年德州中考数学试题
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5Y k J. c oM
山东省德州市2014年中考数学
一、（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分）
1．（3分）（2014 德州）下列计算正确的是（ ）
A． －（－3）2=9 B． =3 C． －（－2）0=1 D． |－3|=－3
考点： 立方根；绝对值；有理数的乘方；零指数幂．
分析： A．平方是正数，相反数应为负数，
B，开立方符号不变．
C.0指数的幂为1，1的相反数是－1．
D．任何数的绝对值都≥0
解答： 解：A、－（－3）2=9此选项错，
B、 =3，此项正确，
C、－（－2）0=1，此项正确，
D、|－3|=－3，此项错．
故选：B．
点评： 本题主要考查立方根，绝对值，零指数的幂，解本题的关键是确定符号．
2．（3分）（2014 德州）下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 中心对称图形；轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答： 解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）（2014 德州）图甲是某零件的直观图，则它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．
分析： 根据主视图是从正面看得到的视图判定则可．
解答： 解：从正面看，主视图为 ．
故选A．
点评： 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（3分）（2014 德州）第六次全国人口普查数据显示，德州市常驻人口约为556.82万人，此数用科学记数法表示正确的是（ ）
A． 556.82×104 B． 5.5682×102 C． 5.5682×106 D． 5.5682×105
考点： 科学记数法—表示较大的数．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：将556.82万人用科学记数法表示为5.5682×106元．
故答案为：2.466 19×1013．
故选：C．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）（2014 德州）如图，AD是∠EAC的平分线，AD‖BC，∠B=30°，则∠C为（ ）
A． 30° B． 60° C． 80° D． 120°
考点： 平行线的性质．
分析： 根据两直线平行，同位角相等可得∠EAD=∠B，再根据角平分线的定义求出∠EAC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答： 解：∵AD‖BC，∠B=30°，
∴∠EAD=∠B=30°，
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠EAC=2∠EAD=2×30°=60°，
∴∠C=∠EAC－∠B=60°－30°=30°．
故选A．
点评： 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
6．（3分）（2014 德州）不等式组 的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B． C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组
分析： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
解不等式组得： ，再分别表示在数轴上即可得解．
解答： 解： 解得 ，
故选：D．
点评： 本题考查了在数周表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
7．（3分）（2014 德州）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（ ）
A． 4 米 B． 6 米 C． 12 米 D． 24米
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析： 先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．
解答： 解：在Rt△ABC中，∵ =i= ，AC=12米，
∴BC=6米，
根据勾股定理得：
AB= =6 米，
故选B．
点评： 此题考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题，勾股定理，难度适中．根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键．
8．（3分）（2014 德州）图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（ ）
A． 体育场离张强家2.5千米
B． 张强在体育场锻炼了15分钟
C． 体育场离早餐店4千米
D． 张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时
考点： 函数的图象
分析： 结合图象得出张强从家直接到体育场，故第一段函数图象所对应的y轴的最高点即为体育场离张强家的距离；进而得出锻炼时间以及整个过程所用时间．由图中可以看出，体育场离张强家2.5千米，体育场离早餐店2.5－1.5千米；平均速度=总路程÷总时间．
解答： 解：A、由函数图象可知，体育场离张强家2.5千米，故此选项正确；
B由图象可得出张强在体育场锻炼45－15=30（分钟），故此选项正确；
C、体育场离张强家2.5千米，体育场离早餐店2.5－1.5=1（千米 ），故此选项错误；
D、∵张强从早餐店回家所用时间为100－65=35分钟，距离为1.5km，
∴张强从早餐店回家的平均速度1.5÷ = （千米/时），故此选项正确．
故选：C．
点评： 此题主要考查了函数图象与实际问题，根据已知图象得出正确信息是解题关键．
9．（3分）（2014 德州）雷霆队的杜兰特当选为2013－2014赛季NBA常规赛MVP，下表是他8场比赛的得分，则这8场比赛得分的众数与中位数分别为（ ）
场次 1 2 3 4 5 6 7 8
得分 30 28 28 38 23 26 39 42
A． 29 28 B． 28 29 C． 28 28 D． 28 27
考点： 众数；中位数
分析： 根据众数和中位数的概念求解．
解答： 解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：23，26，28，28，30，38，39，42，
则众数为：28，
中位数为： =29．
故选B．
点评： 本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
10．（3分）（2014 德州）下列命题中，真命题是（ ）
A． 若a＞b，则c－a＜c－b
B． 某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖
C． 点M（x1，y1），点N（x2，y2）都在反比例函数y= 的图象上，若x1＜x2，则y1＞y2
D． 甲、乙两射击运动员分别射击10次，他们射击的方差分别为S =4，S =9，这过程中乙发挥比甲更稳定
考点： 命题与定理
专题： 常规题型．
分析： 根据不等式的性质对A进行判断；
根据概率的意义对B进行判断；
根据反比例函数的性质对C进行判断；
根据方差的意义对D进行判断．
解答： 解：A、当a＞b，则－a＜－b，所以c－a＜c－b，所以A选项正确；
B、某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票不一定会中奖，所以B选项错误；
C、点M（x1，y1），点N（x2，y2）都在反比例函数y= 的图象上，若0＜x1＜x2，则y1＞y2，所以C选项错误；
D、甲、乙两射击运动员分别射击10次，他们射击的方差分别为S =4，S =9，这过程中甲发挥比乙更稳定，所以D选项错误．
故选A．
点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
11．（3分）（2014 德州）分式方程 －1= 的解是（ ）
A． x=1 B． x=－1+ C． x=2 D． 无解
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：x（x+2）－（x－1）（x+2）=3，
去括号得：x2+2x－x2－x+2=3，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
故选D．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
12．（3分）（2014 德州）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形；
②EC平分∠DCH；
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；
④当点H与点A重合时，EF=2 ．
以上结论中，你认为正确的有（ ）个．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 翻折变换（折叠问题）
分析： 先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；
点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8－x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；
过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．
解答： 解：∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH‖CG，EH‖CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，故①正确；
∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，故②错误；
点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8－x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
即42+x2=（8－x）2，
解得x=3，
点G与点D重合时，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确；
过点F作FM⊥AD于M，则ME=（8－3）－3=2，
由勾股定理得，EF= = =2 ，故④正确；
综上所述，结论正确的有①③④共3个．
故选C．
点评： 本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于③判断出BF最小和最大时的两种情况．
二、（共5小题，每小题4分，满分20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）（2014 德州）－ 的相反数是 ．
考点： 相反数．
分析： 求一个数的相反数就是在这个数前面添上“－”号．
解答： 解：－ 的相反数是－（－ ）= ．
点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“－”号；
一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
14．（4分）（2014 德州）若y= －2，则（x+y）y= ．
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．
解答： 解：由题意得，x－4≥0且4－x≥0，
解得x≥4且x≤4，
所以，x=4，
y=－2，
所以，（x+y）y=（4－2）－2= ．
故答案为： ．
点评： 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
15．（4分）（2014 德州）如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是 － ．
考点： 扇形面积的计算；等边三角形的性质；相切两圆的性质．
分析： 观察发现，阴影部分的面积等于正三角形ABC的面积减去三个圆心角是60°，半径是2的扇形的面积．
解答： 解：连接AD．
∵△ABC是正三角形，BD=CD=2，
∴∠BAC=∠B=∠C=60°，AD⊥BC．
∴AD= ．
∴阴影部分的面积= ×2× －3× = － ．
故答案为： － ．
点评： 此题主要考查了扇形面积的计算，能够正确计算正三角形的面积和扇形的面积．正三角形的面积等于边长的平方的 倍，扇形的面积= ．
16．（4分 ）（2014 德州）方程x2+2kx+k2－2k+1=0的两个实数根x1，x2满足x12+x22=4，则k的值为 1 ．
考点： 根与系数的关系
分析： 由x12+x22=x12+2x1 x2+x22－2x1 x2=（x1+x2）2－2x1 x2=4，然后根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．
解答： 解；x12+x22=4，
即x12+x22=x12+2x1 x2+x22－2x1 x2=（x1+x2）2－2x1 x2=4，
又∵x1+x2=－2k，x1 x2=k2－2k+1，
代入上式有4k2－4（k2－2k+1）=4，
解得k=1．
故答案为：1．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=－ ，x1 x2= ．
17．（4分）（2014 德州）如图，抛物线y= x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y=x上；
②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．
则顶点M2014的坐标为（ 4027 ， 4027 ）．
考点： 二次函数图象与几何变换．
专题： 规律型．
分析： 根据抛物线y=x2与抛物线yn=（x－an）2+an相交于An，可发现规律，根据规律，可得答案．
解答： 解：M1（a1，a1）是抛物线y1=（x－a1）2+a1的顶点，
抛物线y=x2与抛物线y1=（x－a1）2+a1相交于A1，
得x2=（x－a1）2+a1，
即2a1x=a12+a1，
x= （a1+1）．
∵x为整数点
∴a1=1，
M1（1，1）；
M2（a2，a2）是抛物线y2=（x－a2）2+a2=x2－2a2x+a22+a2顶点，
抛物线y=x2与y2相交于A2，
x2=x2－2a2x+a22+a2，
∴2a2x=a22+a2，
x= （a2+1）．
∵x为整数点，
∴a2=3，
M2（3，3），
M3（a3，a3）是抛物线y2=（x－a3）2+a3=x2－2a3x+a32+a3顶点，
抛物线y=x2与y3相交于A3，
x2=x2－2a3x+a32+a3，
∴2a3x=a32+a3，
x= （a3+1）．
∵x为整数点
∴a3=5，
M3（5，5），
所以M2014，2014×2－1=4027
（4027，4027），
故答案为：（4027，4027）
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，定点沿直线y=x平移是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共61分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（6分）（2014 德州）先化简，再求值： ÷ －1．其中a=2sin60°－tan45°，b=1．
考点： 分式的化简求值；特殊角的三角函数值
分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值，把a、b的值代入进行计算即可．
解答： 解：原式= ÷ －1
= －1
= －1
= ，
当a=2sin60°－tan45°=2× －1= －1，b=1时，
原式= = = ．
点评： 本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，要熟记特殊角的三角函数值．
19．（8分）（2014 德州）2011年5月，我市某中学举行了“中国梦 校园好少年”比赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，丙绘制了不完整的两种统计图．
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加比赛的学生共有 40 人，并把条形图补充完整；
（2）扇形统计图中，m= 10 ，n= 40 ；C等级对应扇形的圆心角为 144 度；
（3）学校欲从或A等级的学生中随机选取2人，参加市举办的演讲比赛，请利用列表法或树形图法，求或A等级的小明参加市比赛的概率．
考点： 条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．
分析： （1）根据D等级的有12人，占总数的30%，即可求得总人数，利用总人数减去其它等级的人数求得B等级的人数，从而作出直方图；
（2）根据百分比的定义求得m、n的值，利用360° 乘以C等级所占的百分比即可求得对应的圆心角；
（3）利用列举法即可求解．
解答： 解：（1）参加演讲比赛的学生共有：12÷30%=40（人），
则B等级的人数是：40－4－16－12=8（人）．
（2）A所占的比例是： ×100%=10%，
C所占的百分比： ×100%=40%．
C等级对应扇形的圆心角是：360×40%=144°；
（3）设A等级的小明用a表示，其他的几个学生用b、c、d表示．
共有12种情况，其中小明参加的情况有6种，则P（小明参加比赛）= = ．
点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（8分）（2014 德州）目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：
进价（元/只） 售价（元/只）
甲型 25 30
乙型 45 60
（1）如何进货，进货款恰好为46000元？
（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，此时利润为多少元？
考点： 一次函数的应用；一元一次方程的应用
分析： （1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200－x）只，根据两种节能灯的总价为46000元建立方程求出其解即可；
（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200－a）只，商场的获利为y元，由销售问题的数量关系建立y与a的解析式就可以求出结论．
解答： 解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200－x）只，由题意，得
25x+45（1200－x）=46000，
解得：x=400．
∴购进乙型节能灯1200－400=800只．
答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元；
（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200－a）只，商场的获利为y元，由题意，得
y=（30－25）a+（60－45）（ 1200－a），
y=－10a+18000．
∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，
∴－10a+18000≤[25a+45（1200－a）]×30%，
∴a≥450．
∵y=－10a+18000，
∴k=－10＜0，
∴y随a的增大而减小，
∴a=450时，y最大=13500元．
∴商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元．
点评： 本题考查了单价×数量=总价的运用，列了一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的解析式的运用，解答时求出求出一次函数的解析式是关键．
21．（10分）（2014 德州）如图，双曲线y= （x＞0）经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB‖x轴，点A的坐标为（2，3）．
（1）确定k的值；
（2）若点D（3，m）在双曲线上，求直线AD的解析式；
（3）计算△OAB的面积．
考点： 反比例函数综合题．
专题： 综合题．
分析： （1）将A坐标代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）将D坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出D坐标，设直线AD解析式为y=kx+b，将A与D坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AD解析式；
（3）过点C作CN⊥y轴，垂足为N，延长BA，交y轴于点M，得到CN与BM平行，进而确定出三角形OCN与三角形OBM相似，根据C为OB的中点，得到相似比为1：2，确定出三角形OCN与三角形OBM面积比为1：4，利用反比例函数k的意义确定出三角形OCN与三角形AOM面积，根据相似三角形面积之比为1：4，求出三角形AOB面积即可．
解答： 解：（1）将点A（2，3）代入解析式y= ，得：k=6；
（2）将D（3，m）代入反比例解析式y= ，得：m= =2，
∴点D坐标为（3，2），
设直线AD解析式为y=kx+b，
将A（2，3）与D（3，2）代入得： ，
解得：k=－1，b=5，
则直线AD解析式为y=－x+5；
（3）过点C作CN⊥y轴，垂足为N，延长BA，交y轴于点M，
∵AB‖x轴，
∴BM⊥y轴，
∴MB‖ CN，
∴△OCN∽△OBM，
∵C为OB的中点，即 = ，
∴ =（ ）2，
∵A，C都在双曲线y= 上，
∴S△OCN=S△AOM=3，
由 = ，得到S△AOB=9，
则△AOB面积为9．
点评： 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，以及反比例函数k的意义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22．（10分）（2014 德州）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
考点： 切线的判定；勾股定理；圆周角定理．
分析： （1）①连接BD，先求出AC，在RT△ABC中，运用勾股定理求AC，②由CD平分∠ACB，得出AD=BD，所以RT△ABD是直角等腰三角形，求出AD，②连接OC，
（2）由角的关系求出∠PCB=∠ACO，可得到∠OCP=90°，所以直线PC与⊙O相切．
解答： 解：（1）①如图，连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在RT△ABC中，
AC= = =8，
②∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD，
∴Rt△ABD是直角等腰三角形，
∴AD= AB= ×10=5 cm；
（2）直线PC与⊙O相切，
理由：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠CAO=∠OCA，
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ECB，
∴∠PCB=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，
OC⊥PC，
∴直线PC与⊙O相切．
点评： 本题主要考查了切线的判定，勾股定理和圆周角，解题的关键是运圆周角和角平分线及等腰三角形正确找出相等的角．
23．（10分）（2014 德州）问 题背景：
如图1：在四边形ABC中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF ；
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： 问题背景：根据全等三角形对应边相等解答；
探索延伸：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可；
实际应用：连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠EAF= ∠AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可．
解 答： 解：问题背景：EF=BE+DF；
探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．
证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD－∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF =BE+DF，
∴EF=BE+DF；
实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相 交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+（90°－70°）=140°，
∠EOF=70°，
∴∠EAF= ∠AOB，
又∵OA=OB，
∠OAC+∠OBC=（90°－30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF= AE+BF成立，
即EF=1.5×（60+80）=210海里．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点．
24．（12分）（2014 德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）根据A的坐标，即可求得OA的长，则B、C的坐标即可求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）分点A为直角顶点时，和C的直角顶点两种情况讨论，根据OA=OC，即可列方程求解；
（3）据垂 线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短，根据等腰三角形的性质，D是AC的中点，则DF= OC，即可求得P的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得横坐标，得到P的坐标．
解答： 解：（1）由A（4，0），可知OA=4，
∵OA=OC=4OB，
∴OA=OC=4，OB=1，
∴C（0，4），B （－1，0）．
设抛物线的解析式是y=ax2+bx+x，
则 ，
解得： ，
则抛物线的解析式是：y=－x2+3x+4；
（2）存在．
第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．
∵∠ACP1=90°，
∴∠MCP1+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP1=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠MCP1=∠OAC=45°，
∴∠MCP1=∠MP1C，
∴MC=MP1，
设P（m，－m2+3m+4），则m=－m2+3m+4－4，
解得：m1=0（舍去），m2=2．
∴－m2+3m+4=6，
即P（2，6）．
第二种情况，当(转自：wWw.DXf5.Com 东星 资源网:年德州中考数学试题)点A为 直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．
∴P2N‖x轴，
由∠CAO=45°，
∴∠OAP=45°，
∴∠FP2N=45°，AO=OF．
∴P2N=NF，
设P2（n，－n2+3n+4），则n=（－n2+3n+4）－1，
解得：n1=－2，n2=4（舍去），
∴－n2+3n+4=－6，
则P2的坐标是（－2，－6）．
综上所述，P的坐标是（2，6）或（－2，－6）；
（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，
则AC= =4 ，
根据等腰三角形的性质，D是AC的中点．
又∵DF‖OC，
∴DF= OC=2，
∴点P的纵坐标是2．
则－x2+3x+1=2，
解得：x= ，
∴当EF最短时，点P的坐标是：（ ，0）或（ ，0）．
点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，以及等腰三角形的性质．在求有关动点问题时要注意意分情况讨论结果．
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