运算能力是学生学习数学的过程中必须具备的基本能力之一,主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力.熟练、准确地进行某种运算的前提是理解和掌握运算的法则,因此,如何让学生在自己的认知结构中建构正确的运算法则显得尤为重要.本文尝试阐述在初中数学教学中,组织学生进行运算法则的建构时,可以采取的一些有效的教学策略。
1.“意义”建构
运算的法则是根植于运算的意义之上的.相比而言,运算的意义是首要的,解决了何时做何种运算的问题,法则则在解决具体问题的过程中合乎逻辑地建构起来.一段时间后,运算的法则可能会遗忘或模糊不清,却可以通过运算的意义进行再现或重新建构.如,有理数的加法的教学设计:
先播放一段动画片:
一个建筑工地上,汽车载着水泥来回奔忙,一名仓库保管员在作记录.
接着投影问题:
一个建筑工地仓库记录星期一和星期二水泥的进货和出货数量如下表所示,其中进货为正,出货为负(单位:吨):
点评:设计的问题情境真实有效,一张表格包含了有理数加法的各种情况,简明、便于信息检索.
2.“类比”建构
数学解题与数学发现一样,通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上,获得对有关问题的结论或解决方法的猜想,然后再设法证明或否定猜想,进而达到解决问题的目的.类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法.
所谓类比,就是由两个对象的某些相同或相似的性质,推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式.类比是一种主观的不充分的似真推理,因此,要确认其猜想的正确性,还须经过严格的逻辑论证.
乘方与开方“互逆”(事实上,引入分数指数幂后,可以统一为乘方),二次根式的乘法法则可以类比乘方的运算性质得出:由a2•b2=ab2引导学生猜想得出a•b=ab(a≥0,b≥0),再利用性质a2•b2=ab2证明猜想a•b=ab成立.这样的类比,使学生的运算系统得到最优化整合,减轻了“记忆”负担,有能力进行相关知识的自主建构,比如由a2+b2≠a+b2猜想并论证a+b≠a+b(a≥0,b≥0).
3.“图形”建构
初等数学研究的对象大体上可分为“数”与“形”,它们研究的内容和使用的方法虽然有区别,但其间并没有不可逾越的鸿沟,它们互相联系,互相渗透、互相转化.笛卡尔创立的解析几何,建立了形数结合的典范.
一般地说,几何图形比较“直观”,代数问题比较“抽象”.抽象的代数问题,一旦与几何图形结合,就往往易于估测其结果,找出论证的方法.
积的算术平方根的性质ab=a•b(a≥0,b≥0),是将二次根式的乘法法则a•b=ab(a≥0,b≥0)逆向运用得出的,常用于将二次根式进行化简.为激发学生的求知欲,意识到积的算术平方根的性质的“作用”,可以构造下面的图形引导学生进行直观建构:
图1____________图2
在图1中,计算AB,根据勾股定理得AB=2;计算AC,根据勾股定理得AC=8,由AC=2AB得AC=22;计算AD,根据勾股定理得AD=18,由AD=3AB得AD=32;计算AE,根据勾股定理得AE=32,由AE=4AB得AE=42;…于是,得:8=22,18=32,32=42,…在图2中也进行类似的计算,积累经验.学生们饶有兴味地发现一些二次根式可以变形――化简,并似乎有规律可循,产生了探究规律、反思依据的积极愿望.教师适当指引探究、归纳、拓展、论证的方向性,学生不难建构得出积的算术平方根的性质ab=a•b(a≥0,b≥0).值得一提的是,上述图形亦可用于二次根式的加法中“合并同类二次根式”的法则的直观建构.“图形”建构使得抽象、枯燥、冰冷的运算法则“生动”起来,给学生留下深刻印象,拓展了学生的思维空间与思维方式.
4.“拓展”建构
数学的发展是一个不断拓展的过程,一如数的概念的发展.能够将已掌握的运算的法则拓展为“新运算”的法则,又何必另起炉灶、重头再来――重新探索、实验、归纳、论证?
在小学阶段,学生已经学习了“除法”的意义(已知两个因数的积和其中的一个因数,求另一个因数的运算,叫做除法)和一条法则:“除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数”;在学习有理数的乘法时,也已经将“倒数”的概念进行了拓展.在进行有理数的除法法则教学时,教师组织学生再现上述知识后,即可要求学生遵照法则“除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数”进行有理数的除法计算,并根据除法的意义“验算”商的正确性,从而确认法则在新拓展的数的范围内“适用”.有理数除法的符号法则则可在此基础上进行建构.这样的拓展,提高了学生建构新知识的效率,强化了所学知识的系统性.类似的拓展可见于有理数的运算法则与运算律在实数范围内的运用、整式的运算法则和公式在二次根式运算中的运用.
(陈敏 江苏省南京市六合区雄州初级中学 211500)