篇一：2015年中考数学圆专题(讲)
xt">圆专题一、圆及其性质1.圆的定义:(1)在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转 ,另一个端点A所形成的 叫做圆.(2)圆心为 O,半径为r的圆可以看成是所有到 的距离等于 的点的集合.2.弦与弧: (1);(2)圆上任意两点间的 叫做圆弧,简称弧.
3.圆的对称性 :
(1)圆的轴对称性:圆是轴对称图形,经过圆心的每一条;
(2)圆是以 为对称中心的中心对称图形;
(3)圆是旋转对称图形,环绕圆心旋转任意角度,这就是圆的旋转不变性.
二、垂径定理及推论
1.垂径定理 :,并且平分弦所对的.
2.推论:平分弦(不是直径)的直径 ,并且平分弦所对的 .
三、圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 ,它们所对应的其余各组量也 .
四、圆心角、圆周角的概念与性质
1.圆心角:顶点在 的角叫圆心角.
2.圆周角:顶点在 ,并且两边都与圆 的角叫做圆周角.
3.性质:
(1)在同圆或等圆中,都等于这条弧所对的圆心角的 ;
(2)半圆(或直径)
(3)圆心角的度数 它所对的弧的度数.
习题巩固
一、选择题
1、如图,☉O是△ABC的外接圆,连接OB、OC,若OB=BC,则∠BAC等于()
A.60° B.45° C.30° D.20°
2、(2013·龙岩中考)如图,A、B、P是半径为2的☉O上的三点,∠APB=45°,
则弦AB的长为( )
A. B.2C.2 D.4
3、如图,AB是☉O的直径,C,D两点在☉O中,若∠C=40°,则∠ABD的度
数为( )
A.40°B.50°
4、以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB切小圆于点C,若∠AOB=120°,
则大圆半径R与小圆半径r之间满足( )
A.R=4r B.R=3r C.R=2r D.R=1r
5、如图,A、B、C是☉O上的三点,AB=2,∠ACB=30°,那么☉O的半径等于
( )
A.1 B.2C.4
D. C.80°D.90°
6、如图,在☉O中,已知∠OAB=22.5°,则∠C的度数为( )
A.135° B.122.5° C.115.5° D.112.5°
7、如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交
AC于点F，点P是⊙A上的一点,且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为（）
A.4-πB.4-2πC.8+π D.8-2π
A P
E
B D F C
8、如图，正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB与
CD是大圆的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． 4πB．3π C．2π D．1π
9、如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，是（ ）
=，∠AOB=60°，则∠BDC的度数
10、如果两圆的半径分别为4和6，圆心距为10，那么这两圆的位置关系是（ ）
A ． 内含 B． 外离 C． 相交 D． 外切
11、如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则的长为（ ）
A．1π B．2π C．3π D．5π
12、已知两圆外切，圆心距为5cm，若其中一个圆的半径是3cm，则另一个圆的半径是（ ）
A． 8cm B．5cm C．3cm D．2cm
13、如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是B
A．2?cm B．4?cm
C．8?cm D．16?cm
14、已知两圆的半径分别是3和4，圆心距的长为1，则两圆的位置关系为：
（）
A．外离B．相交 C．内切 D．外切
15、已知两圆半径为5cm和3cm，圆心距为3cm，则两圆的位置关系是【 】
A．相交B．内含C．内切D．外切
16、如图2，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB?CD于点E，则下列结论正确的是（ ）
∠D?A．AE?BE Ｂ．AD?BC Ｃ．
1∠AEC Ｄ．△ADE∽△CBE 2
17、如图，已知AB为O的直径，AD切O于点A, EC?CB则下列结论不一定正确的是
A．BA?DA B．OC∥AE C．?COE?2?CAE D．OD?
AC
二、填空题(每小题6分,共24分) 1、⊙O为△ABC的外接圆，∠BOC=100°，则∠A=
2、小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径OB=3cm，
2高OC=4cm，则这个圆锥漏斗的侧面积是 cm．
3、如图，⊙O的半径为3cm，当圆心0到直线AB的距离为_______cm时，直线AB与⊙0相切．
4、已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径为 ．
5、平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（0，2
），半径为1，点N在x轴的正半轴上，如果以点N为圆心，半径为4的⊙N与⊙M相切，则圆心N的坐标为 ．
6、☉O是△ABC的外接圆,AB是
直
径.若∠BOC=80°,则∠A等于 °.
篇二：2014中考数学圆综合题(含答案) 2
式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 ? d?r ? 点C在圆内； 2、点在圆上 ? d?r ? 点B在圆上； 3、点在圆外 ? d?r ? 点A在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 ? d?r ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d?r ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d?r ? 有两个交点；
A
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）? 无交点 ? d?R?r； 外切（图2）? 有一个交点 ? d?R?r； 相交（图3）? 有两个交点 ? R?r?d?R?r； 内切（图4）? 有一个交点 ? d?R?r； 内含（图5）?无交点? d?R?r；
虽然社会上把中考气氛搞的风声鹤唳异常紧张，但当考完一场后，你会感觉到，这些考试和平常的考试没有什么显著异样。
1
图1
图2
五、垂径定理
图4
图5
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB是直径②AB?CD ③CE?DE ④ 弧BC?弧BD ⑤ 弧AC?弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC?弧BD
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①?AOB??DOE；②AB?DE；
③OC?OF；④ 弧BA?弧BD
七、圆周角定理
D
B
的弧相等，弦心距相
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
2
即：∵?AOB和?ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴?AOB?2?ACB 2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆即：在⊙O中，∵?C、?D都是所对的圆周角 ∴?C??D
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧径。
即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵?C?90?∴?C?90? ∴AB是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是即：在△ABC中，∵OC?OA?OB
∴△ABC是直角三角形或?C?90?
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙O中，
∵四边形ABCD是内接四边形
∴?C??BAD?180? ?B??D?180? ?DAE??C
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN?OA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线
周角所对的弧是等弧；
是半圆，所对的弦是直
B
A
直角三角形。
B
O
A
的中线等于斜边的一
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
虽然社会上把中考气氛搞的风声鹤唳异常紧张，但当考完一场后，你会感觉到，这些考试和平常的考试没有什么显著异样。
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推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理 切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和条切线的夹角。
即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PA?PB PO平分?BPA
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P，∴PA?PB?PC?PD
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的即：在⊙O中，∵直径AB?CD，∴CE?AE?BE
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线∴ PA?PC?PB
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。 即：在⊙O中，∵PB、PE是割线∴PC?PB?PD?PE
十二、两圆公共弦定理
22
圆心的连线平分两
B
D
A
两条线段的比例中项。
线长是这点到割线与圆
4
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：O1O2垂直平分AB。
即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点 ∴O1O2垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：Rt?
O1O2C中，AB2?CO12?
（2）外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在Rt?
BOD中进行：
OD:BD:OB?:2；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt?
OAE中进行，OE:AE:OA?
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt?
OAB中进行，AB:OB:OA?2.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：l?
n?R
； 180
O
l
n?R21
?lR （2）扇形面积公式： S?
3602
n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长 S：扇形面积
虽然社会上把中考气氛搞的风声鹤唳异常紧张，但当考完一场后，你会感觉到，这些考试和平常的考试没有什么显著异样。
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篇三：中考数学专题训练_圆
：圆
1、如图1，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
2、如图2，⊙O是△ABC的外接圆，且∠BAO=25°,则∠C的大小为（ ） A．25° B．50°C．60° D．65° 3、下列几个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④相等圆心角所对的弧相等；⑤平分弦的直径垂直这条弦；⑥若两条弧的长度相等，则它们是等弧；⑦三点确定一个圆．其中真命题的个数为（ ） A．1 B．2C．3D．4
4、小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（）
5、已知：⊙O的半径为3cm，圆心O到直线a的距离为
2cm，则直线a与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交D．不能确定
6、已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为5cm和3cm，两圆的圆心距是9cm，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
7、如图，OAB是以6cm为半径的扇形，AC切弧AB于点A交OB的延长线于点C,如果弧AB的长等于3cm,AC=4cm,则图中阴影部分的面积为（ ）A.15cm B.6 cm C. 4 cm D. 3 cm
2
2
2
2
C
8、小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作圆锥形的生日礼帽。圆锥帽底面半径为9cm，母线长为36cm，请你帮助他们计算制作一个这样的生日礼帽需要纸板的面积为（ ）cm。
A．216πB．324π C． 432πD．648π
9. 已知A为 ⊙O上的一点，⊙O的半径为2，该平面上另有一点P，PA=3，那么点P
与⊙
O
的位置关系一定是
2
- 1 -
A．在⊙O内B．在⊙O外 C．在⊙O上D．以上三个答案都有可10.已知：⊙O的半径为4cm，⊙
O的一条弦AB的长为AB所
能
对的圆心角为A．30B．60 C．120 D．150
11. 如图，有对相等的角。 A.2
B .3 C . 4
D. 6
0000
C
12.已知圆的直径为13cm，圆心到直线l的距离为6cm，，则直线l与⊙O交点个数为 A．0B．1C．2 D．无数
13.如图，当半径为30cm的转动轮转过120?角时， 传送带上的物体A平移的距离为 cm。
A．900?B．300?C．60?D．20?
二、填空题：
1.如图，在⊙O中，已知∠BAC=48 则∠2.已知一条弧的长是3?cm, 弧的半径是6cm,则这条弧所对的圆心角是度.
3.如图，是小明制作的一个圆锥形纸帽的示意图.围成这个纸帽的纸的面积为 cm
4. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，则其外接圆的半径为
5. 如图，在⊙O，∠BCD=120°，则∠BOD =度。
6、已知⊙O的面积为25?，若PO＝5.5，则P在；若PO＝4，则P在；若PO＝，则P在⊙O上。
7、在直径为10cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如右图所示，如果油面AB＝8cm，那么油的最大深度是 cm。
8、若一个扇形的弧长是8?cm，扇形的面积为48?cm，则半径是 。
9、扇形AOB的半径是6cm，∠AOB=120°,则弧AB长为 cm，扇形AOB的面积为 cm（结果精确到0.1）
10、若面积为54?cm的扇形的半径为18cm，则该扇形的圆心角的度数是 。
11、如图，在⊙O中，若∠BAC＝48°，则∠BOC＝_________。
- 2 -
22
2
2
12、如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=DC，AC与BD相交于点E，根据所给的条件，写出一对全等的三角形： 。
13、三角形的外心是三角形的交点。
14、若两圆外切，圆心距为8cm，一个圆的半径为3 cm，则另一个圆的半径为 cm． 15、如图，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积是________。（结果保留?）
16、如图，在△ABC中，∠A=68°，点I是△ABC的内心，则∠BIC的度数为 。 三、解答题：
1、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧CD，点O是弧CD的圆心，E为弧CD上一点，OE⊥CD，垂足为F．已知CD = 600m，EF = 100m，求这段弯路的半径．
2、在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图(1)所示： ∵∠AOC是△ABO的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO 又∵OA=OB ∴∠OAB=∠OBA∴∠AOC=2∠ABO 即∠ABC=
O 11题
12题
16题
15题
(1)
(3)
(2)
1
∠AOC 2
如果∠ABC的两边都不经过圆心，如图(2)、（3）
，那么上述结论是否成立？请你说明理
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由。
3、如图，AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦，延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交⊙O与点F。
（1）AB
（2）按边的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形。
4、如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF=BE，求证：∠D=∠B。
5、已知直线AB经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB。 （1）直线AB是⊙O的切线吗？请说明理由；（5分） （2）若⊙O的直径为8cm，AB＝10cm，求OA的长。（结果保留根号）
6. 如图，⊙O的直径为10 cm，弦AB=6 cm，P是弦 AB上的一个动点，求OP的长度范围.
7. 如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，弧AD=弧CE. 求证：BE=CE
D
8.如图，D为⊙O的直径AB的延长线上一点，PD是⊙O的切
线，∠D=30.求证：PA=PD
9.如图，扇形OAB的圆心角为120，半径为6cm.
（1）请用尺规作出此扇形的对称轴（不写作法，保留作图痕迹）； ．．（2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝）， 求圆锥的底面半径。
O
A
B
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