下表1的结果
*** 表示在1%的显著性水平下显著异于0;** 表示在5%的显著性水平下显著异于0
估计得到的值同前文的理论分析一致：为小于1的正值；为绝对值小于1的负值。表明寡头1的市场份额的变化量同本公司的销售投入成正向相关关系；同竞争对手即寡头2的销售投入成负向相关关系能够得到实证支持。另外，值在大小上很接近，表明市场上两个寡头即中国移动和中国联通的销售投入对市场份额的影响力接近。
值
对式（6）进行线性回归，得到如下表2的结果：
*** 表示在1%的显著性水平下显著异于0
第四部分：结论
双寡头市场上，本公司的销售投入对销售额或市场份额有这正向的促进作用，为正值；竞争对手的销售投入则有负向的作用，为负值。中国移动通信市场上，中国移动占有较大优势且这种优势有持续下去的趋势，最后很可能占领整个市场。
参考文献：
[1]Dan Horsky, “An Empirical Analysis of the Optimal Advertising Policy”, Management Sci., 10(1977),1037-1049
[2]Deal K.R., ”Optimizing Advertising Expenditures in a Dynamic Duopoly”, Oper. Res., 27,4(1979),682-692
[3]Gary M. Erickson ,”An oligopoly model of dynamic advertising competition”, European Journal of Operational Research ,197(2009),374-388
[4]Gila E. Fruchter and Shlomo Kalish, “Closed-loop Advertising Strategies in a Duopoly”, Management Sci., 1(1997),54-63
[5]Kimball G.E.,”Some Industrial Applications of Military Operations Research Method”, Oper. Res., 5(1957),201-204
[6]Pradeep K.Chintagunta and Naufel J. Vilcassim，”An Empirical Investigation of Advertising Strategies in a Dynamic Duopoly”,Marketing Sci.,9(1992),1230―1244
[7]Ramla Jarrar, Guiomar Martin-Herran and Georges Zaccour,“Markov Perfect Equilibrium Advertising Strategies of Lanchester Duopoly Model: A Technical Note”, Management Sci., 7(2004), 995-1000