2016湖北荆门中考数学

2016湖北荆门中考数学

2016 年湖北省荆门市中考数学试卷一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，每小题给出 4 个选项，有且只有一 个答案是正确的） 1．2 的绝对值是（ ） A．2 B．－2 C． D．－2．下列运算正确的是（） A．a+2a=2a2B． （－2ab2）2=4a2b4C．a6÷a3=a2D． （a－3）2=a2－9 3．要使式子 有意义，则 x 的取值范围是（ ）A．x＞1 B．x＞－1 C．x≥1 D．x≥－1 4．如图，△ ABC 中，AB=AC，AD 是∠BAC 的平分线．已知 AB=5，AD=3，则 BC 的长 为（ ）A．5 B．6 C．8 D．10 5．在平面直角坐标系中，若点 A（a，－b）在第一象限内，则点 B（a，b）所在的象限是 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．由 5 个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（A．主视图的面积最小 B．左视图的面积最小 C．俯视图的面积最小 D．三个视图的面积相等 7．化简 A． B． 的结果是（ C．x+1 D．x－1 ）8．如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm，动点 P 从点 A 出发，在正方形的边上沿 A→B→C 的方向运动到点 C 停止，设点 P 的运动路程为 x（cm） ，在下列图象中，能表示△ ADP 的面 2 积 y（cm ）关于 x（cm）的函数关系的图象是（ ）第 1 页（共 21 页）9．已知 3 是关于 x 的方程 x2－（m+1）x+2m=0 的一个实数根，并且这个方程的两个实数 根恰好是等腰△ ABC 的两条边的边长，则△ ABC 的周长为（ ） A．7 B．10 C．11 D．10 或 11 10．若二次函数 y=x2+mx 的对称轴是 x=3，则关于 x 的方程 x2+mx=7 的解为（ ） A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=－7 D．x1=－1，x2=7 11．如图，在矩形 ABCD 中（AD＞AB） ，点 E 是 BC 上一点，且 DE=DA，AF⊥DE，垂足 为点 F，在下列结论中，不一定正确的是（ ）A．△ AFD≌△DCE B．AF= AD C．AB=AF D．BE=AD－DF 12．如图，从一块直径为 24cm 的圆形纸片上剪出一个圆心角为 90°的扇形 ABC，使点 A， B，C 在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A．12cm B．6cm C．3cm D．2二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 13．分解因式： （m+1） （m－9）+8m= ． 14．为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共 100 台，已知笔记本电脑的台 数比台式电脑的台数的 还少 5 台，则购置的笔记本电脑有 台．15．荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了 3 名女生和 2 名 男生，则从这 5 名学生中，选取 2 名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是 ． 16．两个全等的三角尺重叠放在△ ACB 的位置，将其中一个三角尺绕着点 C 按逆时针方向 旋转至△ DCE 的位置，使点 A 恰好落在边 DE 上，AB 与 CE 相交于点 F．已知 cm． ∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则 CF=第 2 页（共 21 页）17．如图，已知点 A（1，2）是反比例函数 y= 图象上的一点，连接 AO 并延长交双曲线 的另一分支于点 B，点 P 是 x 轴上一动点；若△ PAB 是等腰三角形，则点 P 的坐标 是 ．三、解答题（本题共 7 小题，共 69 分） 18． （1）计算：|1－ |+3tan30°－（ ）0－（－ ）－1．（2）解不等式组19．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ACB=90°，点 D，E 分别在 AB，AC 上，CE=BC，连接 CD， 将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90°后得 CF，连接 EF． （1）补充完成图形； （2）若 EF‖CD，求证：∠BDC=90°．20．秋季新学期开学时，红城中学对七年级新生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知 识测试，测试成绩全部合格，现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了如下不完 整的图表： 分 数 段 频数 频率 60≤x＜70 9 a 70≤x＜80 36 0.4 80≤x＜90 27 b 90≤x≤100 c 0.2 请根据上述统计图表，解答下列问题： （1）在表中，a= ，b= ，c= ； （2）补全频数直方图； （3）根据以上选取的数据，计算七年级学生的平均成绩． “优 （4） 如果测试成绩不低于 80 分者为“优秀”等次， 请你估计全校七年级的 800 名学生中， 秀”等次的学生约有多少人？第 3 页（共 21 页）21．如图，天星山山脚下西端 A 处与东端 B 处相距 800（1+ ）米，小军和小明同时分别 从 A 处和 B 处向山顶 C 匀速行走．已知山的西端的坡角是 45°，东端的坡角是 30°，小军的 行走速度为 米/秒．若小明与小军同时到达山顶 C 处，则小明的行走速度是多少？22．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，点 F 是 DA 延长线的一点，AC 平分∠FAB 交⊙O 于点 C，过点 C 作 CE⊥DF，垂足为点 E． （1）求证：CE 是⊙O 的切线； （2）若 AE=1，CE=2，求⊙O 的半径．23．A 城有某种农机 30 台，B 城有该农机 40 台，现要将这些农机全部运往 C，D 两乡，调 运任务承包给某运输公司．已知 C 乡需要农机 34 台，D 乡需要农机 36 天，从 A 城往 C，D 两乡运送农机的费用分别为 250 元/台和 200 元/台，从 B 城往 C，D 两乡运送农机的费用分 别为 150 元/台和 240 元/台． （1）设 A 城运往 C 乡该农机 x 台，运送全部农机的总费用为 W 元，求 W 关于 x 的函数关 系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于 16460 元，则有多少种不同的调运方 案？将这些方案设计出来； （3）现该运输公司决定对 A 城运往 C 乡的农机，从运输费中每台减免 a 元（a≤200）作为 优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？ 24．如图，直线 y=－ x+2 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，点 B，两动点 D，E 分别从点 A， 点 B 同时出发向点 O 运动 （运动到点 O 停止） ， 运动速度分别是 1 个单位长度/秒和 个 单位长度/秒，设运动时间为 t 秒，以点 A 为顶点的抛物线经过点 E，过点 E 作 x 轴的平行 线，与抛物线的另一个交点为点 G，与 AB 相交于点 F． （1）求点 A，点 B 的坐标； （2）用含 t 的代数式分别表示 EF 和 AF 的长； （3）当四边形 ADEF 为菱形时，试判断△ AFG 与△ AGB 是否相似，并说明理由．第 4 页（共 21 页）（4）是否存在 t 的值，使△ AGF 为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不 存在，请说明理由．第 5 页（共 21 页）2016 年湖北省荆门市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，每小题给出 4 个选项，有且只有一 个答案是正确的） 1．2 的绝对值是（ ） A．2 B．－2 C． D．－【考点】绝对值． 【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝 对值定义去掉这个绝对值的符号． 【解答】解：∵2＞0， ∴|2|=2． 故选：A． 2．下列运算正确的是（ ） 2 2 2 A．a+2a=2a B． （－2ab ） =4a2b4C．a6÷a3=a2D． （a－3）2=a2－9 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式． 【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除 法底数不变指数相减，差的平方等余平方和减积的二倍，可得答案． 【解答】解：A、合并同类项系数相加字母及指数不变，故 A 错误； B、积的乘方等于乘方的积，故 B 正确； C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故 C 错误； D、差的平方等余平方和减积的二倍，故 D 错误； 故选：B．3．要使式子有意义，则 x 的取值范围是（A．x＞1 B．x＞－1 C．x≥1 D．x≥－1 【考点】二次根式有意义的条件． 【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出 x－1≥0，求出答案． 【解答】解：要使式子 故 x－1≥0， 解得：x≥1． 则 x 的取值范围是：x≥1． 故选：C． 4．如图，△ ABC 中，AB=AC，AD 是∠BAC 的平分线．已知 AB=5，AD=3，则 BC 的长 为（ ） 有意义，第 6 页（共 21 页）A．5 B．6 C．8 D．10 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质． 【分析】根据等腰三角形的性质得到 AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵AB=AC，AD 是∠BAC 的平分线， ∴AD⊥BC，BD=CD， ∵AB=5，AD=3， ∴BD= ∴BC=2BD=8， 故选 C． 5．在平面直角坐标系中，若点 A（a，－b）在第一象限内，则点 B（a，b）所在的象限是 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】点的坐标． 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵点 A（a，－b）在第一象限内， ∴a＞0，－b＞0， ∴b＜0， ∴点 B（a，b）所在的象限是第四象限． 故选 D． 6．由 5 个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（ ） =4，A．主视图的面积最小 B．左视图的面积最小 C．俯视图的面积最小 D．三个视图的面积相等 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到 的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，主视图的面积是 4； 从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图的面积为 3； 从上边看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，俯视图 的面积是 4， 左视图面积最小，故 B 正确； 故选：B．第 7 页（共 21 页）7．化简 A． B．的结果是（ C．x+1 D．x－1【考点】分式的混合运算． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形， 约分即可得到结果． 【解答】解：原式= 故选 A 8．如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm，动点 P 从点 A 出发，在正方形的边上沿 A→B→C 的方向运动到点 C 停止，设点 P 的运动路程为 x（cm） ，在下列图象中，能表示△ ADP 的面 积 y（cm2）关于 x（cm）的函数关系的图象是（ ） ÷ = ? = ，【考点】动点问题的函数图象． 【分析】△ ADP 的面积可分为两部分讨论，由 A 运动到 B 时，面积逐渐增大，由 B 运动到 C 时，面积不变，从而得出函数关系的图象． 【解答】解：当 P 点由 A 运动到 B 点时，即 0≤x≤2 时，y= ×2x=x， 当 P 点由 B 运动到 C 点时，即 2＜x＜4 时，y= ×2×2=2， 符合题意的函数关系的图象是 A； 故选：A． 9．已知 3 是关于 x 的方程 x2－（m+1）x+2m=0 的一个实数根，并且这个方程的两个实数 根恰好是等腰△ ABC 的两条边的边长，则△ ABC 的周长为（ ） A．7 B．10 C．11 D．10 或 11 【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形 的性质． 【分析】 把 x=3 代入已知方程求得 m 的值； 然后通过解方程求得该方程的两根， 即等腰△ ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可． 【解答】解：把 x=3 代入方程得 9－3（m+1）+2m=0， 解得 m=6，第 8 页（共 21 页）则原方程为 x2－7x+12=0， 解得 x1=3，x2=4， 因为这个方程的两个根恰好是等腰△ ABC 的两条边长， ①当△ ABC 的腰为 4，底边为 3 时，则△ ABC 的周长为 4+4+3=11； ②当△ ABC 的腰为 3，底边为 4 时，则△ ABC 的周长为 3+3+4=10． 综上所述，该△ ABC 的周长为 10 或 11． 故选：D． 10．若二次函数 y=x2+mx 的对称轴是 x=3，则关于 x 的方程 x2+mx=7 的解为（ ） A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=－7 D．x1=－1，x2=7 【考点】二次函数的性质；解一元二次方程-因式分解法． 【分析】先根据二次函数 y=x2+mx 的对称轴是 x=3 求出 m 的值，再把 m 的值代入方程 x2+mx=7，求出 x 的值即可． 【解答】解：∵二次函数 y=x2+mx 的对称轴是 x=3， ∴－ =3，解得 m=－6， ∴关于 x 的方程 x2+mx=7 可化为 x2－6x－7=0，即（x+1） （x－7）=0，解得 x1=－1，x2=7． 故选 D． 11．如图，在矩形 ABCD 中（AD＞AB） ，点 E 是 BC 上一点，且 DE=DA，AF⊥DE，垂足 为点 F，在下列结论中，不一定正确的是（ ）A．△ AFD≌△DCE B．AF= AD C．AB=AF D．BE=AD－DF 【考点】矩形的性质；全等三角形的判定． 【分析】先根据已知条件判定判定△ AFD≌△DCE（AAS） ，再根据矩形的对边相等，以及 全等三角形的对应边相等进行判断即可． 【解答】解： （A）由矩形 ABCD，AF⊥DE 可得∠C=∠AFD=90°，AD‖BC， ∴∠ADF=∠DEC． 又∵DE=AD， ∴△AFD≌△DCE（AAS） ，故（A）正确； （B）∵∠ADF 不一定等于 30°， ∴直角三角形 ADF 中，AF 不一定等于 AD 的一半，故（B）错误； （C）由△ AFD≌△DCE，可得 AF=CD， 由矩形 ABCD，可得 AB=CD， ∴AB=AF，故（C）正确； （D）由△ AFD≌△DCE，可得 CE=DF， 由矩形 ABCD，可得 BC=AD， 又∵BE=BC－EC， ∴BE=AD－DF，故（D）正确； 故选（B）第 9 页（共 21 页）12．如图，从一块直径为 24cm 的圆形纸片上剪出一个圆心角为 90°的扇形 ABC，使点 A， B，C 在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A．12cm B．6cm C．3cm D．2【考点】圆锥的计算． 【分析】圆的半径为 2，那么过圆心向 AC 引垂线，利用相应的三角函数可得 AC 的一半的 长度，进而求得 AC 的长度，利用弧长公式可求得弧 BC 的长度，圆锥的底面圆的半径=圆 锥的弧长÷2π． 【解答】解：作 OD⊥AC 于点 D，连接 OA， ∴∠OAD=45°，AC=2AD， ∴AC=2（OA×cos45°）=12 cm， ∴ =6 π π÷（2π）=3 cm．∴圆锥的底面圆的半径=6 故选 C．二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 13．分解因式： （m+1） （m－9）+8m= （m+3） （m－3） ． 【考点】因式分解-运用公式法． 【分析】 先利用多项式的乘法运算法则展开， 合并同类项后再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解： （m+1） （m－9）+8m， 2 =m －9m+m－9+8m， =m2－9， =（m+3） （m－3） ． 故答案为： （m+3） （m－3） ．第 10 页（共 21 页）14．为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共 100 台，已知笔记本电脑的台 数比台式电脑的台数的 还少 5 台，则购置的笔记本电脑有 16 台． 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】设购置的笔记本电脑有 x 台，则购置的台式电脑为台．根据笔记本电脑的台数比台 式电脑的台数的 还少 5 台，可列出关于 x 的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：设购置的笔记本电脑有 x 台，则购置的台式电脑为台， 依题意得：x= －5，即 20－ x=0， 解得：x=16． ∴购置的笔记本电脑有 16 台． 故答案为：16． 15．荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了 3 名女生和 2 名 男生，则从这 5 名学生中，选取 2 名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是 ．【考点】列表法与树状图法． 【分析】 首先根据题意画出树状图， 然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到一男一 女的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图如下：由树状图可知共有 20 种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有 12 种， 所以抽到一男一女的概率为 P（一男一女）= 故答案为： ． ，16．两个全等的三角尺重叠放在△ ACB 的位置，将其中一个三角尺绕着点 C 按逆时针方向 旋转至△ DCE 的位置，使点 A 恰好落在边 DE 上，AB 与 CE 相交于点 F．已知 cm． ∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则 CF= 2【考点】旋转的性质．第 11 页（共 21 页）【分析】利用旋转的性质得出 DC=AC，∠D=∠CAB，再利用已知角度得出∠AFC=90°，再 利用直角三角形的性质得出 FC 的长． 【解答】解：∵将其中一个三角尺绕着点 C 按逆时针方向旋转至△ DCE 的位置，使点 A 恰 好落在边 DE 上， ∴DC=AC，∠D=∠CAB， ∴∠D=∠DAC， ∵∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°， ∴∠D=∠CAB=60°， ∴∠DCA=60°， ∴∠ACF=30°， 可得∠AFC=90°， ∵AB=8cm，∴AC=4cm， ∴FC=4cos30°=2 （cm） ． 故答案为：2 ．17．如图，已知点 A（1，2）是反比例函数 y= 图象上的一点，连接 AO 并延长交双曲线 的另一分支于点 B，点 P 是 x 轴上一动点；若△ PAB 是等腰三角形，则点 P 的坐标是 （－ 3，0）或（5，0）或（3，0）或（－5，0） ．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质． 【分析】由对称性可知 O 为 AB 的中点，则当△ PAB 为等腰三角形时只能有 PA=AB 或 PB=AB，设 P 点坐标为（x，0） ，可分别表示出 PA 和 PB，从而可得到关与 x 的方程，可求 x P 得 ，可求得 点坐标． 【解答】解： ∵反比例函数 y= 图象关于原点对称， ∴A、B 两点关于 O 对称， ∴O 为 AB 的中点，且 B（－1，－2） ， ∴当△ PAB 为等腰三角形时有 PA=AB 或 PB=AB， 设 P 点坐标为（x，0） ， ∵A（1，2） ，B（－1，－2） ， ∴AB= PB= ， =2 ，PA= ，第 12 页（共 21 页）当 PA=AB 时，则有 或（5，0） ； 当 PB=AB 时，则有，解得 x=－3 或 5，此时 P 点坐标为（－3，0），解得 x=3 或－5，此时 P 点坐标为（3，0）或（－5，0） ； 综上可知 P 点的坐标为（－3，0）或（5，0）或（3，0）或（－5，0） ， 故答案为： （－3，0）或（5，0）或（3，0）或（－5，0） ． 三、解答题（本题共 7 小题，共 69 分） 18． （1）计算：|1－ |+3tan30°－（ ）0－（－ ）－1．（2）解不等式组【考点】解一元一次不等式组；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数 值． 【分析】 （1）首先去掉绝对值符号，计算乘方，代入特殊角的三角函数值，然后进行加减计 算即可； （2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【解答】解： （1）原式= （2）解①得 x＞－ ， 解②得 x≤0， 则不等式组的解集是－ ＜x≤0． －1+3× －1－（－3）= －1+ +3=2；19．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ACB=90°，点 D，E 分别在 AB，AC 上，CE=BC，连接 CD， 将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90°后得 CF，连接 EF． （1）补充完成图形； （2）若 EF‖CD，求证：∠BDC=90°．【考点】旋转的性质． 【分析】 （1）根据题意补全图形，如图所示； （2）由旋转的性质得到∠DCF 为直角，由 EF 与 CD 平行，得到∠EFC 为直角，利用 SAS 得到三角形 BDC 与三角形 EFC 全等，利用全等三角形对应角相等即可得证． 【解答】解： （1）补全图形，如图所示；第 13 页（共 21 页）（2）由旋转的性质得：∠DCF=90°， ∴∠DCE+∠ECF=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCE+∠BCD=90°， ∴∠ECF=∠BCD， ∵EF‖DC， ∴∠EFC+∠DCF=180°， ∴∠EFC=90°， 在△ BDC 和△ EFC 中， ， ∴△BDC≌△EFC（SAS） ， ∴∠BDC=∠EFC=90°．20．秋季新学期开学时，红城中学对七年级新生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知 识测试，测试成绩全部合格，现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了如下不完 整的图表： 分 数 段 频数 频率 60≤x＜70 9 a 70≤x＜80 36 0.4 80≤x＜90 27 b 90≤x≤100 c 0.2 请根据上述统计图表，解答下列问题： （1）在表中，a= 0.1 ，b= 0.3 ，c= 18 ； （2）补全频数直方图； （3）根据以上选取的数据，计算七年级学生的平均成绩． “优 （4） 如果测试成绩不低于 80 分者为“优秀”等次， 请你估计全校七年级的 800 名学生中， 秀”等次的学生约有多少人？【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数．第 14 页（共 21 页）【分析】 （1）根据表格中的数据可以求得抽查的学生数，从而可以求得 a、b、c 的值； （2）根据（1）中 c 的值，可以将频数分布直方图补充完整； （3）根据平均数的定义和表格中的数据可以求得七年级学生的平均成绩； （4）根据表格中的数据可以求得“优秀”等次的学生数． 【解答】解： （1）抽查的学生数：36÷0.4=90， a=9÷90=0.1，b=27÷90=0.3，c=90×0.2=18， 故答案为：0.1，0.3，18； （2）补全的频数分布直方图如右图所示， （3）∵ 即七年级学生的平均成绩是 81 分； （4）∵800×（0.3+0.2）=800×0.5=400， 即“优秀”等次的学生约有 400 人． =81，21．如图，天星山山脚下西端 A 处与东端 B 处相距 800（1+ ）米，小军和小明同时分别 从 A 处和 B 处向山顶 C 匀速行走．已知山的西端的坡角是 45°，东端的坡角是 30°，小军的 行走速度为 米/秒．若小明与小军同时到达山顶 C 处，则小明的行走速度是多少？【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 【分析】过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，设 AD=x 米，小明的行走速度是 a 米/秒，根据直角三 角形的性质用 x 表示出 AC 与 BC 的长， 再根据小明与小军同时到达山顶 C 处即可得出结论． 【解答】解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，设 AD=x 米，小明的行走速度是 a 米/秒， ∵∠A=45°，CD⊥AB， ∴AD=CD=x 米， ∴AC= x． 在 Rt△ BCD 中， ∵∠B=30°， ∴BC= = =2x，∵小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶 C 处，第 15 页（共 21 页），解得 a=1 米/秒．答：小明的行走速度是 1 米/秒．22．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，点 F 是 DA 延长线的一点，AC 平分∠FAB 交⊙O 于点 C，过点 C 作 CE⊥DF，垂足为点 E． （1）求证：CE 是⊙O 的切线； （2）若 AE=1，CE=2，求⊙O 的半径．【考点】切线的判定；角平分线的性质． 【分析】 （1）证明：连接 CO，证得∠OCA=∠CAE，由平行线的判定得到 OC‖FD，再证 得 OC⊥CE，即可证得结论； （2）证明：连接 BC，由圆周角定理得到∠BCA=90°，再证得△ ABC∽△ACE，根据相似 三角形的性质即可证得结论． 【解答】 （1）证明：连接 CO， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC， ∵AC 平分∠FAB， ∴∠OCA=∠CAE， ∴OC‖FD， ∵CE⊥DF， ∴OC⊥CE， ∴CE 是⊙O 的切线； （2）证明：连接 BC， 在 Rt△ ACE 中，AC= ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BCA=90°， ∴∠BCA=∠CEA， ∵∠CAE=∠CAB， ∴△ABC∽△ACE， = = ，第 16 页（共 21 页）∴AB=5， ∴AO=2.5，即⊙O 的半径为 2.5．23．A 城有某种农机 30 台，B 城有该农机 40 台，现要将这些农机全部运往 C，D 两乡，调 运任务承包给某运输公司．已知 C 乡需要农机 34 台，D 乡需要农机 36 天，从 A 城往 C，D 两乡运送农机的费用分别为 250 元/台和 200 元/台，从 B 城往 C，D 两乡运送农机的费用分 别为 150 元/台和 240 元/台． （1）设 A 城运往 C 乡该农机 x 台，运送全部农机的总费用为 W 元，求 W 关于 x 的函数关 系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于 16460 元，则有多少种不同的调运方 案？将这些方案设计出来； （3）现该运输公司决定对 A 城运往 C 乡的农机，从运输费中每台减免 a 元（a≤200）作为 优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？ 【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用． 【分析】 （1）A 城运往 C 乡的化肥为 x 吨，则可得 A 城运往 D 乡的化肥为 30－x 吨，B 城 运往 C 乡的化肥为 34－x 吨，B 城运往 D 乡的化肥为 40－（34－x）吨，从而可得出 W 与 x 大的函数关系． （2）根据题意得 140x+12540≥16460 求得 28≤x≤30，于是得到有 3 种不同的调运方案，写出 方案即可； （3）根据题意得到 W=x+12540，所以当 a=200 时，y 最小=－60x+12540，此时 x=30 时 y 最 小=10740 元．于是得到结论． 【解答】解： （1）W=250x+200（30－x）+150（34－x）+240（6+x）=140x+12540（0＜x≤30） ； （2）根据题意得 140x+12540≥16460， ∴x≥28， ∵x≤30， ∴28≤x≤30， ∴有 3 种不同的调运方案， 第一种调运方案：从 A 城调往 C 城 28 台，调往 D 城 2 台，从，B 城调往 C 城 6 台，调往 D 城 34 台； 第二种调运方案：从 A 城调往 C 城 29 台，调往 D 城 1 台，从，B 城调往 C 城 5 台，调往 D 城 35 台； 第三种调运方案：从 A 城调往 C 城 30 台，调往 D 城 0 台，从，B 城调往 C 城 4 台，调往 D 城 36 台， （3）W=x+200（30－x）+150（34－x）+240（6+x）=x+12540，第 17 页（共 21 页）所以当 a=200 时，y 最小=－60x+12540，此时 x=30 时 y 最小=10740 元． 此时的方案为：从 A 城调往 C 城 30 台，调往 D 城 0 台，从，B 城调往 C 城 4 台，调往 D 城 36 台． 24．如图，直线 y=－ x+2 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，点 B，两动点 D，E 分别从点 A， 点 B 同时出发向点 O 运动 （运动到点 O 停止） ， 运动速度分别是 1 个单位长度/秒和 个 单位长度/秒，设运动时间为 t 秒，以点 A 为顶点的抛物线经过点 E，过点 E 作 x 轴的平行 线，与抛物线的另一个交点为点 G，与 AB 相交于点 F． （1）求点 A，点 B 的坐标； （2）用含 t 的代数式分别表示 EF 和 AF 的长； （3）当四边形 ADEF 为菱形时，试判断△ AFG 与△ AGB 是否相似，并说明理由． （4）是否存在 t 的值，使△ AGF 为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不 存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题． 【分析】 （1）在直线 y=－ x+2 中，分别令 y=0 和 x=0，容易求得 A、B 两点坐标； （2）由 OA、OB 的长可求得∠ABO=30°，用 t 可表示出 BE，EF，和 BF 的长，由勾股定理 可求得 AB 的长，从而可用 t 表示出 AF 的长； （3） 利用菱形的性质可求得 t 的值， 则可求得 AF=AG 的长， 可得到 = ， 可判定△ AFG与△ AGB 相似； （4）若△ AGF 为直角三角形时，由条件可知只能是∠FAG=90°，又∠AFG=∠OAF=60°，由 （2）可知 AF=4－2t，EF=t，又由二次函数的对称性可得到 EG=2OA=4，从而可求出 FG， 在 Rt△ AGF 中，可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值，进一步可求得 E 点坐标，利用待定 系数法可求得抛物线的解析式． 【解答】解： （1）在直线 y=－ x+2 中， 令 y=0 可得 0=－ x+2 ，解得 x=2， 令 x=0 可得 y=2 ， ∴A 为（2，0） ，B 为（0，2 ） ； （2）由（1）可知 OA=2，OB=2 ， ∴tan∠ABO= ∴∠ABO=30°，第 18 页（共 21 页）∵运动时间为 t 秒， ∴BE= t， ∵EF‖x 轴， ∴在 Rt△ BEF 中，EF=BE?tan∠ABO= BE=t，BF=2EF=2t，在 Rt△ ABO 中，OA=2，OB=2 ， ∴AB=4， ∴AF=4－2t； （3）相似．理由如下： 当四边形 ADEF 为菱形时，则有 EF=AF， 即 t=4－2t，解得 t= ， ∴AF=4－2t=4－ = ，OE=OB－BE=2 如图，过 G 作 GH⊥x 轴，交 x 轴于点 H， － × = ，则四边形 OEGH 为矩形， ∴GH=OE= ，又 EG‖x 轴，抛物线的顶点为 A， ∴OA=AH=2， 在 Rt△ AGH 中，由勾股定理可得 AG2=GH2+AH2=（ 又 AF?AB= ×4= ∴AF?AB=AG2，即 ， = ，且∠FAG=∠GAB， ）2+22= ，∴△AFG∽△AGB； （4）存在， ∵EG‖x 轴， ∴∠GFA=∠BAO=60°， 又 G 点不能在抛物线的对称轴上， ∴∠FGA≠90°， ∴当△ AGF 为直角三角形时，则有∠FAG=90°，第 19 页（共 21 页）又∠FGA=30°， ∴FG=2AF， ∵EF=t，EG=4， ∴FG=4－t，且 AF=4－2t， ∴4－t=2（4－2t） ， 解得 t= ， 即当 t 的值为 秒时，△ AGF 为直角三角形，此时 OE=OB－BE=2 = ， ） ， － t=2 － ×∴E 点坐标为（0， ∵抛物线的顶点为 A，∴可设抛物线解析式为 y=a（x－2）2， 把 E 点坐标代入可得 ∴抛物线解析式为 y= 即 y= x2 － x+ =4a，解得 a= （x－2）2， ． ，第 20 页（共 21 页）2016 年 7 月 12 日第 21 页（共 21 页）

2016湖北荆门中考数学

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2016年湖北省荆门市中考数学试卷

一、（本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，有且只有一个答案是正确的）

1．2的绝对值是（ ）

A．2 B．－2 C．  D．－

2．下列运算正确的是（ ）

A．a+2a=2a2B．（－2ab2）2=4a2b4C．a6÷a3=a2D．（a－3）2=a2－9

3．要使式子 有意义，则x的取值范围是（ ）

A．x＞1 B．x＞－1 C．x≥1 D．x≥－1

4．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（ ）

 

A．5 B．6 C．8 D．10

5．在平面直角坐标系中，若点A（a，－b）在第一象限内，则点B（a，b）所在的象限是（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．由5个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（ ）

 

A．主视图的面积最小 B．左视图的面积最小

C．俯视图的面积最小 D．三个视图的面积相等

7．化简  的结果是（ ）

A．  B．  C．x+1 D．x－1

8．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（ ）

 

A．  B．  C．  D．

9．已知3是关于x的方程x2－（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）

A．7 B．10 C．11 D．10或11

10．若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（ ）

A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=－7 D．x1=－1，x2=7

11．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（ ）

 

A．△AFD≌△DCE B．AF= AD C．AB=AF D．BE=AD－DF

12．如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）

 

A．12cm B．6cm C．3 cm D．2 cm

二、题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

13．分解因式：（m+1）（m－9）+8m= ．

14．为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的 还少5台，则购置的笔记本电脑有 台．

15．荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是 ．

16．两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF= cm．

 

17．如图，已知点A（1，2）是反比例函数y= 图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是 ．

 

三、解答题（本题共7小题，共69分）

18．（1）计算：|1－ |+3tan30°－（ ）0－（－ ）－1．

（2）解不等式组 ．

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．

（1）补充完成图形；

（2）若EF‖CD，求证：∠BDC=90°．

 

20．秋季新学期开学时，红城中学对七年级新生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格，现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了如下不完整的图表：

分 数 段 频数 频率

60≤x＜70 9 a

70≤x＜80 36 0.4

80≤x＜90 27 b

90≤x≤100 c 0.2

请根据上述统计图表，解答下列问题：

（1）在表中，a= ，b= ，c= ；

（2）补全频数直方图；

（3）根据以上选取的数据，计算七年级学生的平均成绩．

（4）如果测试成绩不低于80分者为“优秀”等次，请你估计全校七年级的800名学生中，“优秀”等次的学生约有多少人？

 

21．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+ ）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为 米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？

 

22．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若AE=1，CE=2，求⊙O的半径．

 

23．A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36天，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．

（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；

（3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（a≤200）作为优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？

24．如图，直线y=－ x+2 与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和 个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．

（1）求点A，点B的坐标；

（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；

（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．

（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

 

 

2016年湖北省荆门市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、（本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，有且只有一个答案是正确的）

1．2的绝对值是（ ）

A．2 B．－2 C．  D．－

【考点】绝对值．

【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．

【解答】解：∵2＞0，

∴|2|=2．

故选：A．

2．下列运算正确的是（ ）

A．a+2a=2a2B．（－2ab2）2=4a2b4C．a6÷a3=a2D．（a－3）2=a2－9

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．

【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，差的平方等余平方和减积的二倍，可得答案．

【解答】解：A、合并同类项系数相加字母及指数不变，故A错误；

B、积的乘方等于乘方的积，故B正确；

C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误；

D、差的平方等余平方和减积的二倍，故D错误；

故选：B．

3．要使式子 有意义，则x的取值范围是（ ）

A．x＞1 B．x＞－1 C．x≥1 D．x≥－1

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出x－1≥0，求出答案．

【解答】解：要使式子 有意义，

故x－1≥0，

解得：x≥1．

则x的取值范围是：x≥1．

故选：C．

4．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（ ）

 

A．5 B．6 C．8 D．10

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．

【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∵AB=5，AD=3，

∴BD= =4，

∴BC=2BD=8，

故选C．

5．在平面直角坐标系中，若点A（a，－b）在第一象限内，则点B（a，b）所在的象限是（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】点的坐标．

【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．

【解答】解：∵点A（a，－b）在第一象限内，

∴a＞0，－b＞0，

∴b＜0，

∴点B（a，b）所在的象限是第四象限．

故选D．

6．由5个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（ ）

 

A．主视图的面积最小 B．左视图的面积最小

C．俯视图的面积最小 D．三个视图的面积相等

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．

【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，主视图的面积是4；

从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图的面积为3；

从上边看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，俯视图的面积是4，

左视图面积最小，故B正确；

故选：B．

7．化简  的结果是（ ）

A．  B．  C．x+1 D．x－1

【考点】分式的混合运算．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．

【解答】解：原式= ÷ = = ，

故选A

8．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（ ）

 

A．  B．  C．  D．

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．

【解答】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y= ×2x=x，

当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y= ×2×2=2，

符合题意的函数关系的图象是A；

故选：A．

9．已知3是关于x的方程x2－（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）

A．7 B．10 C．11 D．10或11

【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．

【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．

【解答】解：把x=3代入方程得9－3（m+1）+2m=0，

解得m=6，

则原方程为x2－7x+12=0，

解得x1=3，x2=4，

因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，

①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；

②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．

综上所述，该△ABC的周长为10或11．

故选：D．

10．若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（ ）

A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=－7 D．x1=－1，x2=7

【考点】二次函数的性质；解一元二次方程-因式分解法．

【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=7，求出x的值即可．

【解答】解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，

∴－ =3，解得m=－6，

∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2－6x－7=0，即（x+1）（x－7）=0，解得x1=－1，x2=7．

故选D．

11．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（ ）

 

A．△AFD≌△DCE B．AF= AD C．AB=AF D．BE=AD－DF

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定．

【分析】先根据已知条件判定判定△AFD≌△DCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可．

【解答】解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD‖BC，

∴∠ADF=∠DEC．

又∵DE=AD，

∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；

（B）∵∠ADF不一定等于30°，

∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）(原文来自：wWW.DxF5.com 东 星资源网:2016湖北荆门中考数学)错误；

（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，

由矩形ABCD，可得AB=CD，

∴AB=AF，故（C）正确；

（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，

由矩形ABCD，可得BC=AD，

又∵BE=BC－EC，

∴BE=AD－DF，故（D）正确；

故选（B）

 

12．如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）

 

A．12cm B．6cm C．3 cm D．2 cm

【考点】圆锥的计算．

【分析】圆的半径为2，那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的一半的长度，进而求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π．

【解答】解：作OD⊥AC于点D，连接OA，

∴∠OAD=45°，AC=2AD，

∴AC=2（OA×cos45°）=12 cm，

∴ =6 π

∴圆锥的底面圆的半径=6 π÷（2π）=3 cm．

故选C．

 

二、题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

13．分解因式：（m+1）（m－9）+8m= （m+3）（m－3） ．

【考点】因式分解-运用公式法．

【分析】先利用多项式的运算法则展开，合并同类项后再利用平方差公式分解因式即可．

【解答】解：（m+1）（m－9）+8m，

=m2－9m+m－9+8m，

=m2－9，

=（m+3）（m－3）．

故答案为：（m+3）（m－3）．

14．为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的 还少5台，则购置的笔记本电脑有 16 台．

【考点】一元一次方程的应用．

【分析】设购置的笔记本电脑有x台，则购置的台式电脑为台．根据笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的 还少5台，可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．

【解答】解：设购置的笔记本电脑有x台，则购置的台式电脑为台，

依题意得：x= －5，即20－ x=0，

解得：x=16．

∴购置的笔记本电脑有16台．

故答案为：16．

15．荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是 ．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：画树状图如下：

 

由树状图可知共有20种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有12种，

所以抽到一男一女的概率为P（一男一女）= ，

故答案为： ．

16．两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF= 2 cm．

 

【考点】旋转的性质．

【分析】利用旋转的性质得出DC=AC，∠D=∠CAB，再利用已知角度得出∠AFC=90°，再利用直角三角形的性质得出FC的长．

【解答】解：∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，

∴DC=AC，∠D=∠CAB，

∴∠D=∠DAC，

∵∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，

∴∠D=∠CAB=60°，

∴∠DCA=60°，

∴∠ACF=30°，

可得∠AFC=90°，

∵AB=8cm，∴AC=4cm，

∴FC=4cos30°=2 （cm）．

故答案为：2 ．

17．如图，已知点A（1，2）是反比例函数y= 图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是 （－3，0）或（5，0）或（3，0）或（－5，0） ．

 

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质．

【分析】由对称性可知O为AB的中点，则当△PAB为等腰三角形时只能有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），可分别表示出PA和PB，从而可得到关与x的方程，可求得x，可求得P点坐标．

【解答】解：

∵反比例函数y= 图象关于原点对称，

∴A、B两点关于O对称，

∴O为AB的中点，且B（－1，－2），

∴当△PAB为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB，

设P点坐标为（x，0），

∵A（1，2），B（－1，－2），

∴AB= =2 ，PA= ，PB= ，

当PA=AB时，则有 =2 ，解得x=－3或5，此时P点坐标为（－3，0）或（5，0）；

当PB=AB时，则有 =2 ，解得x=3或－5，此时P点坐标为（3，0）或（－5，0）；

综上可知P点的坐标为（－3，0）或（5，0）或（3，0）或（－5，0），

故答案为：（－3，0）或（5，0）或（3，0）或（－5，0）．

三、解答题（本题共7小题，共69分）

18．（1）计算：|1－ |+3tan30°－（ ）0－（－ ）－1．

（2）解不等式组 ．

【考点】解一元一次不等式组；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】（1）首先去掉绝对值符号，计算乘方，代入特殊角的三角函数值，然后进行加减计算即可；

（2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．

【解答】解：（1）原式= －1+3× －1－（－3）= －1+ +3=2；

（2）解①得x＞－ ，

解②得x≤0，

则不等式组的解集是－ ＜x≤0．

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．

（1）补充完成图形；

（2）若EF‖CD，求证：∠BDC=90°．

 

【考点】旋转的性质．

【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；

（2）由旋转的性质得到∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS得到三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．

【解答】解：（1）补全图形，如图所示；

（2）由旋转的性质得：∠DCF=90°，

∴∠DCE+∠ECF=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠DCE+∠BCD=90°，

∴∠ECF=∠BCD，

∵EF‖DC，

∴∠EFC+∠DCF=180°，

∴∠EFC=90°，

在△BDC和△EFC中，

 ，

∴△BDC≌△EFC（SAS），

∴∠BDC=∠EFC=90°．

 

20．秋季新学期开学时，红城中学对七年级新生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格，现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了如下不完整的图表：

分 数 段 频数 频率

60≤x＜70 9 a

70≤x＜80 36 0.4

80≤x＜90 27 b

90≤x≤100 c 0.2

请根据上述统计图表，解答下列问题：

（1）在表中，a= 0.1 ，b= 0.3 ，c= 18 ；

（2）补全频数直方图；

（3）根据以上选取的数据，计算七年级学生的平均成绩．

（4）如果测试成绩不低于80分者为“优秀”等次，请你估计全校七年级的800名学生中，“优秀”等次的学生约有多少人？

 

【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数．

【分析】（1）根据表格中的数据可以求得抽查的学生数，从而可以求得a、b、c的值；

（2）根据（1）中c的值，可以将频数分布直方图补充完整；

（3）根据平均数的定义和表格中的数据可以求得七年级学生的平均成绩；

（4）根据表格中的数据可以求得“优秀”等次的学生数．

【解答】解：（1）抽查的学生数：36÷0.4=90，

a=9÷90=0.1，b=27÷90=0.3，c=90×0.2=18，

故答案为：0.1，0.3，18；

（2）补全的频数分布直方图如右图所示，

（3）∵ =81，

即七年级学生的平均成绩是81分；

（4）∵800×（0.3+0.2）=800×0.5=400，

即“优秀”等次的学生约有400人．

 

21．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+ ）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为 米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？

 

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，根据直角三角形的性质用x表示出AC与BC的长，再根据小明与小军同时到达山顶C处即可得出结论．

【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，

∵∠A=45°，CD⊥AB，

∴AD=CD=x米，

∴AC= x．

在Rt△BCD中，

∵∠B=30°，

∴BC= = =2x，

∵小军的行走速度为 米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，

∴ = ，解得a=1米/秒．

答：小明的行走速度是1米/秒．

 

22．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若AE=1，CE=2，求⊙O的半径．

 

【考点】切线的判定；角平分线的性质．

【分析】（1）证明：连接CO，证得∠OCA=∠CAE，由平行线的判定得到OC‖FD，再证得OC⊥CE，即可证得结论；

（2）证明：连接BC，由圆周角定理得到∠BCA=90°，再证得△ABC∽△ACE，根据相似三角形的性质即可证得结论．

【解答】（1）证明：连接CO，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵AC平分∠FAB，

∴∠OCA=∠CAE，

∴OC‖FD，

∵CE⊥DF，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

（2）证明：连接BC，

在Rt△ACE中，AC= = = ，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，

∴∠BCA=∠CEA，

∵∠CAE=∠CAB，

∴△ABC∽△ACE，

∴ = ，

∴ ，

∴AB=5，

∴AO=2.5，即⊙O的半径为2.5．

 

23．A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36天，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．

（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；

（3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（a≤200）作为优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？

【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．

【分析】（1）A城运往C乡的化肥为x吨，则可得A城运往D乡的化肥为30－x吨，B城运往C乡的化肥为34－x吨，B城运往D乡的化肥为40－（34－x）吨，从而可得出W与x大的函数关系．

（2）根据题意得140x+12540≥16460求得28≤x≤30，于是得到有3种不同的调运方案，写出方案即可；

（3）根据题意得到W=x+12540，所以当a=200时，y最小=－60x+12540，此时x=30时y最小=10740元．于是得到结论．

【解答】解：（1）W=250x+200（30－x）+150（34－x）+240（6+x）=140x+12540（0＜x≤30）；

（2）根据题意得140x+12540≥16460，

∴x≥28，

∵x≤30，

∴28≤x≤30，

∴有3种不同的调运方案，

第一种调运方案：从A城调往C城28台，调往D城2台，从，B城调往C城6台，调往D城34台；

第二种调运方案：从A城调往C城29台，调往D城1台，从，B城调往C城5台，调往D城35台；

第三种调运方案：从A城调往C城30台，调往D城0台，从，B城调往C城4台，调往D城36台，

（3）W=x+200（30－x）+150（34－x）+240（6+x）=x+12540，

所以当a=200时，y最小=－60x+12540，此时x=30时y最小=10740元．

此时的方案为：从A城调往C城30台，调往D城0台，从，B城调往C城4台，调往D城36台．

24．如图，直线y=－ x+2 与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和 个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．

（1）求点A，点B的坐标；

（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；

（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．

（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

 

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）在直线y=－ x+2 中，分别令y=0和x=0，容易求得A、B两点坐标；

（2）由OA、OB的长可求得∠ABO=30°，用t可表示出BE，EF，和BF的长，由勾股定理可求得AB的长，从而可用t表示出AF的长；

（3）利用菱形的性质可求得t的值，则可求得AF=AG的长，可得到 = ，可判定△AFG与△AGB相似；

（4）若△AGF为直角三角形时，由条件可知只能是∠FAG=90°，又∠AFG=∠OAF=60°，由（2）可知AF=4－2t，EF=t，又由二次函数的对称性可得到EG=2OA=4，从而可求出FG，在Rt△AGF中，可得到关于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式．

【解答】解：

（1）在直线y=－ x+2 中，

令y=0可得0=－ x+2 ，解得x=2，

令x=0可得y=2 ，

∴A为（2，0），B为（0，2 ）；

（2）由（1）可知OA=2，OB=2 ，

∴tan∠ABO= = ，

∴∠ABO=30°，

∵运动时间为t秒，

∴BE= t，

∵EF‖x轴，

∴在Rt△BEF中，EF=BE tan∠ABO= BE=t，BF=2EF=2t，

在Rt△ABO中，OA=2，OB=2 ，

∴AB=4，

∴AF=4－2t；

（3）相似．理由如下：

当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，

即t=4－2t，解得t= ，

∴AF=4－2t=4－ = ，OE=OB－BE=2 － × = ，

如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，

 

则四边形OEGH为矩形，

∴GH=OE= ，

又EG‖x轴，抛物线的顶点为A，

∴OA=AH=2，

在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=（ ）2+22= ，

又AF AB= ×4= ，

∴AF AB=AG2，即 = ，且∠FAG=∠GAB，

∴△AFG∽△AGB；

（4）存在，

∵EG‖x轴，

∴∠GFA=∠BAO=60°，

又G点不能在抛物线的对称轴上，

∴∠FGA≠90°，

∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG=90°，

又∠FGA=30°，

∴FG=2AF，

∵EF=t，EG=4，

∴FG=4－t，且AF=4－2t，

∴4－t=2（4－2t），

解得t= ，

即当t的值为 秒时，△AGF为直角三角形，此时OE=OB－BE=2 － t=2 － × = ，

∴E点坐标为（0， ），

∵抛物线的顶点为A，

∴可设抛物线解析式为y=a（x－2）2，

把E点坐标代入可得 =4a，解得a= ，

∴抛物线解析式为y= （x－2）2，

即y= x2－ x+ ．

2016年7月12日 

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