中考数学经典例题

篇一：初中数学经典例题

相等。

1．如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF。

求证：AC=BF。

分析：本题是证明线段相等的问题。要证明两条线段相等有如下方法：①如果两条线段在同一三角形中，只需证明此三角形为等腰三角形。②等量代换法③构造全等三角形，这一方法是最常用的方法。下面我们来分析这道题，欲证AC=BF，只须证AC、BF所在两个三角形全等，显然图中没有含有AC、BF的两个全等三角形图形，而根据题目条件的去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三

角形以后的这两条线段，所对的角相等即可。

思路一、以三角形ADC为基础三角形，转移线段AC，使AC、

BF在三角形BFH中

法一：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，证明△ADC和

△HDB全等，得AC=BH。

通过证明∠H=∠BFH，得到BF=BH。

证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH

∵ D为BC中点

∴ BD=DC

在△ADC和△HDB中

∴ △ADC≌△HDB(SAS)

∴ AC=BH, ∠H=∠HAC

∵ EA=EF

∴ ∠HAE=∠AFE

又∵ ∠BFH=∠AFE

∴ BH=BF

∴ BF=AC

法二：过B点作BH平行AC与AD的延长线相交于点H，证明△ADC和△HDB全等。小结：对于含有中点的问题，通过“倍长中线”得到可以

两个全等三角形。而过一点作己知直线的平行线，可以起到转

移角的作用，也起到了构造全等三角形的作用。

思路二、以三角形BFD为基础三角形。转移线段AC，

使AC、BF在两个全等三角形中

法三：延长FD至H，使得DH=FD，连结HC。证明△

CDH和△BDF全等。

证明：延长FD至H，使得DH=FD，连结HC。

∵ D为BC中点

∴ BD=CD

在△BFD和△CHD中

∴ △BFD≌△CHD(SAS)

∴ ∠H=∠BFH

∵ AE=FE

∴ ∠HAC=∠AFE

又∵ ∠AFE=∠BFH

∴ ∠H=∠HAC

∴ CH=CA

∴ BF=AC

法四：过C点作CH平行BF与AD的延长线相交于点H，证明△CDH和△BDF全等。小结：通过一题多种辅助线的添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等。

熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。

拓展：如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF。求证：AE=EF。

分析：调换己知和求证的顺序是几何中提出新问题的一种常规做法。我们调换了例2的部分已知条件和结论的顺序提出新的问题，在解决新的问题中又巩固了上述添加辅助线的基本作法。上述四种方法仍然可以适用。

练习：

(1)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D．求证：DE=DF．

(2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点．

求证：BE=CF．

分析：练习(1)巩固例2中典型辅助线的作法，练习(2)巩固例2拓展的调换部分条件和结论提出问题的方法。

证明：辅助线已作出，证明略

篇二：中考数学经典例题讲解

class="txt">用函数的观点看方程（组）与不等式

◆知识讲解

1．一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系

一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+?b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－

ba

，0）是直线y=ax+b

与x轴的交点坐标，反过来也成立；?直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解．

2．坐标轴的函数表达式

函数关系式x=0的图像是y轴，反之，y轴可以用函数关系式x=0表示；?函数关系式y=0的图像是x轴，反之，x轴可以用函数关系式y=0表示．

3．一次函数与二元一次方程组的关系

一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系．

4．两条直线的位置关系与二元一次方程组的解

?y?k1x?b1（1）二元一次方程组?有唯一的解?直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 ?k1≠k2．

y?kx?b?22?y?k1x?b1

（2）二元一次方程组?无解?直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 ?k1=k2，b1≠b2．

?y?k2x?b2

?y?k1x?b1

（3）二元一次方程组?有无数多个解?直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合?k1=k2，b1=b2．

y?kx?b?22

◆例题解析

例1 （2006，长河市）我市某乡A，B两村盛产柑橘，A?村有柑橘200t，?B?村有柑橘300t．现将这些柑橘运到C，D两个冷藏仓库，?已知C?仓库可储存240t，?D?仓库可储存260t；从A村运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元，设从A村运往C仓库的柑橘重量为xt，A，B?两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为yA元和yB元．

（1）请填写下表，并求出yB，yA与x之间的函数关系式；

（2）试讨论A，B两村中，哪个村的运费较少；

（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过480元．在这种情况下，?请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．

【分析】（1）根据运输的吨数及运费单价可写出y，y与x之间的函数关系．

（2）欲比较yA与yB的大小，应先讨论yA=yB的大小，应先讨论yA=yB或yA>yB或yA<yB时求出x的取值范围．

（3）根据已知条件求出x的取值范围．根据一次函数的性质可知在此范围内，两村运费之和是如何变化的，进而可求出相应的值．

【解答】（1）

yA=－5x+5000（0≤x≤200），yB=3x+4680（0≤x≤200）． （2）当yA=yB时，－5x+5000=3x+4680，x=40； 当yA>yB时，－5x+5000>3x+4680，x<40； 当yA<yB时，－5x+5000<3x+4680，x>40．

∴当x=40时，yA=yB即两村运费相等；当0≤x<40时，yA>yB即B村运费较少；当40<x≤200时，yA<yB即A村费用较少．

（3）由yB≤4830得 3x+4580≤4830． ∴x≤50．

设两村运费之和为y，∴y=yA+yB， 即：y=－2x+9680．

又∵0≤x≤50时，y随x增大而减小，

∴当x=50时，y有最小值，y最小值=9580（元）．

答：当A村调往C仓库的柑橘重为50t，调运D仓库为150t，B村调往C仓库为190t，调往D仓库110t的

时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元．

例2 某家庭今年3个月的煤气量和支付费用见下表：

3

该市的煤气收费方法是：基本费+超额费+?保险费，?若每月用气量不超过最低量am，则只付3元基本费和每户的定额保险费c元；若用气量超过acm3，则超过的部分每立方米支付b元，并知c≤5元，求a，b，c．

【分析】数学能帮助我们解决许多生活中的实际问题，本题要求a，b，c的值，?不妨设每月用气量为x（m），支付费用为y（元），再根据题意列出x，y的关系表达式，即

y=?

?3?c

?3?b(x?a)?c

(0?x?a)(x?a)

2

由此可推断出a，b，c的值．

【解答】设每月用气量为xm，支付费用为y元，根据题意得 y=?

?3?c

?3?b(x?a)?c

(0?x?a)(x?a)

3

∵c≤5， ∴c+3≤8

因2月份和3月份的费用均大于8，故用气量大于最低限度am3，将x=25，y=14；x=35，y=19分别代入②得?

?14?3?b(25?a)?c?19?3?b(35?a)?c

④－③得：10b=5 ∴b=0.5 把b=0.5代入③得a=3+2c

又因1月份的用气量是否超过最低限度尚不明确，故当a<4时，将x=4?代入②得4=3+0.5[4－（3+2c）]+c，即

4=3.5－c+c不成立

则a≥4，此时的付款分式选①，有3+c=4 ∴c=1

把x=1代入a=3+2c得a=5 ∴a=5，．b=0.5，c=1．

【点评】本题要求a，b，c的值，表面看与一次函数无关，?但实际上题中不仅包含函数关系，而且是一个分段函数，求分段函数解析式的关键是分清各段的取值范围，其条件分别在各自的取值范围内使用，若有不确定

的情形，须进行分类讨论．

◆强化训练 一、填空题

1．（2008，武汉）如图1所示，直线y=kx+b经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组

的解集为_______．

12

x<kx+b<0

图1 图2图3 2．（2006，江苏南通）如图2，直线y=kx（k>0）与双曲线y=

－7x2y1的值等于_______．

3．如图3所示，L甲，L乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s与时间t的关系，观察图

像并回答下列问题：

（1）乙出发时，与甲相距______km；

（2）走了一段路后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车为_____h； （3）乙从出发起，经过_____h与甲相遇；

（4）甲行走的路程s与时间t之间的函数关系式_______；

（5）如果乙自行车不出现故障，那么乙出发后经过______h与甲相遇，相遇处离乙的出发点____km．并在图中标出其相遇点．

4．直线y=－x+a与直线y=x+b的交点坐标为（m，8），则a+b=______． 5．已知一次函数y=2x－a与y=3x－b的图像相交于x轴原点外一点，则

aa?b

4x

交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2

=_____．

6．已知关于x的一次函数y=mx+2m－7在－1≤x≤5上的函数值总是正数，则m的取值范围是_______． 7．若A（x1，y1），B（x2，y2）为一次函数y=3x－1图像上的两个不同的点，且x1>x2，则y1与y2的大小关系

是_______．

8．（2008，绍兴）如图4所示，已知函数y=x+b和y=ax+3的图像交点为P，?则不等式x+b>ax+3的解集为________．

图4 图5 图6 二、选择题

9．函数y1=x+1与y2=ax+b（a≠0）的图像如图5所示，?这两个函数图像的交点在y轴上，那么使y1，y2的值都

大于零的x的取值范围是（ ）

A．x>－1 B．x<2 C．1<x<2 D．－1<x<2

10．（2006，河南）如图6，一次函数y=kx+b的图像经过A，B两点，则kx+b>0?的解集是（ ）

A．x>0 B．x>2 C．x>－3 D．－3<x<2

11．小亮用作图像的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图像L1，L2

如图所示，他解的这个方程组是（ ） ?y??2x?2

?y??2x?2?

A．? B． ?1

?y??x?y?x?1

?2?y?3x?8,?y??2x?2,??C．? D．? 11

y?x?3y??x?1???2?2

12．已知一次函数y=

的面积是（ ）

32

x+m和y=－

12

x+n的图像都经过点A（－2，0），且与x轴交于A，B两点，那么△ABC

A．2B．3 C．4D．6

13．（2006，山西太原）如图所示的图形都是二次函数y=ax2+bx+a2－1的图像，若b>0，则a的值等于（ ）

A

．

?1?

2B．－1C

．

?1?

2

D．1

则kx+b>0的解集是

14．如图，一次函数y=kx+6的图像经过A，B两点，（ ）

篇三：初中数学经典试题及答案(初三复习资料)

、选择题：

1、图(二)中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角。关于这七个角的度数关系，下列何者正确？

( )

A．?2＝?4＋?7 B．?3＝?1＋?6

C．?1＋?4＋?6＝180?D．?2＋?3＋?5＝360? 答案：C.

2、在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处。如果AE过BC的中点，则平行四边形ABCD的面积等于（ ） A、48 B、106 C、127D、24

2

答案：C.

3、如图，⊙O中弦AB、CD相交于点F，AB＝10，AF＝2。若CF∶DF＝1∶4，则CF的长等于（ ）

C

A、2B、2 C、3 D、22 答案：B.

4、如图：△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD。有下列四个结论：①∠PBC

＝15；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形。其中正确结论的个数为（ ）

A

D

P

B

C

第10题图

A、1 B、2 C、3 D、4 答案：D.

5、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF。在此运动变化的过程中，下列结论： ① △DFE是等腰直角三角形； ② 四边形CDFE不可能为正方形； ③ DE长度的最小值为4；

C

E

DA

F

B

④ 四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8。 其中正确的结论是（）

A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤ 答案：B.

二、填空题：

6、已知0?x?1.

(1)若x?2y?6，则y的最小值是； (2).若x2?y2?3，xy?1，则x?y＝答案：（1）-3；（2）-1.

7、用m根火柴可以拼成如图1所示的x个正方形，还可以拼成如图2所示的2y个正方形，那么用含x的代数式表示y，得y＝_____________．

?

? ?

图1 图2

31

答案：y＝x－.

5

5

8、已知m－5m－1＝0，则2m－5m＋

22

1

m2

＝ .

A

D

答案：28.

9、____________________

范围内的有理数经过四舍五入得到的近似数3.142.

NM

答案：大于或等于3.1415且小于3.1425.

10、如图：正方形ABCD中，过点D作DP交AC于点M、 交AB于点N，交CB的延长线于点P，若MN＝1，PN＝3，

PB则(本文来自：www.dXF5.com 东 星资 源 网:中考数学经典例题)DM的长为.

第19题图答案：2.

11、在平面直角坐标系xOy中，直线y??x?3与两坐标轴围成一个△AOB。现将背面完全1

、的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将23

该卡片上的数作为点P的横坐标，将该数的倒数作为点P的纵坐标，则点P落在△AOB内的概率为 .

3

答案：.

5

12、某公司销售A、B、C三种产品，在去年的销售中，高新产品C的销售金额占总销售金额的40%。由于受国际金融危机的影响，今年A、B两种产品的销售金额都将比去年减少20%，因而高新产品C是今年销售的重点。若要使今年的总销售金额与去年持平，那么今年高新产品C的销售金额应比去年增加 %. 答案：30.

13、小明背对小亮按小列四个步骤操作：

（1）分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同； （2）从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；（3）从右边一堆拿出两张，放入中间一堆；（4）左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆，当小亮知道小明操作的步骤后，便准确地说出中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是 .

C

相同，正面分别标有数1、2、3、

1

答案：6.

14、某同学在使用计算器求20个数的平均数时，错将88误输入为8，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为. 答案：-4.

15、在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（-3，4），以半径r在坐标平面内作圆， （1）当r时，圆O与坐标轴有1个交点； （2）当r时，圆O与坐标轴有2个交点； （3）当r时，圆O与坐标轴有3个交点； （4）当r时，圆O与坐标轴有4个交点； 答案：（1）r=3； （2）3＜r＜4； （3）r=4或5； （4）r＞4且r≠5.

三、解答题：

16、若a、b、c为整数，且a?b?c?a答案：2.

22

17、方程（2008x)?2007?2009x?1?0的较大根为a，方程x?2008x?2009?0的

?1，求a?b?b?c?c?a的值.

较小根为b，求(a?b)2009的值.

解：把原来的方程变形一下，得到：

（2008x）2-（2008-1）（2008+1）X-1=0 20082x2-20082x+x-1=0 20082x（x-1）+（x-1）=0 （20082x+1）（x-1）=0

x=1或者-1/20082，那么a=1.

第二个方程：直接十字相乘，得到： （X+1）（X-2009）=0

所以X=-1或2009，那么b=-1. 所以a+b=1+(-1)=0，即(a?b)

2009

=0.

18、在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒． (1) 求直线AB的解析式； (2) 当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形△AOB相似？ (3) 当t=2秒时，四边形OPQB的面积多少个平方单位？ 解：(1)设直线AB的解析式为：y=kx+b

?6

?k?0?b

将点A（0，6）、点B（8，0）代入得?

0?8k?b?

B

x

3?

?k??解得?4

??b?6

直线AB的解析式为：y??

34

x?6

(2) 设点P、Q移动的时间为t秒，OA=6，OB=8. ∴勾股定理可得，AB=10 ∴AP=t，AQ=10-2t

分两种情况，

① 当△APQ∽△AOB时 APAQ

?AOAB

，

t10?2t

?

610

，t?

3311

.

② 当△AQP∽△AOB时 AQAO10?2t630

，，t?. ??

APABt1013

3330

综上所述，当t?或t?时，以点A、P、Q为顶点的三角形△AOB相似.

1113

(3) 当t=2秒时，四边形OPQB的面积，AP=2,AQ=6

过点Q作QM⊥OA于M

△AMQ∽△AOB

AQQM6QM

∴，，QM=4.8 ??ABOB10811△APQ的面积为：AP?QM??2?4.8?4.8(平方单位)

22B ∴四边形OPQB的面积为：S△AOB-S△APQ=24-4.8=19.2(平方单位)

19、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生。

（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？

（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％。安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离。假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。 解：（1）设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生，

由题意得： ?2(x?2y)?560?

?4(x?y)?800

?x?120?

解得：?y?80

答：平均每分钟一道正门可以通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生。 （2）这栋楼最多有学生4×8×45＝1440（名）

拥挤时5分钟4道门能通过：5?2(120?80)(1?20%)＝1600（名）

x

∵1600＞1440

∴建造的4道门符合安全规定。

2

20、已知抛物线y??x?(m?4)x?2m?4与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x1＜x2，x1＋2x2＝0。若点A关于y轴的对称点是点D。

（1）求过点C、B、D的抛物线的解析式；

（2）若P是（1）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且△HBD与△CBD的面积相等，求直线PH的解析式。

?x1?2x2?0?

?x1?x2?m?4?

x?x??2m?4?12

???(m?4)2?4(2m?4)?m2?32?0?

解：（1）由题意得：

由①②得：x1?2m?8，x2??m?4

将x1、x2代入③得：(2m?8)(?m?4)??2m?4整理得：m?9m?14?0∴m1＝2，m2＝7∵x1＜x2

∴2m?8＜?m?4∴m＜4

∴m2＝7（舍去）

∴x1＝－4，x2＝2，点C的纵坐标为：2m?4＝8∴A、B、C三点的坐标分别是A（－4，0）、B（2，0）、C（0，8）

又∵点A与点D关于y轴对称 ∴D（4，0）

设经过C、B、D的抛物线的解析式为：y?a(x?2)(x?4) 将C（0，8）代入上式得：8?a(0?2)(0?4) ∴a＝1

∴所求抛物线的解析式为：y?x?6x?8

（2）∵y?x?6x?8＝(x?3)?1

∴顶点P（3，－1）

xy

设点H的坐标为H（0，0）∵△BCD与△HBD的面积相等

y

∴∣0∣＝8

y

∵点H只能在x轴的上方，故0＝8

2

yxx

将0＝8代入y?x?6x?8中得：0＝6或0＝0（舍去）∴H（6，8）

2

2

2

2

设直线PH的解析式为：y?kx?b则 ?3k?b??1?

?6k?b?8

解得：k＝3 b＝－10

∴直线PH的解析式为：y?3x?10