梅州中考数学试题
梅州市 2015 年中考数学试卷 一、 选择题： 每小题 3 分， 共 21 分， 每小题给出四个答案， 其中只有一个是正确的. 1的相反数是（ ） 1．2A． 2 B． ??2 C．21 D．21?? 考点： 相反数．分析： 根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答． . 解答： 解：的相反数是－． 故选 D． 点评： 本题考查了相反数的定义， 是基础题， 熟记概念是解题的关键． 2． 下图所示几何体的左视图为（ ） DCBA第2题图 考点： 简单组合体的三视图．分析： 根据从左边看得到的图形是左视图， 可得答案． 解答： 解： 从左边看第一层一个小正方形， 第二层一个小正方形， 第三层一个小正方形， 故选： A． 点评： 本题考查了简单组合体的三视图， 从左边看看得到的图形是左视图． 3． 下列计算正确的是（ ） A．xxx???? B．xxx???? C．. 32632623)(xx?? D．339xxx???? 考点： 同底数幂的除法； 合并同类项； 同底数幂的乘法； 幂的乘方与积的乘方．专题： 计算题． 分析： A、 原式不能合并， 错误； B、 原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果， 即可做出判断； C、 原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果， 即可做出判断； D、 原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果， 即可做出判断． 解答： 解： A、 原式不能合并， 错误； B、 原式=x5， 错误； C、 原式=x6， 正确； D、 原式=x6， 错误． 故选 C． . 点评： 此题考查了同底数幂的除法， 合并同类项， 同底数幂的乘法， 以及幂的乘方与积的乘方， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4． 下列说法正确的是（ ） A． 掷一枚均匀的骰子， 骰子停止转动后， 6 点朝上是必然事件 B． 甲、 乙两人在相同条件下各射击 10 次， 他们的成绩平均数相同， 方差分别是4 . 02??甲S，6 . 02??乙S， 则甲的射击成绩较稳定 C． 明天降雨的概率为2D． 了解一批电视机的使用寿命， 适合用普查的方式 考点： 方差； 全面调查与抽样调查； 随机事件； 概率的意义．分析： 利用事件的分类、 普查和抽样调查的特点、 概率的意义以及方差的性质即可作出判断． 解答： 解： A、 掷一枚均匀的骰子， 骰子停止转动后， 6 点朝上是可能事件， 此选项错误； B、 甲、 乙两人在相同条件下各射击 10 次， 他们的成绩平均数相同， 方差分别是 S 甲2=0.4， S 乙2=0.6， 则甲的射击成绩较稳定， 此选项正确； 1 ， 表示明天有半天都在降雨 . C、 明天降雨的概率为 ， 表示明天有可能降雨， 此选项错误； D、 解一批电视机的使用寿命， 适合用抽查的方式， 此选项错误； 故选 B． 点评： 本题主要考查了方差、 全面调查与抽样调查、 随机事件以及概率的意义等知识， 解答本题的关键是熟练掌握方差性质、 概率的意义以及抽样调查与普查的特点， 此题难度不大． 5． 下列命题正确的是（ ） A． 对角线互相垂直的四边形是菱形 B． 一组对边相等， 另一组对边平等的四边形是平行四边形 C． 对角线相等的四边形是矩形 D． 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 考点： 命题与定理．分析： 根据矩形、 菱形、 平行四边形的知识可判断出各选项， 从而得出答案． 解答： 解： A、 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形， 故本选项错误； B、 一组对边相等， 另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形， 也可能是等腰梯形， 故本选项错误； C、 对角线相等的四边形不一定是矩形， 例如等腰梯形， 故本选项错误； D、 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形， 故本选项正确． 故选 D． . 点评： 本题主要考查了命题与定理的知识， 解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、 菱形以及矩形的性质，此题难度不大． 6． 如图， AB 是⊙O 的弦， AC 是⊙Or 切线， A 为切点， BC 经过圆心.若 B=20 ， 则 C 的大小等于（ ） A． 20 B． 25 C． 40 D． 50 考点： 切线的性质．分析： 连接 OA， 根据切线的性质， 即可求得 C 的度数． 解答： 解： 如图， 连接 OA， . ∵AC 是⊙O 的切线， OAC=90 ， ∵OA=OB， B= OAB=20 ， AOC=40 ， C=50 ． ACBO 故选： D． 点评： 本题考查了圆的切线性质， 以及等腰三角形的性质， 掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键． xxy2????.有下列四个结论： ①它的对称轴是直线2222xxy??????， 则当12xx ??时， 有12yy ??； ③它的图象与 x 轴的两个交点是（0， 0） 和（2， 0）； ④当20???? x时，0??y.其中正确的结论的个数为（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考点： 二次函数的性质．分析： 利用配方法求出二次函数对称轴， 再求出图象与 x 轴交点坐标， 进而结合二次函数性质得出答案． 解答： 解： y=－ x2+2x=－ （x－ 1）②∵直线 x=1 两旁部分增减性不一样， 设 y1=－ x12+2x1， y2=－ x22+2x2， 则当 x2＞x1时， 有 y2＞y1， 错误； ③当 y=0， 则 x（－ x+2） =0， 解得： x1=0， x2=2， 故它的图象与 x 轴的两个交点是（0， 0） 和（2， 0）， 正确； ④∵a=－ 1＜0， 抛物线开口向下， ∵它的图象与 x 轴的两个交点是（0， 0） 和（2， 0）， 当 0＜x＜2 时， y＞0， 正确． 故选： C． 7． 对于二次函数2??1??x； ②设12112xxy??????，2. 2+1， 故①它的对称轴是直线 x=1， 正确； 点评： 此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法， 得出抛物线的对称轴和其交点坐标是解题关键． 二、 填空题： 每小题 3 分， 共 24 分． 1????xy的自变量 x 的取值范围是 ． 8． 函数考点： 函数自变量的取值范围； 二次根式有意义的条件．分析： 根据二次根式的意义， 被开方数不能为负数， 据此求解． 解答： 解： 根据题意， 得 x 0． 故答案为： x 0． 点评： 函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1） 当函数表达式是整式时， 自变量可取全体实数； （2） 当函数表达式是分式时， 考虑分式的分母不能为 0； （3） 当函数表达式是二次根式时， 被开方数为非负数． ?? mm3 ． 考点： 提公因式法与公式法的综合运用．专题： 压轴题． 分析： 先提取公因式 m， 再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 解答： 解： m3－ m， =m（m2－ 1）， =m（m+1）（m－ 1）． 点评： 本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式， 关键在于需要进行二次分解因式． 10． 据统计， 2014 年我市常住人口约为 4320000 人， 这个数用科学计数法表示为 ． 考点： 科学记数法 表示较大的数．分析： 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式， 其中 1 |a|＜10， n 为整数． 确定 n 的值时， 要看把原数变成a 时， 小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 当原数绝对值大于 10 时， n 是正数； 当. 9． 分解因式：??. . 原数的绝对值小于 1 时， n 是负数． 确定 a 10n（1 |a|＜10， n 为整数） 中 n 的值， 由于 4320000 有 7 位， 所以可以确定 n=7－ 1=6． 解答： 解： 4320000=4.32 106， 故答案为： 4.32 106． 点评： 本题主要考查了科学计数法： 熟记规律： （1） 当|a| 1 时， n 的值为 a 的整数位数减 1； （2） 当|a|＜1时， n 的值是第一个不是 0 的数字前 0 的个数， 包括整数位上的 0 是解题的关键． 11． 一个学习兴趣小组有 4 名女生， 6 名男生， 现要从这 10 名学生中选出一人担任组长， 则女生当选组长的概率是 ． 考点： 概率公式．分析： 随机事件 A 的概率 P（A） =事件 A 可能出现的结果数 所有可能出现的结果数， 据此用女生的人数除以这个学习兴趣小组的总人数， 求出女生当选组长的概率是多少即可． 解答： 解： 女生当选组长的概率是： . 4 10=． 故答案为：． 点评： 此题主要考查了概率公式的应用， 要熟练掌握， 解答此题的关键是要明确： （1） 随机事件 A 的概率P（A） =事件 A 可能出现的结果数 所有可能出现的结果数． （2） P（必然事件） =1． （3） P（不可能事件）=0． 12． 已知： △ABC 中， 点 E 是 AB 边的中点， 点 F 在 AC 边上， 若以 A， E， F 为顶点的三角形与△ABC相似， 则需要增加的一个条件是 ． （写出一个即可） 考点： 相似三角形的判定．专题： 开放型． . 分析： 根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答； 由于没有确定三角形相似的对应角， 故应分类讨论． 解答： 解： 分两种情况： ①∵△AEF∽△ABC， AE： AB=AF： AC， 即 1： 2=AF： AC， AF= AC； ②∵△AFE∽△ACB， AFE= ABC． 要使以 A、 E、 F 为顶点的三角形与△ABC 相似， 则 AF= AC 或 AFE= ABC． 故答案为： AF= AC 或 AFE= ABC． 点评： 本题很简单， 考查了相似三角形的性质， 在解答此类题目时要找出对应的角和边． 13． 如图， 在□ABCD 中， BE 平分 ABC， BC=6， DE=2， 则□ABCD 的周长等于 ． 考点： 平行四边形的性质．分析： 根据四边形 ABCD 为平行四边形可得 AE‖BC， 根据平行线的性质和角平分线的性质可得出 ABE= AEB， 继而可得 AB=AE， 然后根据已知可求得结果． 解答： 解： ∵四边形 ABCD 为平行四边形， AE‖BC， AD=BC， AD=BC， AEB= EBC， ∵BE 平分 ABC， ABE= EBC， ABE= AEB， AB=AE， AE+DE=AD=BC=6， AE+2=6， AE=4， AB=CD=4， ??ABCD 的周长=4+4+6+6=20， 故答案为： 20． 点评： 本题考查了平行四边形的性质， 解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出 ABE= AEB． 14． 如图， 将矩形纸片 ABCD 折叠， 使点 A 与点 C 重合， 折痕为 EF， 若 AB=4， BC=2， 那么线段 EF 的长为 ． . 考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 如图， AC 交 EF 于点 O， 由勾股定理先求出 AC 的长度， 根据折叠的性质可判断出 RT△EOC∽RT△ABC， 从而利用相似三角形的对应边成比例可求出 OE， 再由 EF=2OE 可得出 EF 的长度 解答： 解： 如图所示， AC 交 EF 于点 O， 由勾股定理知 AC=2， 又∵折叠矩形使 C 与 A 重合时有 EF AC， 则 Rt△AOE∽Rt△ABC， . ， OE= 故 EF=2OE=． ． 故答案为：第13题图EDCBA第14题图EFCDBA 点评： 此题考查了翻折变换、 勾股定理及矩形的性质， 难度一般， 解答本题的关键是判断出 RT△AOE∽RT△ABC， 利用相似三角形的性质得出 OE 的长． 1??????????nnnn1755331??考点： 分式的加减法．专题： 计算题． 分析： 已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算， 根据题意确定出 a 与 b 的值即可； 原式利用拆项法变形， 计算即可确定出 m 的值． 15． 若1212) 112)(112 (1??ba， 对任意自然数 n 都成立， 则??a ，??b ； 计算：????????????????????2119m ． . 解答： 解：=+=， 可得 2n（a+b） +a－ b=1， 即， 解得： a= ， b=－； m= （1－+ －+ +－） = （1－） =， 故答案为：； －；． 点评： 此题考查了分式的加减法， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 三、 解答下列各题： 本大题有 9 小题， 共 75 分， 解答应写文字说明、 推理过程或演算步骤. 16．（7 分） 在 全民读书月 活动中， 小明调查了班级里 40 名同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图.请根据相关信息，解答下列问题： （直接填写结果） （1） 这次调查获取的样本数据的众数是 ； （2） 这次调查获取的样本数据的中位数是 ； （3） 若该校共有学生 1000 人， 根据样本数据， 估计本学期计划购买课外书花费 50 元的学生有 人． 考点： 条形统计图； 用样本估计总体； 中位数； 众数．分析： （1） 众数就是出现次数最多的数， 据此即可判断； （2） 中位数就是大小处于中间位置的数， 根据定义判断； （3） 求得调查的总人数， 然后利用 1000 乘以本学期计划购买课外书花费 50 元的学生所占的比例即可求解． 解答： 解： （1） 众数是： 30 元， 故答案是： 30 元； （2） 中位数是： 50 元， 故答案是： 50 元； （3） 调查的总人数是： 6+12+10+8+4=40（人）， . 12108642010080503020人数费用/元 则估计本学期计划购买课外书花费 50 元的学生有： 1000 =250（人）． 故答案是： 250． 点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用， 读懂统计图， 从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 1(3228??????????17． （7 分） 计算：01) 22015()3??. 考点： 实数的运算； 零指数幂； 负整数指数幂．专题： 计算题． . 分析： 原式第一项化为最简二次根式， 第二项利用绝对值的代数意义化简， 第三项利用负整数指数幂法则计算， 最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果． 解答： 解： 原式=2+3－ 2－ 3－ 1=－ 1． 点评： 此题考查了实数的运算， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2????18． （7 分） 已知2?????? ba， 求代数式ababa2)2 () 1(????的值. 考点： 整式的混合运算 化简求值．专题： 计算题． 分析： 原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算， 将已知等式代入计算即可求出值． 解答： 解： 原式=a2－ 2a+1+2ab+b2+2a=（a+b）把 a+b=－代入得： 原式=2+1=3． 点评： 此题考查了整式的混合运算－ 化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19． （7 分） 已知关于 x 的方程 x2+2x+a－ 2=0 （1） 若该方程有两个不相等的实数根， 求实数 a 的取值范围； （2） 若该方程的一个根为 1， 求 a 的值及该方程的另一根． . 2+1， 考点： 根的判别式； 一元二次方程的解； 根与系数的关系．分析： （1） 关于 x 的方程 x2－ 2x+a－ 2=0 有两个不相等的实数根， 即判别式△=b2－ 4ac＞0． 即可得到关于a 的不等式， 从而求得 a 的范围． （2） 设方程的另一根为 x1， 根据根与系数的关系列出方程组， 求出 a 的值和方程的另一根． 解答： 解： （1） ∵b2－ 4ac=（－ 2）解得： a＜3． a 的取值范围是 a＜3； . 2－ 4 1 （a－ 2） =12－ 4a＞0， （2） 设方程的另一根为 x1， 由根与系数的关系得： ， 解得：， 则 a 的值是－ 1， 该方程的另一根为－ 3． 点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式， 一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1） △＞0方程有两个不相等的实数根； （2） △=0方程有两个相等的实数根； （3） △＜0方程没有实数根． 20．（9 分） 如图， 已知△ABC． 按如下步骤作图： ①以 A 为圆心， AB 长为半径画弧； ②以 C 为圆心， CB长为半径画弧， 两弧相交于点 D； ③连结 BD， 与 AC 交于点 E， 连结 AD， CD． （1） 求证： △ABC≌△ADC； （2） 若 BAC=30 ， BCA=45 ， AC=4， 求 BE 的长． BDECA 考点： 全等三角形的判定与性质； 作图 复杂作图．分析： （1） 利用 SSS 定理证得结论； （2） 设 BE=x， 利用特殊角的三角函数易得 AE 的长， 由 BCA=45 易得 CE=BE=x， 解得 x， 得 CE 的长． 解答： （1） 证明： 在△ABC 与△ADC 中， . ， △ABC≌△ADC（SSS）； （2） 解： 设 BE=x， ∵ BAC=30 ， ABE=60 ， AE=tan60 x=∵△ABC≌△ADC， CB=CD， BCA= DCA， ∵ BCA=45 ， BCA= DCA=90 ， CBD= CDB=45 ， CE=BE=x， x+x=4， x=2－ 2， BE=2－ 2． x， 点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质， 特殊角的三角函数， 利用方程思想， 综合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键． 21． （9 分） 九年级数学兴趣小组经过市场调查， 得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表： 售价（元/件） 100 110 月销量（件） 200 180 已知该运动服的进价为每件 60 元， 设售价为 x 元． （1） 请用含 x 的式子表示： ①销售该运动服每件的利润是 元； ②月销量是 件； （直接写出结果） （2） 设销售该运动服的月利润为 y 元， 那么售价为多少时， 当月的利润最大， 最大利润是多少？ 120 160 130 140 考点： 二次函数的应用．分析： （1） 根据利润=售价－ 进价求出利润， 运用待定系数法求出月销量； （2） 根据月利润=每件的利润 月销量列出函数关系式， 根据二次函数的性质求出最大利润． 解答： 解： （1） ①销售该运动服每件的利润是（x－ 60） 元； ②设月销量 W 与 x 的关系式为 w=kx+b， . 由题意得，， 解得，， W=－ 2x+400； （2） 由题意得， y=（x－ 60）（－ 2x+400） =－ 2x2+520x－ 24000 =－ 2（x－ 130） 售价为 130 元时， 当月的利润最大， 最大利润是 9800 元． 2+9800， 点评： 本题考查的是二次函数的应用， 掌握待定系数法求函数解析式和二次函数的性质以及最值的求法是解题的关键． 22． （9 分） 如图， 直线 l 经过点 A（4， 0）， B（0， 3）． （1） 求直线 l 的函数表达式； （2） 若圆 M 的半径为 2， 圆心 M 在 y 轴上， 当圆 M 与直线 l 相切时， 求点 M 的坐标． yxO 考点： 切线的性质； 待定系数法求一次函数解析式．分析： （1） 把点 A（4， 0）， B（0， 3） 代入直线 l 的解析式 y=kx+b， 即可求出结果． （2） 先画出示意图， 在 Rt△ABM 中求出 sin BAM， 然后在 Rt△AMC 中， 利用锐角三角函数的定义求出AM， 继而可得点 M 的坐标． 解答： 解： （1） ∵直线 l 经过点 A（4， 0）， B（0， 3）， 设直线 l 的解析式为： y=kx+b， . ． 直线 l 的解析式为： y=－x+3； （2） ∵直线 l 经过点 A（4， 0）， B（0， 3）， OA=4， OB=3， AB=5， ①如图所示， 此时⊙M 与此直线 l 相切， 切点为 C， 连接 MC， 则 MC AB， 在 Rt△ABM 中， sin BAM== ， 在 Rt△AMC 中， ∵sin MAC=， AM===4， 点 M 的坐标为（0， 0）． ②此时⊙M"与此直线 l 相切， 切点为 C"， 连接 M"C"， 则 M"C" AB， M C B= MCB=90 ， 在△M C B 与△CMB 中， ， BM"=BM=3， 点 M"的坐标为（0， 6）． 综上可得： 当⊙M 与此直线 l 相切时点 M 的坐标是（0， 0）， （0， 6）． 点评： 本题考查了用待定系数法求函数的解析式， 切线的性质， 解答本题的关键是画出示意图， 熟练掌握切线的性质及锐角三角函数的定义， 难度一般． 23．（10 分） 在 Rt△ABC 中， A=90 ， AC=AB=4， D， E 分别是 AB， AC 的中点． 若等腰 Rt△ADE 绕点 A 逆时针旋转， 得到等腰 Rt△AD1E1， 设旋转角为 （0 180 ）， 记直线 BD1与 CE1的交点为 P． （1） 如图 1， 当 =90 时， 线段 BD1的长等于 ， 线段 CE1的长等于 ； （直接填写结果） （2） 如图 2， 当 =135 时， 求证： BD1= CE1， 且 BD1 CE1； （3） ①设 BC 的中点为 M， 则线段 PM 的长为 ； ②点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值为 ． （直接填写结果） E1BCED（D1）APE1BCEDD1A 考点： 几何变换综合题．分析： （1） 利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出 BD1的长和 CE1的长； （2） 根据旋转的性质得出， D1AB= E1AC=135 ， 进而求出△D1AB≌△E1AC（SAS）， 即可得出答案； . （3） ①直接利用直角三角形的性质得出 PM= BC 得出答案即可； ②首先作 PG AB， 交 AB 所在直线于点 G， 则 D1， E1在以 A 为圆心， AD 为半径的圆上， 当 BD1所在直线与⊙A 相切时， 直线 BD1与 CE1的交点 P 到直线 AB 的距离最大， 此时四边形 AD1PE1是正方形， 进而求出 PG 的长． 解答： 解： （1） ∵ A=90 ， AC=AB=4， D， E 分别是边 AB， AC 的中点， AE=AD=2， ∵等腰 Rt△ADE 绕点 A 逆时针旋转， 得到等腰 Rt△AD1E1， 设旋转角为 （0＜ 180 ）， 当 =90 时， AE1=2， E1AE=90 ， BD1==2， E1C==2； 故答案为： 2 ， 2； （2） 证明： 当 =135 时， 如图 2， ∵Rt△AD1E 是由 Rt△ADE 绕点 A 逆时针旋转 135 得到， AD1=AE1， D1AB= E1AC=135 ， 在△D1AB 和△E1AC 中 ∵， △D1AB≌△E1AC（SAS）， BD1=CE1， 且 D1BA= E1CA， 记直线 BD1与 AC 交于点 F， BFA= CFP， CPF= FAB=90 ， BD1 CE1； （3） 解： ①∵ CPB= CAB=90 ， BC 的中点为 M， PM= BC， PM==2， 故答案为： 2②如图 3， 作 PG AB， 交 AB 所在直线于点 G， ∵D1， E1在以 A 为圆心， AD 为半径的圆上， 当 BD1所在直线与⊙A 相切时， 直线 BD1与 CE1的交点 P 到直线 AB 的距离最大， ； 此时四边形 AD1PE1是正方形， PD1=2， 则 BD1==2， 故 ABP=30 ， 则 PB=2+2故点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值为： PG=1+故答案为： 1+． ， ． 点评： 此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识， 根据题意得出 PG 的最长时 P 点的位置是解题关键． 24．（10 分） 如图， 过原点的直线xky1??和xky2??与反比例函数xy1??的图象分别交于两点 A， C 和 B，D， 连结 AB， BC， CD， DA． （1） 四边形 ABCD 一定是 四边形； （直接填写结果） （2） 四边形 ABCD 可能是矩形吗？ 若可能， 试求此时1k 和2 k 之间的关系式； 若不可能， 说明理由； （3）设 P （1x ，1y ）， Q （2 x ，2 y ） （012???? xx）是函数xy1??图象上的任意两点，221yya????，212xxb????，试判断a， b 的大小关系， 并说明理由． yxDCBAOyxO 考点： 反比例函数综合题．. 分析： （1） 由直线 y=k1x 和 y=k2x 与反比例函数 y= 的图象关于原点对称， 即可得到结论． （2） 联立方程求得 A、 B 点的坐标， 然后根据 OA=OB， 依据勾股定理得出 =， 两边平分得+k1=+k2， 整理后得（k1－ k2）（k1k2－ 1） =0， 根据 k1 k2， 则 k1k2－ 1=0， 即可求得； （3） 由 P（x1， y1）， Q（x2， y2）（x2＞x1＞0） 是函数 y= 图象上的任意两点， 得到 y1=， y2=， 求出a===， 得到 a－ b=－==＞0， 即可得到结果． 解答： 解： （1） ∵直线 y=k1x 和 y=k2x 与反比例函数 y= 的图象关于原点对称， OA=OC， OB=OD， 四边形 ABCD 是平行四边形； 故答案为： 平行； （2） 解： ∵正比例函数 y=k1x（k1＞0） 与反比例函数 y= 的图象在第一象限相交于 A， k1x= ， 解得 x=（因为交于第一象限， 所以负根舍去， 只保留正根） 将 x=带入 y=k1x 得 y=， 故 A 点的坐标为（，） 同理则 B 点坐标为（，）， 又∵OA=OB， =， 两边平分得得+k1=+k2， 整理后得（k1－ k2）（k1k2－ 1） =0， ∵k1 k2， 所以 k1k2－ 1=0， 即 k1k2=1； （3） ∵P（x1， y1）， Q（x2， y2）（x2＞x1＞0） 是函数 y= 图象上的任意两点， y1=， y2=， a===， a－ b=－==， ∵x2＞x1＞0， ＞0， x1x2＞0， （x1+x2） ＞0， ＞0， a－ b＞0， a＞b． 点评： 本题考查了反比例函数的性质， 平行四边形的判定， 矩形的判定和性质， 比较代数式的大小， 掌握反比例函数图形上点的坐标的特征是解题的关键．
梅州中考数学试题
2014年广东省梅州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：每小题3 分，共15 分，每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的. 考点：有理数大小比较． 专题： 常规题型． 分析： 用数轴法，将各选项数字标于数轴之上即可解本题． 解答： 解：画一个数轴，将A=0、B=2、C=2、D= 标于数轴之上， 可得： 点评：本题考查了数轴法比较有理数大小的方法，牢记数轴法是解题的关键． 抛出一枚硬币，落地后正面朝上考点： 随机事件． 分析： 必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可判断． 解答： 解：A．是不可能事件，故不符合题意； B．是随机事件，故不符合题意； C．是必然事件，故符合题意； D．是随机事件，故不符合题意． 点评：该题考查的是对必然事件，随机事件，不可能事件的概念的理解．用到的知识点为：必然事件 指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定 事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 考点：中心对称图形． 分析： 根据中心对称图形的定义旋转180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断得 解答：解：A、此图形旋转180后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，故此选项正确； B、此图形旋转180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，故此选项错误； C、此图形旋转180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，故此选项错误； D、此图形旋转180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，故此选项错误． 点评：此题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． 3x＞3y考点： 不等式的性质． 分析： 根据不等式的基本性质，进行选择即可． 解答： 解：A、根据不等式的性质1，可得x3＞y3，故A 正确； B、根据不等式的性质2，可得 正确；C、根据不等式的性质1，可得x+3＞y+3，故C 正确； D、根据不等式的性质3，可得3x＜3y，故D 错误； 点评：本题考查了不等式的性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 分）（2014??梅州）如图，把一块含有45的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果1=20，那么2 的度数是（ 30考点： 平行线的性质． 分析： 根据两直线平行，内错角相等求出3，再求解即可． 解答： 解：直尺的两边平行，1=20， 3=1=20， 2=4520=25． 点评：本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 二、填空题：每小题3 分，共24 分）（2014??梅州）4的平方根是 考点：平方根． 专题： 计算题． 分析： 根据平方根的定义，求数a 的平方根，也就是求一个数x，使得x 就是a的平方根， 由此即可解决问题． 解答： 的平方根是2．故答案为：2． 点评： 本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是0； 负数没有平方根． 考点：平方差公式． 分析： 根据a =（a+b）（ab），然后代入求解．解答： 故答案是：12．点评： 本题重点考查了用平方差公式．平方差公式为（a+b）（ab）=a ．本题是一道较简单的题目． 考点：多边形内角与外角． 分析： 根据多边形的内角和公式与外角和定理列式进行计算即可求解． 解答： 解：设这个多边形是n 故答案为：四．点评： 本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记内角和公式，外角和与多边形的边数无关， 任何多边形的外角和都是360是解题的关键． 分）（2014??梅州）梅陇高速公路是广东梅州至福建龙岩的高速公路，总投资59.57亿元．那么 数据5957000000 用科学记数法表示为 5.95710 考点：科学记数法—表示较大的数． 分析： 科学记数法的表示形式为a10 的形式，其中1|a|＜10，n为整数．确定n 于5957000000有10 位，所以可以确定n=101=9． 解答： 957000 000=5.95710 点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a 值是关键．10．（3 分）（2014??梅州）写出一个在三视图中俯视图与主视图完全相同的几何体 球或正方体 考点：简单几何体的三视图． 专题： 开放型． 分析： 主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形． 解答： 解：球的俯视图与主视图都为圆； 正方体的俯视图与主视图都为正方形． 故答案为：球或正方体（答案不唯一）． 点评： 考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 11．（3 分）（2014??梅州）如图，把 ABC 交AC于点D．若A′DC=90，则A= 55 考点：旋转的性质． 分析： 根据题意得出ACA′=35，则A′=9035=55，即可得出A 的度数． 解答： A′DC=90，ACA′=35，则A′=9035=55， 则A=A′=55． 故答案为：55． 点评： 此题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理等知识，得出A′的度数是解题关键． 12．（3 分）（2014??梅州）已知直线y=kx+b，若k+b=5，kb=6，那么该直线不经过第 象限．考点： 一次函数图象与系数的关系． 分析： 首先根据k+b=5、kb=6 得到k、b 的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限， 进而求解即可． 解答： 直线y=kx+b经过二、三、四象限，即不经过第一象限． 故答案为一． 点评： 本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据k、b 之间的关系确定其符号． 13．（3 分）（2014??梅州）如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形 OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1 次碰到矩形的边时的点为P 的坐标是（8，3） 2014的坐标是 （5，0） 考点：规律型：点的坐标． 分析： 根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6 次反弹为一个循环组依次循环，用2014 除以 6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 解答： 解：如图，经过6 次反弹后动点回到出发点（0，3）， 次碰到矩形的边时，点P的坐标为：（8，3）； 20146=335…4， 第2014次碰到矩形的边时为第336 的坐标为（5，0）．故答案为：（8，3），（5，0）． 点评： 此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6 次反弹为一个循环组依次循环是解题 的关键． 三、解答下列各题：本题有10 小题，共81 分，解答应写文(本文来自：Www.dXF5.com 东星资源 网:
梅州中考数学试题)字说明、推理过程或演算步骤. 14．（7 分）（2014??梅州）计算：（π1） 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 专题： 计算题． 分析： 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用负指数幂 法则计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果． 解答： 解：原式=1+2 3+2 点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15．（7 分）（2014??梅州）已知反比例函数y= 的图象经过点M（2，1） （1）求该函数的表达式； 的取值范围（直接写出结果）．考点： 待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质． 分析： （1）利用待定系数法把（2，1）代入反比例函数y= 中可得k 的值，进而得到解析式； （2）根据y= 可得x= ，再根据条件2＜x＜4 可得2＜ ＜4，再解不等式即可． 解答： 解：（1）反比例函数y= 的图象经过点M（2，1）， 点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的性质，关键是正确确定函 数解析式． 16．（7 分）（2014??梅州）如图，在Rt ABC 中，B=90，分别以A、C 为圆心，大于 AC 径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE，则： （1）ADE= 90 EC；（填“=”“＞”或“＜”）（3）当AB=3，AC=5 ABE的周长= 考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质． 分析： （1）由作图可知，MN 是线段AC 的垂直平分线，故可得出结论； （2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论； （3）先根据勾股定理求出BC 的长，进而可得出结论． 解答： 解：（1）由作图可知，MN 是线段AC 的垂直平分线， ADE=90． 故答案为：90； （2）MN 是线段AC 的垂直平分线， AE=EC． 故答案为：=； （3）在Rt ABC 中，B=90，AB=3，AC=5， BC= AE=CE，ABE 的周长=AB+BC=3+4=7． 故答案为：7． 点评： 本题考查的是作图基本作图，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键． 17．（7 分）（2014??梅州）某县为了解七年级学生对篮球、羽毛球、乒乓球、足球（以下分别用A、B、 表示）这四种球类运动的喜爱情况（每人只能选一种），对全县七年级学生进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图（尚不完整）． 请根据以上信息回答： （1）本次参加抽样调查的学生有 600 （2）若全县七年级学生有4000人，估计喜爱足球（D）运动的人数是 1600 （3）在全县七年级学生中随机抽查一位，那么该学生喜爱乒乓球（C）运动的概率是0.2 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式． 分析： （1）利用喜欢羽毛球的人数以及所占百分比，即可得出样本容量； （2）利用喜爱足球（D）运动占样本总数的百分比，即可估计出喜爱足球（D）运动的人数； （3）利用样本中喜爱乒乓球（C）运动占样本总数的百分比，即可求出喜爱乒乓球（C）运动 的概率． 解答： 解：（1）本次参加抽样调查的学生有：6010%=600（人）； 故答案为：600； （2）若全县七年级学生有4000 人，估计喜爱足球（D）运动的人数是：400040%=1600（人）， 故答案为：1600； （3）样本中喜爱乒乓球（C）运动的人数为：60018060240=120（人）， 喜爱乒乓球（C）运动所占百分比为： 100%=20%， 在全县七年级学生中随机抽查一位，那么该学生喜爱乒乓球（C）运动的概率是：20%=0.2． 故答案为：0.2． 点评： 此题主要考查了条形统计图的应用利用样本估计总体等知识，利用图形得出正确信息求出样本 容量是解题关键． 18．（8 分）（2014??梅州）如图，在 ABO 中，OA=OB，C 是边AB 的中点，以O 相切；（2）若AOB=120，AB=4 的面积．考点： 切线的判定． 分析： （1）首先连接OC，然后由OA=OB，C 是边AB 的中点，根据三线合一的性质，可证得AB 相切；（2）首先求得OC 的长，继而可求得O 的面积． 解答： （1）证明：连接OC， ABO中，OA=OB，C 是边AB 的中点， OCAB， 相切；（2）解：OA=OB，AOB=120， A=B=30， AB=4 是边AB的中点， AC= AB=2 点评：此题考查了切线的判定、等腰三角形的性质以及三角函数的性质．此题难度不大，注意掌握辅 助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 19．（8 分）（2014??梅州）已知关于x 的方程x 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 考点： 根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系． 分析： +ax+a2=0得到a 的值，再根据根与系数的关系求出另一根； （2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答． 解答： +4＞0，不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 点评： 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用． 20．（8 分）（2014??梅州）某校为美化校园，计划对面积为1800m 的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2 倍，并且在独立完成 面积为400m （2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25 万元，要使这次的绿化总费用不超 万元，至少应安排甲队工作多少天？考点： 分式方程的应用；一元一次不等式的应用． 分析： （1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm 区域的绿化时，甲队比乙队少用4 天，列出方程，求解即可； （2）设至少应安排甲队工作x 天，根据这次的绿化总费用不超过8 万元，列出不等式，求解 即可． 解答： 解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm 解得：x=50经检验x=50 是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是502=100（m （2）设至少应安排甲队工作y天，根据题意得： 0.4y+ 0.258， 解得：y10， 答：至少应安排甲队工作10 点评：此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分 式方程时要注意检验． 21．（8 分）（2014??梅州）如图，在正方形ABCD 是AB上一点，F 是AD 延长线上一点，且 DF=BE． （1）求证：CE=CF； 在AD上，且GCE=45，则GE=BE+GD 成立吗？为什么？ 考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题；压轴题；探究型． 分析： （1）由DF=BE，四边形ABCD 为正方形可证 CEBCFD，从而证出CE=CF． （2）由（1）得，CE=CF，BCE+ECD=DCF+ECD 即ECF=BCD=90又GCE=45 所以可得GCE=GCF，故可证得 ECGFCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所 以可证出GE=BE+GD 成立． 解答： （1）证明：在正方形ABCD BC=CD，B=CDF，BE=DF，CBECDF（SAS）． CE=CF． （2）解：GE=BE+GD 成立． 理由是：由（1）得： CBECDF， BCE=DCF， BCE+ECD=DCF+ECD，即ECF=BCD=90， 又GCE=45，GCF=GCE=45． CE=CF，GCE=GCF，GC=GC， ECGFCG（SAS）． GE=GF． GE=DF+GD=BE+GD． 点评： 本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中 也是考查了通过全等找出和GE 相等的线段，从而证出关系是不是成立． 22．（10 分）（2014??梅州）如图，在Rt ABC 中，B=90，AC=60，AB=30．D 是AC 作FEAC，交AB于E．设CD=x，DF=y． 的函数关系式；（2）当四边形AEFD 为菱形时，求x DEF是直角三角形时，求x 考点：相似三角形的判定与性质；含30 度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质． 分析： （1）由已知求出C=30，列出y 的函数关系式；（2）由四边形AEFD 为菱形，列出方程y=60x DEF是直角三角形，列出方程60x=2y，与y= 解答：解：（1）在Rt ABC 中，B=90，AC=60，AB=30， C=30， CD=x，DF=y． （2）四边形AEFD为菱形， AD=DF， y=60x 方程组 解得x=40，当x=40 时，四边形AEFD 为菱形； （3）DEF 是直角三角形， FDE=90， FEAC， EFB=C=30， DFBC， DEF+DFE=EFB+DFE， DEF=EFB=30， EF=2DF， 60x=2y， x，组成方程组，得解得x=30， DEF是直角三角形时，x=30． 点评： 本题主要考查了含30角的直角三角形与菱形的知识，解本题的关键是找出x 23．（11分）（2014??梅州）如图，已知抛物线y= 轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C 三点的坐标； （2）若点M在抛物线上，使得 MAD 的面积与 CAD 的面积相等，求点M的坐标； （3）设点C 关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P 为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）令y=0，解方程 点坐标；令x=0，求出y=3，可确定C点坐标； （2）根据抛物线的对称性，可知在在x 轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角 轴上方，存在两个点，这两个点分别到x轴的距离等于点C 轴的距离；（3）根据梯形定义确定点P，如图所示：若BCAP 的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P 的坐标．解答： 点坐标为（4，0），D点坐标为（2，0），C 点坐标为（0，3）； MAD的面积与 CAD 的面积相等时，分两种情况： 轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1 对称， 轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x轴的距离等于点C （3）结论：存在．如图所示，在抛物线上有两个点P 满足题意： 若BCAP ABC，四边形ABCP 为梯形；若ABCP 点坐标为（4，0），B点坐标为（2，3）， 直线AB 的解析式为y= 点坐标（0，3）代入，得b=3，直线CP （6，6）．ABCP 为梯形．综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形； 的坐标为（2，0）或（6，6）．点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线与坐标轴的交点坐标求法，三角形 的面积，梯形的判定．综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题 的关键．