遵义市年中考数学试题
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贵州省遵义市2014年中考数学
一、（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2014 遵义）－3+（－5）的结果是（ ）
A． －2 B． －8 C． 8 D． 2
考点： 有理数的加法．
分析： 根据同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，可得答案．
解答： 解：原式=－（3+5）
=－8．
故选：B．
点评： 本题考查了有理数的加法，先确定和的符号，再进行绝对值得运算．
2．（3分）（2014 遵义）观察下列图形，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 中心对称图形
分析： 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
点评： 本题考查了中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）（2014 遵义）“着力扩大投资，突破重点项目建设”是遵义经济社会发展的主要任务之一．据统计，遵义市2013年全社会固定资产投资达1762亿元，把1762亿元这个数字用科学记数法表示为（ ）
A． 1762×108 B． 1.762×1010 C． 1.762×1011 D． 1.762×1012
考点： 科学记数法—表示较大的数．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：将1762亿用科学记数法表示为：1.762×1011．
故选：C．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2014 遵义）如图，直线l1‖l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（ ）
A． 30° B． 35° C． 36° D． 40°
考点： 平行线的性质．
分析： 过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，∠4=∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD=180°，然后计算即可得解．
解答： 解：如图，过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，
∴∠3=∠1，∠4=∠2，
∵l1‖l2，
∴AC‖BD，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∴∠3+∠4=125°+85°－180°=30°，
∴∠1+∠2=30°．
故选A．
点评： 本题考查了平行线的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
5．（3分）（2014 遵义）计算3x3 2x2的结果是（ ）
A． 5x5 B． 6x5 C． 6x6 D． 6x9
考点： 单项式乘单项式．
分析： 根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
解答： 解：3x3 2x2=6x5，
故选B．
点评： 本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．（3分）（2014 遵义）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 二次函数的图象；一次函数的图象．
分析： 本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．
解答： 解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b经过二、四象限，故A可排除；
B、二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B可排除；
C、二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b经过一、三，故C可排除；
正确的只有D．
故选：D．
点评： 此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数y =kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
7．（3分）（2014 遵义）有一组数据7、11、12、7、7、8、11．下列说法错误的是（ ）
A． 中位数是7 B． 平均数是9 C． 众数是7 D． 极差是5
考点： 极差；加权平均数；中位数；众数．
分析： 根据中位数、平均数、极差、众数的概念求解．
解答： 解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：7、7、7、8、11、11、12，
则中位数为：8，
平均数为： =9，
众数为：7，
极差为：12－7=5．
故选A．
点评： 本题考查了中位数、平均数、极差、众数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键．
8．（3分）（2014 遵义）若a+b=2 ，ab=2，则a2+b2的值为（ ）
A． 6 B． 4 C． 3 D． 2
考点： 完全平方公式．
分析： 利用a2+b2=（a+b）2－2ab代入数值求解．
解答： 解：a2+b2=（a+b）2－2ab=8－4=4，
故选：B．
点评： 本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是牢记完全平方公式，灵活运用它的变化式．
9．（3分）（2014 遵义）如图，边长为2的正方形ABCD中，P是CD的中点，连接AP并延长交BC的延长线于点F，作△CPF的外接圆⊙O，连接BP并延长交⊙O于点E，连接EF，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
考点： 相似三角形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
分析： 先求出CP、BF长，根据勾股定理求出BP，根据相似得出比例式，即可求出答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠PCF=90°，CD‖AB，
∵F为CD的中点，CD=AB=BC=2，
∴CP=1，
∵PC‖AB，
∴△FCP∽△FBA，
∴ = = ，
∴BF=4，
∴CF=4－2=2，
由勾股定理得：BP= = ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCP=∠PCF=90°，
∴PF是直径，
∴∠E=90°=∠BCP，
∵∠PBC=∠EBF，
∴△BCP∽△BEF，
∴ = ，
∴ = ，
∴EF= ，
故选D．
点评： 本题考查了正方形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力，题目比较好，难度适中．
10．（3分）（2014 遵义）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC= ，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（ ）
A． 2－ B． C． －1 D． 1
考点： 旋转的性质．菁优网版权所有
分析： 连接BB′，根据旋转的性质可得AB=AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′，延 长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD－C′D计算即可得解．
解答： 解：如图，连接BB′，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴AB=BB′，
在△ABC′ 和△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠ABC′=∠B′BC′，
延长BC′交AB′于D，
则BD⊥AB′，
∵∠C=90°，AC=BC= ，
∴AB= =2，
∴BD=2× = ，
C′D= ×2=1，
∴BC′=BD－C′D= －1．
故选C．
点评： 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．
二、（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）（2014 遵义） + = 4 ．
考点： 二次根式的加减法．菁优网版权所有
分析： 先化简，然后合并同类二次根式．
解答： 解：原式=3 + =4 ．
故答案为；4 ．
点评： 本题考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的化简是解答本题的关键．
12．（4分）（2014 遵义）正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是 18 ．
考点： 多边形内角与外角．菁优网版权所有
分析： 根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
解答： 解：因为外角是20度，360÷20=18，则这个多边形是18边形．
点评： 根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
13．（4分）（2014 遵义）计算： + 的结果是 －1 ．
考点： 分式的加减法．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式变形后利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
解答： 解：原式= －
=
=－1．
故答案为：－1．
点评： 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（4分）（2014 遵义）关于x的一元二次方程x2－3x+b=0有两个不相等的实数根，则b的取值范围是 b＜ ．
考点： 根的判别式．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 根据判别式的意义得到△=（－3）2－4b＞0，然后解不等式即可．
解答： 解：根据题意得△=（－3）2－4b＞0，
解得b＜ ．
故答案为b＜ ．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2－4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
15．（4分）（2014 遵义）有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是 60π cm2．（结果保留π）
考点： 圆锥的计算．菁优网版权所有
分析： 先根据圆锥的底面半径和高求出母线长，圆锥的侧面积是展开后扇形的面积，计算可得．
解答： 解：圆锥的母线= =10cm，
圆锥的底面周长2πr=12πcm，
圆锥的侧面积= lR= ×12π×10=60πcm2．
故答案为60π．
点评： 本题考查了圆锥的计算，圆锥的高和圆锥的底面半径圆锥的母线组成直角三角形，扇形的面积公式为 lR．
16．（4分）（2014 遵义） 有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是 3 ．
考点： 专题：正方体相对两个面上的文字；规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
分析： 观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案．
解答： 解：观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，
∵2014÷4=503…2，
∴滚动第2014次后与第二次相同，
∴朝下的点数为3，
故答案为：3．
点评： 本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形的变化类问题，解题的关键是发现规律．
17．（4分）（2014 遵义）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FE⊥AD，EG=15里，HG经过A点，则FH= 1.05 里．
考点： 相似三角形的应用．菁优网版 权所有
分析： 首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．
解答： 解：EG⊥AB，FE⊥AD，HG经过A点，
∴FA‖EG，EA‖FH，
∴∠HFA=∠AEG=90°，∠FHA=∠EAG，
∴△GEA∽△AFH，
∴ ．
∵AB=9里，DA=7里，EG=15里，
∴FA=3.5里，EA=4.5里，
∴ ，
解得：FH=1.05里．
故答案为：1.05．
点评： 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度不大．
18．（4分）（2014 遵义）如图，反比例函数y= （k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为 8 ．
考点： 反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有
分析： 设E（a， ），则B纵坐标也为 ，代入反比例函数的y= ，即可求得F的横坐标，则根据三角形的面积公式即可求得k的值．
解答： 解：设E（a， ），则B纵坐标也为 ，
E是AB中点，所以F点横坐标为2a，代入解析式得到纵坐标： ，
BF= － = ，所以F也为中点，
S△BEF=2= ，k=8．
故答案是：8．
点评： 本题考查了反比例函数的性质，正确表示出BF的长度是关键．
三、解答题（本题共9小题，共88分）
19．（6分）（2014 遵义）计算： －|－4|－2cos45°－（3－π）0．
考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
分析： 本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答： 解：原式=3 －4－ －1
=2 －5．
点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
20．（8分）（2014 遵义）解不等式组： ，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
解答： 解：由①得，x≥－1，
由②得，x＜4，
故此不等式组的解集为：－1≤x＜4．
在数轴上表示为：
．
点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（8分）（2014 遵义）如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1： ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．菁优网版权所有
专题： ．
分析： 过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE=20米，坡度为i=1： ，分别求出EF、CF的长度，在Rt△AEH中求出AH，继而可得楼房AB的高．
解答： 解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，∵i= = =tan∠ECF，
∴∠ECF=30°，
∴EF= CE=10米，CF=10 米，
∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10 ）米，
在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，
∴AH=HE=（25+10 ）米，
∴AB=AH+HB=（35+10 ）米．
答：楼房AB的高为（35+10 ）米．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键．
22．（10分）（2014 遵义）小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔，两人先后从袋中取出一支笔（不放回），若两人所取笔的颜色相同，则小明胜，否则，小军胜．
（1）请用树形图或列表法列出摸笔游戏所有可能的结果；
（2）请计算小明获胜的概率，并指出本游戏规则是否公平，若不公平，你认为对谁有利．
考点： 游戏公平性；列表法与树状图法．菁优网版权所有
分析： （1）列表将所有等可能的结果一一列举出来即可；
（2）根据列表里有概率公式求得小明获胜的概率即可判断是否公平．
解答： 解：（1）列表得：
红1 红2 红3 黑1 黑2
红1 红1红2 红1红3 红1黑1 红1黑2
红2 红2红1 红2红3 红2黑1 红2黑2
红3 红3红1 红3红2 红3黑1 红3黑2
黑1 黑1红1 黑1红2 黑1红3 黑1黑2
黑2 黑2红1 黑2红2 黑2红3 黑2黑1
（2）共20种等可能的情况，其中颜色相同的有8种，
则小明获胜的概率为 = ，
小军获胜的概率为1－ = ，
∵ ＜ ，
∴不公平，对小军有利．
点评： 本题考查了列表法与列树状图的知识，解题的关键是正确的列出表 格或树状图．
23．（10分）（2014 遵义）今年5月，从全国旅游景区质量等级评审会上传来喜讯，我市“风冈茶海之心”、“赤水佛光岩”、“仁怀中国酒文化城”三个景区加入国家“4A”级景区．至此，全市“4A”级景区已达13个．某旅游公司为了了解我市“4A”级景区的知名度情况，特对 部分市民进行现场采访，根据市民对13个景区名字的回答情况，按答数多少分为熟悉（A），基本了解（B）、略有知晓（C）、知之甚少（D）四类进行统计，绘制了一下两幅统计图（不完整），请根据图中信息解答以下各题：
（1）本次调查活动的样本容量是 1500 ；
（2）调查中属于“基本了解”的市民有 450 人；
（3）补全条形统计图；
（4）“略有知晓”类占扇形统计图的圆心角是多少度？“知之甚少”类市民占被调查人数的百分比是多少？
考点： 条形统计图；扇形统计图．菁优网版权所有
专题： 图表 型．
分析： （1）用熟悉（A）的人数除以所占的百分比，计算即可得解；
（2）先求出略有知晓（C）的人数，然后列式计算即可得解；
（3）根据（2）的计算补全图形统计图即可；
（4）用“略有知晓”C所占的百分比乘以360°计算即可，再根据知之甚少（D）的人数列式计算即可求 出所占的百分比．
解答： 解：（1）120÷8%=1500；
（2）略有知晓（C）的人数为：1500×40%=600人，
“基本了解”（B）的人数为：1500－120－600－330=1500－1050=450人；
（3）补全统计图如图所示；
（4）“略有知晓”类：360°×40%=144°，
“知之甚少”类： ×100%=22%．
故答案为：（1）1500；（2）450．
点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．（10分）（2014 遵义）如图， ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
分析： （1）通过证明△ODF与△OBE全等即可求得．
（2）由△ADB是等腰直角三角形，得出∠A=45°，因为EF⊥AB，得出∠G=45°，所以△ODG与△DFG都是等腰直角三角形，从而求得DG的长和EF=2，然后平行线分线段成比例定理即可求得．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，DC‖AB，
∴∠ODF=∠OBE，
在△ODF与△OBE中
∴△ODF≌△OBE（AAS）
∴BO=DO；
（2）解：∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=45°，
∴∠DBA=∠A=45°，
∵
∴∠G=∠A=45°，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∵AB‖CD，EF⊥AB，
∴DF⊥OG，
∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形，
∵△ODF≌△OBE（AAS）
∴OE=OF，
∴GF=OF=OE，
即2FG=EF，
∵△DFG是等腰直角三角形，
∴DF=FG=1，
∴DG= = ，
∵AB‖CD，
∴ = ，
即 = ，
∴AD=2 ，
点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质以及平行线分行段定理．
25．（10分）（2014 遵义）为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动．自行车队从甲地出发，途径乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的2.5倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y（km）与自行车队离开甲地时间x（h）的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答下列各题：
（1）自行车队行驶的速度是 24 km/h；
（2）邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？
（3）邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？
考点： 一次函数的应用．菁优网版权所有
分析： （1）由速度=路程÷时间就可以求出结论；
（2）由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a小时两车相遇建立方程求出其解即可；
（3）由邮政车的速度可以求出B的坐标和C的坐标，由自行车的速度就可以D的坐标，由待定系数法就可以求出BC，ED的解析式就可以求出结论．
解答： 解：（1）由题意得
自行车队行驶的速度是：72÷3=24km/h．
故答案为：24；
（2）由题意得
邮政车的速度为：24×2.5=60km/h．
设邮政车出发a小时两车相遇，由题意得
24（a+1）=60a，
解得：a= ．
答：邮政车出发 小时与自行车队首次相遇；
（3）由题意， 得
邮政车到达丙地的时间为：135÷60= ，
∴邮政车从丙地出发的时间为： 135=，
∴B（ ，135），C（7.5，0）．
自行车队到达丙地的时间为：135÷24+0.5= +0.5= ，
∴D（ ，135）．
设BC的解析式为y1=k1+b1，由题意得
，
∴ ，
∴y1=－60x+450，
设ED的解析式为y2=k2x+b2，由题意得
，
解得： ，
∴y2=24x－12．
当y1=y2时，
－60x+450=24x－12，
解得：x=5.5．
y1=－60×5.5+450=120．
答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km．
点评： 本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
26．（12分）（2014 遵义）如图，直角梯形ABCD中，AB‖CD，∠DAB=90°，且∠ABC=60°， AB=BC，△ACD的外接圆⊙O交BC于E点，连接DE并延长，交AC于P点，交AB延长线于F．
（1）求证：CF=DB；
（2）当AD= 时，试求E点到CF的距离．
考点： 圆的综合题．菁优网版权所有
专题： 综合题．
分析： （1）连结AE，由∠ABC=60°，AB=BC可判断△ABC为等边三角形，由AB‖CD，∠DAB=90°得∠ADC=∠DAB=90°，则根据圆周角定理可得到AC为⊙O的直径，则∠AEC=90°，即AE⊥BC，根据等边三角形的性质得BE=CE，再证明△DCE≌△FBE，得到DE=FE，于是可判断四边形BDCF为平行四边形，根据平行四边形的性质得CF=DB；
（2）作EH⊥CF于H，由△ABC为等边三角形得∠BAC=60°，则∠DAC=30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得DC= AD=1，AC=2CD=2，
则AB=AC=2，BF=CD=1，AF=3，然后利用勾股定理计算出BD= ，DF=2 ，所以CF=BD= ，EF= DF= ，接着根据等边三角形的性质由AE⊥BC得∠CAE=∠BAE=30°，根据圆周角定理得∠EDC=∠CAE=30°，而∠DCA=∠BAC=60°，得到∠DPC=90°，在Rt△DPC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得PC= DC= ，
再证明Rt△FHE∽Rt△FPC，利用相似比可计算出EH．
解答： （1）证明：连结AE，如图，
∵∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∵AB‖CD，∠DAB=90°，
∴∠ADC=∠DAB=90°，
∴AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，
∴BE=CE，
CD‖BF，
∴∠DCE=∠FBF，
在△DCE和△FBE中，
，
∴△DCE≌△FBE（ASA），
∴DE=FE，
∴四边形BDCF为平行四边形，
∴CF=DB；
（2）解：作EH⊥CF于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，AD= ，
∴DC= AD=1，AC=2CD=2，
∴AB=AC=2，BF=CD=1，
∴AF=3，
在Rt△ABD中，BD= = ，
在Rt△ADF中，DF= =2 ，
∴CF=BD= ，EF= DF= ，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE=∠BAE=30°，
∴∠EDC=∠CAE=30°，
而∠DCA=∠BAC=60°，
∴∠DPC=90°，
在Rt△DPC中，DC=1，∠CDP=30°，
∴PC= DC= ，
∵∠HFE=∠PFC，
∴Rt△FHE∽Rt△FPC，
∴ = ，即 = ，
∴EH= ，
即E点到CF的距离为 ．
点评： 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、等边三角形的性质和平行四边形的判定与性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会运用勾股定理和相似比进行几何计算．
27 ．（14分）（2014 遵义）如图，二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（－1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．
考点： 二次函数综合题．菁优网版权所有
分析： （1）将A，B点坐标代入函数y= x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标．
（2）等腰 三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标．
（3）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、D对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等等性质可用t表示D点坐标，又D在E函数上，所以代入即可求t，进而D可表示．
解答： 解：（1）∵二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（－1，0），
∴ ，
解得 ，
∴y= x2－ x－4．
∴C（0，－ 4）．
（2）存在．
如图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD‖OC，
∵A（3，0），B（－1，0），C（0，－4），O（0，0）
∴AB=4，OA=3，OC=4，
∴AC= =5，AQ=4．
∵QD‖OC，
∴ ，
∴ ，
∴QD= ，AD= ．
①作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形，
设AE=x，则EQ=x，DE=AD－AE= －x，
∴在Rt△EDQ中，（ －x）2+（ ）2=x2，解得 x= ，
∴OA－AE=3－ =－ ，
∴E（－ ，0）．
②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，
∵ED=AD= ，
∴AE= ，
∴OA－AE=3－ =－ ，
∴E（－ ，0）．
③当AE=AQ=4时，
∵OA－AE=3－4=－1，
∴E（－1，0）．
综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（－ ，0）或（－ ，0）或（－1，0）．
（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（－ ，－ ）．理由如下：
如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，
∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，
∴AP=AQ=QD=DP，
∴四边形AQDP为菱形，
∵FQ‖OC，
∴ ，
∴ ，
∴AF= ，FQ= ，
∴Q（3－ ，－ ），
∵DQ=AP=t，
∴D（3－ －t，－ ），
∵D在二次函数y= x2－ x－4上，
∴－ = （3－ t）2－ （3－ t）－4，
∴t= ，或t=0（与A重合，舍去），
∴D（－ ，－ ）．
点评： 本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很基础，是一道值得练习的题目．
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