篇一：中考数学类比探究专题复习
中考数学类比探究专题复习
一：知识点睛
1. 类比探究一般会围绕一个不变结构进行考查．常见结构有：平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构．
2. 类比是解决类比探究问题的主要方法．往往会类比字母、类比辅助线、类比结构、类比思路来解决类比探究问题．
3. 常见结构：
①平行结构 ②直角结构 ③旋转结构
A AD D'G F
F
G(B)CDBCD BAB=AC ④中点结构 BA A M M F平行夹中点(类)倍长中线 中位线 二：真题演练
1.（2015?潜江24．（10分））已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．
（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．
①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是
②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．
2.（2015?贵港26．（10分））已知：△ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：
（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：
①线段PB=
PC=
222②猜想：PA，PB，PQ三者之间的数量关系为 ；
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；
（3）若动点P满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）
3、（2015?齐齐哈尔26．（8分））如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）
（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；
（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．
4、（2015?黑龙江龙东地区26．8分）如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；
（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
5、（2015?牡丹江26．（8分））已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．
（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB+BE=AM； （提示：延长MF，交边BC的延长线于点H．）
（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1），（2）的条件下，若BE=，∠AFM=15°，则AM=．
6、（2015?哈尔滨26．（10分））AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．
（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；
（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；
（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan∠D=，求线段AH的长．
7、（2015荆州，22．（9分））如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
8、（2015?宿迁25．（10分））已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．
（1）如图1，求证：EA?EC=EB?ED；
（2）如图2，若=，AD是⊙O的直径，求证：AD?AC=2BD?BC；
（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．
9、（2015?锦州25．（12分））如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重
合）．
（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是；
（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．
10、（2015?本溪25．（12分））如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）
（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD ABD（填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是
（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD﹣CD=AD；
（3）将图3中的BP继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）．
篇二：2014中考数学类比探究讲义(详细答案)[1]
1．(2008山东) （1）探究新知：
如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）结论应用：
k
（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥xx
轴，垂足分别为E，F． 试证明：MN∥EF．
② 若①中的其他条件不变，只改变点M，N 的位置如图3所示，请判断 MN与EF是否平行．
D CA B
图 1
图 3
1．(本题满分10分)
D
（1）证明：分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB， C 垂足为G，H，则∠CGA＝∠DHB＝90°．……1分
∴ CG∥DH． ∵ △ABC与△ABD的面积相等，
G A B H
∴ CG＝DH． …………………………2分 图 1 ∴ 四边形CGHD为平行四边形．
∴ AB∥CD．……………………………3分
（2）①证明：连结MF，NE． …………………4分
设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2
k
∵ 点M，N在反比例函数y?（k＞0x
① 如图2，点M，N在反比例函数y?∴ x1y1?k，x2y2?k． ∵ ME⊥y轴，NF⊥x轴，∴ OE＝y1，OF＝x2．
11
∴ S△EFM＝x1?y1?k， ………………5分
2211
x2?y2?k． ………………6分 22
∴S△EFM ＝S△EFN．……………… 7分
由（1）中的结论可知：MN∥EF． ………8分 ② MN∥EF． …………………10分 （若学生使用其他方法，只要解法正确，皆给分．） S△EFN＝
2．（2009河北）如图13-1至图13-5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c．
阅读理解：
（1）如图13-1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到
⊙O2的位置，当AB = c时，⊙O恰好自转1周． （2）如图13-2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在
∠ABC外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由 ⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋
n
转的角∠O1BO2 = n°，⊙O在点B处自转周．
360实践应用：
（1）在阅读理解的（1）中，若AB = 2c，则⊙O自
转周；若AB = l，则⊙O自转周．在 阅读理解的（2）中，若∠ABC = 120°，则⊙O 在点B处自转周；若∠ABC = 60°，则⊙O 在点B处自转 周． （2）如图13-3，∠ABC=90°，AB=BC=
A
B
图13-1
1
c．⊙O从 2
(转自：wWw.DXf5.Com 东星 资源网:中考数学类比探究)⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A-B-C滚动 到⊙O4的位置，⊙O自转周．
图13-3
拓展联想：
（1）如图13-4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出
发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由．
（2）如图13-5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于 图13-4
点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多 边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写 ．．出⊙O自转的周数．
解：实践应用
图13-5
l151
（1）2；．；．（2）．
436c拓展联想
l
（1）∵△ABC的周长为l，∴⊙O在三边上自转了周．又∵三角形的外角和是360°，
c
∴在三个顶点处，⊙O自转了
360l
．∴⊙O共自转了（+1）周． ?1（周）
360c
l
（2）+1．
c
3．(2009江苏)（本题满分10分） （1）观察与发现
小明将三角形纸片ABC(AB?AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
A A
D C D C
图① 图②
（2）实践与运用
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D?处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中??的大小．
E E D A DA D A
D
B
F 图③
C B
C F ? 图④
图⑤
C
4.（2010陕西省）问题探究 (1)请你在图①中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分； ．．
（2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。问题解决
如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处。为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由
解：（1）如图①
（2）如图②连结AC 、BC交与P则P为矩形对称中心。作直线MP，直线MP即为所求。 （3） 如图③存在直线l
过点D的直线只要作 DA⊥OB与点A 则点P(4,2)为矩形ABCD的对称中心 ∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可
易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA 面积平分。从而，直线PH平分梯形OBCD的面积。即直线 PH为所求直线l
设直线PH的表达式为 y=kx+b 且点P(4,2)∴2=4k+b 即b=2-4k∴y=kx+2-4k ∵直线OD的表达式为y=2x
2?4k?x???y?kx?2?4k?2?k
∴? 解之?
4?8ky?2x??y??2?k?
∴点H的坐标为（x?
2?4k4?8k
，y?） 2?k2?k
∴PH与线段AD的交点F（2,2-2k）∴0＜2-2k＜4∴-1＜k＜1
12?4k11
∴S△DHF=(4?2?2k)?(2?)???2?4
22?k22∴解之，得k?
。
（k?舍去）∴
b=8-∴直线l的表达式为
x?8?
5.（2007南昌）实验与探究
（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C的坐标，它们分别是 ， ，；
图1
x
图2
x
x
图3
（2）在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）； 归纳与发现
（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平
行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为
)
A(a，b)，B(，c，d)C(，m，)n，D(（如图ef4）时，则四个顶点的横坐标
x
a，c，m，e之间的等量关系为；纵坐标b，d，n，f之间的等量
关系为 （不必证明）； 运用与推广
（4）在同一直角坐标系中有抛物线y?x2?(5c?3)x?c和三个点G??
图4
?15??19
cc?，S?22??22?
c?，?
．问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形H(2c，0)（其中c?0）是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标．
解：（1）(5，·································································· 2分 2)，(e?c，d)，(c?e?a，d)． （2）分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A，B1，C1，D1， 1分别过A，D作AE?BB1于E，DF?CC1于点F． 在平行四边形ABCD中，CD?BA，又
BB1∥CC1，
)
??EBA??ABC??BCF??ABC??BCF??FCD?180．
??EBA??FCD．
又
x
?BEA??CFD?90，
?△BEA≌△CFD． ··········································································································· 5分 ?AE?DF?a?c，BE?CF?d?b．
设C(x，y)．由e?x?a?c，得x?e?c?a．
篇三：2015中考数学类比探究问题解析
2015中考数学类比探究问题解析
1.(2012年河北省中考第26题)如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，
5． 13
探究 如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．
拓展 如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）
（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；
（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．
cos?ABC?
图1 图2
◆满分解答:探究 AH＝12，AC＝15，S
1nx． 2△ABC1＝84．拓展 （1）S△ABD＝mx，S△CBD＝2
11168（2）由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得mx?nx?84．所以m?n?．由于AC边上的高22x
5656，所以x的取值范围是≤x≤14．所以(m＋n)的最大值为15，最小值为BG?55
5612．（3）x的取值范围是x＝或13＜x≤14．发现 A、B、C三点到直线AC的距离之和5
56最小，最小值为． 5
2.(2014山东临沂)问题情境：如图Z4-8，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.
探究展示：(1)证明：AM＝AD＋MC；(2)AM＝DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
拓展延伸：(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图Z4-9，探究展示(1)，(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．
图Z4-8 图Z4-9 图96
◆满分解答
证明：(1)延长AE，BC交于点N，如图96.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠DAE＝∠ENC.
∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠MAE.
∴∠ENC＝∠MAE.∴MA＝MN.
在△ADE和△NCE中，
∠DAE＝∠CNE，???∠AED＝∠NEC，
??DE＝CE，图97
∴△ADE≌△NCE(AAS)．∴AD＝NC.∴MA＝MN＝NC＋MC＝AD＋MC.
(2)AM＝DE＋BM成立. 过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图97.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，AB∥DC.
∵AF⊥AE，∴∠FAE＝90°.∴∠FAB＝90°－∠BAE＝∠DAE.
在△ABF和△ADE中，
∠FAB＝∠EAD，???AB＝AD，
?，?∠ABF＝∠D＝90° ∴△ABF≌△ADE(ASA)．∴BF＝DE，∠F＝∠AED.
∵AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE.∵∠FAB＝∠EAD＝∠EAM，
∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM＋∠EAM＝∠BAM＋∠FAB＝∠FAM.
∴∠F＝∠FAM.∴AM＝FM.∴AM＝FB＋BM＝DE＋BM.(3)(1)成立；(2)不成立．
◆强化训练
1.（2014?浙江宁波，第25题）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图
1是其中的一种方法：
定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；
（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B
，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．
2.如图①，已知，在等腰直角△ABC中，∠BAC = 90°，点D在BC上．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
第3题图
(1) 问题解决 求证：CF =BD；
(2) 问题变式 如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，猜想CF、BC、CD三条线段之间的关系并说明理由；
(3) 问题拓展 如图③，已知，点D是等边△ABC的边BC延长线上的一点，连接AD，以AD为边作菱形ADEF，并且使∠FAD =60°，CF垂直平分AD，猜想CG与FG之间的数量关系并证明你的结论．
◆强化训练
1.满分解答
（1）如图2作图，
（2）如图3 ①、②作△ABC．
①当AD=AE时，∵2x+x=30+30，∴x=20．
②当AD=DE时，∵30+30+2x+x=180，∴x=40．
（3）如图4，CD、AE就是所求的三分线．
设∠B=a，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=a，∠ADE=∠AED=2a，
此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，
设AE=AD=x，BD=CD=y，
∵△AEC∽△BDC，∴x：y=2：3，∵△ACD∽△ABC，∴2x=（x+y）：2， 所以联立得方程组，解得
，即三分线长分别是
和
．
2.满分解答
(1)证明：∵∠BAC=90°，AB =AC，∴∠ABC =∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，∴AD =AF，∠DAF=90°，∴∠BAC =∠BAD +∠DAC=90°， ∠DAF =∠CAF +∠DAC=90°，∴∠BAD =∠CAF，
?AB?AC
在△BAD和△CAF中，???BAD??CAF，∴△BAD≌△CAF（SAS）.∴CF =BD.
??AD?AF
(2)CF =BC-CD，理由：∵∠BAC =∠DAF=90°，
∴∠BAC +∠CAD =∠DAF +∠CAD，即∠BAD =∠CAF，
?AB?AC
在△BAD和△CAF中，???BAD??CAF，∴△BAD ≌ △CAF（SAS）.∴AD =CF，∴CF
??AD?AF
=BC+CD.
(3)
CG CF垂直平分AD，∴AC =DC，∴∠CAD =∠CDA， 在等边△ABC中，∠ACB =60°，∴∠
CAD °， 在Rt△ACG中，CG =AC，∵∠FAD =60°，∴∠AFG =30°，∴∠CAF =90°，
∴在Rt△ACF中，
AC
CG
CG