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2016龙岩中考数学

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2016龙岩中考数学

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2016年福建省龙岩市中考数学试卷

一、：本大题共10小题，每小题4分，共40分

1．（－2）3=（）

A．－6B．6C．－8D．8

2．下列四个实数中最小的是（）

A． B．2C． D．1.4

3．与是同类二次根式的是（）

A． B． C． D．

4．下列命题是假命题的是（）

A．若|a|=|b|，则a=b

B．两直线平行，同位角相等

C．对顶角相等

D．若b2－4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根

5．如图所示正三棱柱的主视图是（）

A． B． C． D．

6．在2016年龙岩市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（）

A．平均数为160B．中位数为158C．众数为158D．方差为20.3

7．反比例函数y=－的图象上有P1（x1，－2），P2（x2，－3）两点，则x1与x2的大小关系是（）

A．x1＞x2B．x1=x2C．x1＜x2D．不确定

8．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）

A．1B．2C．3D．4

9．在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入8个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球400次，其中88次摸到黑球，则估计袋中大约有白球（）

A．18个B．28个C．36个D．42个

10．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|a－b+c|+|2a+b|=（）

A．a+bB．a－2bC．a－bD．3a

二、题：本大题共6小题，每小题3分，共18分

11．因式分解：a2－6a+9= ．

12．截止2016年4月28日，电影《美人鱼》的累计票房达到大约3390000000元，数据3390000000用科学记数法表示为．

13．如图，若点A的坐标为，则sin∠1= ．

14．将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2= °．

15．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC= ．

16．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10= ．

三．解答题（本大题共9小题，共92题）

17．计算：．

18．先化简再求值：，其中x=2+ ．

19．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

20．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD=∠B，AD⊥CD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AD=1，OA=2，求AC的值．

21．某中学需在短跑、长跑、跳远、跳高四类体育项目中各选拔一名同学参加市中学生运动会．根据平时成绩，把各项目进入复选的学生情况绘制成如下不完整的统计图：

（1）参加复选的学生总人数为人，扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为 °；

（2）补全条形统计图，并标明数据；

（3）求在跳高项目中男生被选中的概率．

22．图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）

（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）；

（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复）

23．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：

销售量n（件） n=50－x

销售单价m（元/件）当1≤x≤20时，m=20+ x

当21≤x≤30时，m=10+

（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？

（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；

（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

24．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．

（1）特殊情形：如图1，当DE‖BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）

（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．

25．已知抛物线y=－ +bx+c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（－4，0），B（1， 0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；

（4）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由(转自：wWw.DXf5.Com 东星资源网:2016龙岩中考数学)．

2016年福建省龙岩市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、：本大题共10小题，每小题4分，共40分

1．（－2）3=（）

A．－6B．6C．－8D．8

【考点】有理数的乘方．

【分析】原式利用乘方的意义计算即可得到结果．

【解答】解：原式=－8，

故选C

2．下列四个实数中最小的是（）

A． B．2C． D．1.4

【考点】实数大小比较．

【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．

【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得

1.4＜＜＜2，

∴四个实数中最小的是1.4．

故选：D．

3．与是同类二次根式的是（）

A． B． C． D．

【考点】同类二次根式．

【分析】根据化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．

【解答】解：A、与－的被开方数不同，故A错误；

B、与－的被开方数不同，故B错误；

C、与－的被开方数相同，故C正确；

D、与－的被开方数不同，故D错误；

故选：C

4．下列命题是假命题的是（）

A．若|a|=|b|，则a=b

B．两直线平行，同位角相等

C．对顶角相等

D．若b2－4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根

【考点】命题与定理．

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【解答】解：A、若|a|=|b|，则a－b=0或a+b=0，故A错误；

B、两直线平行，同位角相等，故B正确；

C、对顶角相等，故C正确；

D、若b2－4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根，故D正确；

故选：A．

5．如图所示正三棱柱的主视图是（）

A． B． C． D．

【考点】简单几何体的三视图．

【分析】找到从正面看所得到的图形即可．

【解答】解：如图所示正三棱柱的主视图是平行排列的两个矩形，故选B．

6．在2016年龙岩市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（）

A．平均数为160B．中位数为158C．众数为158D．方差为20.3

【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．

【分析】分别利用平均数、中位数、众数及方差的定义求解后即可判断正误．

【解答】解：A、平均数为÷5=160，正确，故本选项不符合题意；

B、按照从小到大的顺序排列为154，158，158，160，170，位于中间位置的数为158，故中位数为158，正确，故本选项不符合题意；

C、数据158出现了2次，次数最多，故众数为158，正确，故本选项不符合题意；

D、这组数据的方差是S2= [2+2×2+2+2]=28.8，错误，故本选项符合题意．

故选D．

7．反比例函数y=－的图象上有P1（x1，－2），P2（x2，－3）两点，则x1与x2的大小关系是（）

A．x1＞x2B．x1=x2C．x1＜x2D．不确定

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】直接利用反比例函数的增减性进而分析得出答案．

【解答】解：∵反比例函数y=－的图象上有P1（x1，－2），P2（x2，－3）两点，

∴每个分支上y随x的增大而增大，

∵－2＞－3，

∴x1＞x2，

故选：A．

8．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）

A．1B．2C．3D．4

【考点】菱形的性质；轴对称-最短路线问题．

【分析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．

【解答】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．

∴EP+FP=EP+F′P．

由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．

∵四边形ABCD为菱形，周长为12，

∴AB=BC=CD=DA=3，AB‖CD，

∵AF=2，AE=1，

∴DF=AE=1，

∴四边形AEF′D是平行四边形，

∴EF′=AD=3．

∴EP+FP的最小值为3．

故选：C．

A．18个B．28个C．36个D．42个

【考点】用样本估计总体．

【分析】根据摸到黑球的概率和黑球的个数，可以求出袋中放入黑球后总的个数，然后再减去黑球个数，即可得到白球的个数．

【解答】解：由题意可得，

白球的个数大约为：8÷ －8≈28，

故选B．

10．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|a－b+c|+|2a+b|=（）

A．a+bB．a－2bC．a－bD．3a

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】观察函数图象找出“a＞0，c=0，－2a＜b＜0”，由此即可得出|a－b+c|=a－b，|2a+b|=2a+b，根据整式的加减法运算即可得出结论．

【解答】解：观察函数图象，发现：

图象过原点，c=0；

抛物线开口向上，a＞0；

抛物线的对称轴0＜－＜1，－2a＜b＜0．

∴|a－b+c|=a－b，|2a+b|=2a+b，

∴|a－b+c|+|2a+b|=a－b+2a+b=3a．

故选D．

二、题：本大题共6小题，每小题3分，共18分

11．因式分解：a2－6a+9= （a－3）2 ．

【考点】因式分解-运用公式法．

【分析】本题是一个二次三项式，且a2和9分别是a和3的平方，6a是它们二者积的两倍，符合完全平方公式的结构特点，因此可用完全平方公式进行因式分解．

【解答】解：a2－6a+9=（a－3）2．

12．截止2016年4月28日，电影《美人鱼》的累计票房达到大约3390000000元，数据3390000000用科学记数法表示为 3.39×109 ．

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：3390000000=3.39×109，

故答案为：3.39×109

13．如图，若点A的坐标为，则sin∠1= \frac{{\sqrt{3}}}{2} ．

【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．

【分析】根据勾股定理，可得OA的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案．

【解答】解：如图，，

由勾股定理，得

OA= =2．

sin∠1= = ，

故答案为：．

14．将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2= 110 °．

【考点】平行线的性质．

【分析】根据平行线的性质得到∠3=∠1=40°，∠2+∠4=180°，由折叠的性质得到∠4=∠5，即可得到结论．

【解答】解：∵AB‖CD，

∴∠3=∠1=40°，∠2+∠4=180°，

∵∠4=∠5，

∴∠4=∠5= =70°，

∴∠2=110°，

故答案为：110°．

15．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC= 2 ．

【考点】等边三角形的性质．

【分析】先证明BC=2CD，证明△CDE是等腰三角形即可解决问题．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，

∴∠BDC=90°，

∴BC=2DC，

∵∠ACB=∠E+∠CDE，

∴∠CDE=∠E=30°，

∴CD=CE=1，

∴BC=2CD=2，

故答案为2

16．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10= π ．

【考点】三角形的内切圆与内心；规律型：图形的变化类．

【分析】（1）图1，作辅助线构建正方形OECF，设圆O的半径为r，根据切线长定理表示出AD和BD的长，利用AD+BD=5列方程求出半径r= （a、b是直角边，c为斜边），运用圆面积公式=πr2求出面积=π；

（2）图2，先求斜边上的高CD的长，再由勾股定理求出AD和BD，利用半径r= （a、b是直角边，c为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和=π；

（3）图3，继续求高DM和CM、BM，利用半径r= （a、b是直角边，c为斜边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和=π；

综上所述：发现S1+S2+S3+…+S10=π．

【解答】解：（1）图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°

∵∠C=90°

∴四边形OECF为矩形

∵OE=OF

∴矩形OECF为正方形

设圆O的半径为r，则OE=OF=r，AD=AE=3－r，BD=4－r

∴3－r+4+r=5，r= =1

∴S1=π×12=π

（2）图2，由S△ABC= ×3×4= ×5×CD

∴CD=

由勾股定理得：AD= = ，BD=5－ =

由（1）得：⊙O的半径= = ，⊙E的半径= =

∴S1+S2=π× +π× =π

（3）图3，由S△CDB= × × = ×4×MD

∴MD=

由勾股定理得：CM= = ，MB=4－ =

由（1）得：⊙O的半径= ，：⊙E的半径= = ，：⊙F的半径= =

∴S1+S2+S3=π× +π× +π× =π

∴图4中的S1+S2+S3+S4=π

则S1+S2+S3+…+S10=π

故答案为：π．

三．解答题（本大题共9小题，共92题）

17．计算：．

【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，零指数幂法则，以及平方根定义计算即可得到结果．

【解答】解：原式=2 +3－－－3+1=1．

18．先化简再求值：，其中x=2+ ．

【考点】分式的化简求值．

【分析】直接将括号里面进行通分运算，进而利用分式运算法则求出答案．

【解答】解：原式=

=x+2，

当时，

原式=2+ +2=4+ ．

19．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．

【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式的解集．

【解答】解：由①得x≥4，

由②得x＜1，

∴原不等式组无解，

20．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD=∠B，AD⊥CD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AD=1，OA=2，求AC的值．

【考点】切线的判定．

【分析】（1）连接OC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，由等腰三角形的性质得出∠B=∠BCO，证出∠OCD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，即可得出结论；

（2）证明△ACB∽△ADC，得出AC2=AD AB，即可得出结果．

【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：

∵AB是⊙O直径，

∴∠ACB=90°，

∵OB=OC，

∴∠B=∠BCO，

又∵∠ACD=∠B，

∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，

即OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵AD⊥CD，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

又∵∠ACD=∠B，

∴△ACB∽△ADC，

∴AC2=AD AB=1×4=4，

∴AC=2．

（1）参加复选的学生总人数为 25 人，扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为 72 °；

（2）补全条形统计图，并标明数据；

（3）求在跳高项目中男生被选中的概率．

【考点】概率公式；扇形统计图；条形统计图．

【分析】（1）利用条形统计图以及扇形统计图得出跳远项目的人数和所占比例，即可得出参加复选的学生总人数；用短跑项目的人数除以总人数得到短跑项目所占百分比，再乘以360°即可求出短跑项目所对应圆心角的度数；

（2）先求出长跑项目的人数，减去女生人数，得出长跑项目的男生人数，根据总人数为25求出跳高项目的女生人数，进而补全条形统计图；

（3）用跳高项目中的男生人数除以跳高总人数即可．

【解答】解：（1）由扇形统计图和条形统计图可得：

参加复选的学生总人数为：（5+3）÷32%=25（人）；

扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为： ×360°=72°．

故答案为：25，72；

（2）长跑项目的男生人数为：25×12%－2=1，

跳高项目的女生人数为：25－3－2－1－2－5－3－4=5．

如下图：

（3）∵复选中的跳高总人数为9人，

跳高项目中的男生共有4人，

∴跳高项目中男生被选中的概率= ．

22．图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）

（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）；

【考点】作图—应用与设计作图；勾股定理的应用．

【分析】（1）先根据网格求得AB、BC、CD三条线段的长，再相加求得所走的路程的近似值；

（2）根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可．

【解答】解：（1）根据图1可得：，，CD=3

∴A站到B站的路程= ≈9.7；

（2）从A站到D站的路线图如下：

销售量n（件） n=50－x

销售单价m（元/件）当1≤x≤20时，m=20+ x

当21≤x≤30时，m=10+

（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？

（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；

（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）分两种情形分别代入解方程即可．

（2）分两种情形写出所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式即可．

（3）分两种情形根据函数的性质解决问题即可．

【解答】解：（1）分两种情况

①当1≤x≤20时，将m=25代入m=20+ x，解得x=10

②当21≤x≤30时，25=10+ ，解得x=28

经检验x=28是方程的解

∴x=28

答：第10天或第28天时该商品为25元/件．

（2）分两种情况

①当1≤x≤20时，y=（m－10）n=（20+ x－10）（50－x）=－ x2+15x+500，

②当21≤x≤30时，y=（10+ －10）（50－x）=

综上所述：

（3）①当1≤x≤20时

由y=－ x2+15x+500=－（x－15）2+ ，

∵a=－＜0，

∴当x=15时，y最大值= ，

②当21≤x≤30时

由y= －420，可知y随x的增大而减小

∴当x=21时，y最大值= －420=580元

∵

∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元．

24．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．

（1）特殊情形：如图1，当DE‖BC时，有DB = EC．（填“＞”，“＜”或“=”）

（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．

【考点】几何变换综合题．

【分析】（1）由DE‖BC，得到，结合AB=AC，得到DB=EC；

（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；

（3）由旋转构造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形，在简单计算即可．

【解答】解：（1）∵DE‖BC，

∴ ，

∵AB=AC，

∴DB=EC，

故答案为=，

（2）成立．

证明：由①易知AD=AE，

∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，

在△DAB和△EAC中

得

∴△DAB≌△EAC，

∴DB=CE，

（3）如图，

将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，

∴△CPB≌△CEA，

∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，

∴∠CEP=∠CPE=45°，

在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=2 ，

在△PEA中，PE2=（2 ）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，

∵PE2+AE2=AP2，

∴△PEA是直角三角形

∴∠PEA=90°，

∴∠CEA=135°，

又∵△CPB≌△CEA

∴∠BPC=∠CEA=135°．

25．已知抛物线y=－ +bx+c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（－4，0），B（1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；

（4）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）因为抛物线经过点A（－4，0），B（1，0），所以可以设抛物线为y=－（x+4）（x－1），展开即可解决问题．

（2）先证明∠ACB=90°，点A就是所求的点P，求出直线AC解析式，再求出过点B平行AC的直线的解析式，利用方程组即可解决问题．

（3）分AC为平行四边形的边，AC为平行四边形的对角线两种切线讨论即可解决问题．

【解答】解：（1）抛物线的解析式为y=－（x+4）（x－1），即y=－ x2－ x+2；

（2）存在．

当x=0，y═－ x2－ x+2=2，则C（0，2），

∴OC=2，

∵A（－4，0），B（1，0），

∴OA=4，OB=1，AB=5，

当∠PCB=90°时，

∵AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=52=25

∴AC2+BC2=AB2

∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，

∴当点P与点A重合时，△PBC是以BC为直角边的直角三角形，此时P点坐标为（－4，0）；

当∠PBC=90°时，PB‖AC，如图1，

设直线AC的解析式为y=mx+n，

把A（－4，0），C（0，2）代入得，解得，

∴直线AC的解析式为y= x+2，

∵BP‖AC，

∴直线BP的解析式为y= x+p，

把B（1，0）代入得 +p=0，解得p=－，

∴直线BP的解析式为y= x－，

解方程组得或，此时P点坐标为（－5，－3）；

综上所述，满足条件的P点坐标为（－4，0），P2（－5，－3）；

（3）存在点E，设点E坐标为（m，0），F（n，－ n2－ n+2）

①当AC为边，CF1‖AE1，易知CF1=3，此时E1坐标（－7，0），

②当AC为边时，AC‖EF，易知点F纵坐标为－2，

∴－ n2－ n+2=－2，解得n= ，得到F2（，－2），F3（，－2），

根据中点坐标公式得到： = 或 = ，

解得m= 或，

此时E2（，0），E3（，0），

③当AC为对角线时，AE4=CF1=3，此时E4（－1，0），

综上所述满足条件的点E为（－7，0）或（－1，0）或（，－2）或（，－2）．

文

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