为让考生对高考试题获得一定的认识，我们从近几年高考数学湖北卷试题和其他省市的高考试题中选择了部分试题编制成题型示例. 题型示例中的试题与2012年高考试卷的结构、形式、测试内容、题目排序、题量、难度等均没有任何对应关系.
数学
理科题型示例
一、必考内容题型示例
（一）选择题：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
【试题1】（2011年湖北卷理科卷第2题）已知[U=]
[{y|y=log2x,x>1}]，[P={y|y=1x,][x>][2}]，则[UP=]
A.[[12,+∞)] B.[(0,12)]
C.[(0,+∞)] D.[(-∞,0][12,+∞)]
【答案】A
【说明】本题主要考查集合、对数函数和幂函数的基本概念和性质．本题属于容易题.
【试题2】（2008年湖北卷理科第1题）设[a=(1,-2)],
[b=(-3,4)],[c=(3,2)],则[(a+2b)][c=]
A.[(-15,12)] B.0 C.-3D.-11
【答案】C
【说明】本题考查向量的加法、实数与向量的积和平面向量的数量积等向量的有关概念.本题属于容易题.
【试题3】（2011年安徽卷理科第7题）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是
A.所有不能被2整除的整数都是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数
【答案】D
【说明】本题考查正确地对含有一个量词的命题进行否定. 本题属于容易题.
【试题4】（2009年湖北卷理科第8题）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇. 现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用. 每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台. 若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为
A.2000元B.2200元 C.2400元 D.2800元
【答案】B
【说明】本题考查简单的线性规划. 本题属于容易题.
【试题5】（2011年湖北卷理科第7题）如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统. 当[K]正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作. 已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为
A.0.960B.0.864 C.0.720 D.0.576
【答案】B
【说明】本题主要考查相互独立事件和互斥事件的概率计算.本题属于容易题.
【试题6】（2011年湖北卷理科第5题）已知随机变量[ξ]服从正态分布[N(2,σ2)]，且[P(ξ0,φ0)]上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为[n]，则
A.[n=0] B.[n=1]
C.[n=2] D.[n≥3]
【答案】C
【说明】本题考查直线与抛物线的位置关系. 本题属于中等题.
【试题11】（2011年山东卷理科第8题）已知双曲线[x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)]的两条渐近线均和圆C：[x2+y2-6x+5=0]相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为
A.[x25-y24=1] B.[x24-y25=1]
C.[x23-y26=1] D.[x26-y23=1]
【答案】A
【说明】本题考查双曲线、圆的方程和圆的切线的性质. 本题属于中等题.
【试题12】（2007年湖北卷理科第6题）若数列[an]满足[a2n+1a2n=p]（[p]为正常数，[n∈N*]），则称[an]为
“等方比数列”.
甲：数列[an]是等方比数列；乙：数列[an]是等比数列.则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【说明】本题以新定义“等方比数列”为载体，考查充分条件与必要条件的判断. 本题属于中等题.
【试题13】（2005年湖北卷理科第4题）函数[y=]
[elnx-x-1]的图象是
【答案】D
【说明】本题考查绝对值的概念、对数运算、函数的图象与性质，同时考查分类讨论和数形结合的思想. 本题属于中等题.
【试题14】（2008年湖北卷理科第10题）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点[P]变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在[P]点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在[P]点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.若用[2c1]和[2c2]分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用[2a1]和[2a2]分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①[a1+c1=a2+c2]；
②[a1-c1=a2-c2]；
③[c1a2>a1c2]；
④[c1a10,]
[b>0]，称[2aba+b]为[a,b]的调和平均数. 如图，[C]为线段[AB]上的点，且[AC=a,][CB=b]，[O]为[AB]中点，以[AB]为直径作半圆.过点[C]作[AB]的垂线交半圆于[D]，
连结[OD]，[AD]，[BD]. 过点[C]作[OD]的垂线，垂足为[E].则图中线段[OD]的长度是[a,b]的算术平均数，线段的长度是[a,b]的几何平均
数，线段 的长度是[a,b]的
调和平均数．
【答案】CD；DE
【说明】本题主要考查算术平均数、几何平均数的概念与即时定义的理解运用. 本题属于中等题.
【试题26】（2008年湖北卷理科第15题）观察下列等式：
[i=1ni=12n2+12n]，
[i=1ni2=13n3+12n2+16n]，
[i=1ni3=14n4+12n3+14n2]，
[i=1ni4=15n5+12n4+13n3-130n]，
[i=1ni5=16n6+12n5+512n4-112n2]，
[i=1ni6=17n7+12n6+12n5-16n3+142n]，
………………………………………………
[i=1nik=ak+1nk+1+aknk+ak-1nk-1+ak-2nk-2]
[++a1n+a0]，
可以推测，当[k≥2(k∈N*)]时，[ak+1=1k+1]，
[ak=12]，[ak-1=] ，[ak-2=]．
【答案】[k12]；0
【说明】本题考查学生的创新思维，通过观察、综合进而合情推理得到答案. 本题属于难题.
（三）解答题
【试题27】（2011年全国卷理科第17题）等比数列[an]的各项均为正数，且[2a1+3a2=1]，[a32=9a2a6.]
（Ⅰ）求数列[an]的通项公式；
（Ⅱ）设[bn=log3a1+log3a2++log3an,]求数列[1bn]的前n项和.
【答案】
（Ⅰ）设数列[an]的公比为q，由[a23=9a2a6]得[a23=9a24]，所以[q2=19].
由条件可知[q>0],故[q=13].
由[2a1+3a2=1]得[2a1+3a1q=1]，所以[a1=13].
故数列[an]的通项公式为[an=13n].
（Ⅱ）[bn=log3a1+log3a2++log3an=-(1+2]
[++n)=-n(n+1)2].
故[1bn=-2n(n+1)=-2(1n-1n+1)]，
[1b1+1b2++1bn=-2[(1-12)+(12-13)+]
[+(1n-1n+1)]=-2nn+1].
所以数列[1bn]的前n项和为[-2nn+1].
【说明】本题考查等比数列、等差数列的通项公式与前n项和公式.本题属于容易题.
【试题28】（2011年湖北卷理科第19题）已知数列[an]的前[n]项和为[Sn]，且满足：[a1=a][(a≠0)]，[an+1=]
[rSn(n∈N*,r∈R,r≠-1)].
（Ⅰ）求数列[an]的通项公式；
（Ⅱ）若存在[k∈N*]，使得[Sk+1]，[Sk]，[Sk+2]成等差数列，试判断：对于任意的[m∈N*]，且[m≥2]，[am+1]，
[am]，[am+2]是否成等差数列，并证明你的结论.
【答案】
（Ⅰ）由已知[an+1=rSn]，可得[an+2=rSn+1]，两式相减可得
[an+2-an+1=r(Sn+1-Sn)=ran+1]，
即[an+2=(r+1)][an+1].又[a2=ra1=ra]，所以
当[r=0]时，数列[an]即为：[a]，[0]，…，[0]，…；
当[r≠-1,r≠0]时，由已知[a≠0]，所以[an≠0(n∈N*)，]
于是由[an+2=(r+1)an+1]可得[an+2an+1=r+1(n∈N*)]，由定义知[a2]，[a3]，…，[an]，…成等比数列，
所以当[n≥2]时，[an=r(r+1)n-2a].
综上，可得数列[an]的通项公式为
[an=a,n=1,r(r+1)n-2a,n≥2.]
（Ⅱ）对于任意的[m∈N*]，且[m≥2]，[am+1]，[am]，[am+2]成等差数列. 证明如下：
当[r=0]时，由（Ⅰ）知，[an=a,n=1,0,n≥2.]，[Sn=a]，即数列[Sn]是等差数列，且对于任意的[m∈N*]，且[m≥2]，[am+1]，[am]，[am+2]成等差数列；
当[r≠-1,r≠0]时，∵[Sk+2=Sk+ak+1+ak+2]，
[Sk+1=][Sk+ak+1]．
若存在[k∈N*]，使得[Sk+1]，[Sk]，[Sk+2]成等差数列，则[Sk+1+Sk+2=2Sk]，
∴[2Sk+2ak+1+ak+2=2Sk]，即[ak+2=-2ak+1].
由（Ⅰ）知，[a2]，[a3]，…，[an]，…的公比[r+1=-2]，
于是对于任意的[m∈N*]，且[m≥2]，[am+1=-2am]，
从而[am+2=4am]，
数学
∴[am+1+am+2=2am]，即[am+1]，[am]，[am+2]成等差数列.
【说明】本题考查等差数列、等比数列的基础知识. 本题属于难题.
【试题29】（2011年湖北卷理科第16题）设
△[ABC]的内角[A]、[B]、[C]所对的边分别为[a]、[b]、[c]. 已知[a=1]，[b=2]，[cosC=14]．
（Ⅰ）求△[ABC]的周长；
（Ⅱ）求[cos(A-C)]的值．
【答案】
（Ⅰ）∵[c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4×14=4]，
∴[c=2].
∴△[ABC]的周长为[a+b+c=1+2+2=5].
（Ⅱ）∵[cosC=14]，
∴[sinC=1-cos2C=1-(14)2=154].
∴[sinA=asinCc=1542=158].
∵[a0,]
[ω>0,φ∈[0,2π))]的形式；
（Ⅱ）求函数[g(x)]的值域.
【答案】（Ⅰ）
[g(x)=cosx1-sinx1+sinx+sinx1-cosx1+cosx]
[=cosx(1-sinx)2cos2x+sinx(1-cosx)2sin2x]
[=cosx1-sinxcosx+sinx1-cosxsinx]
∵[x∈(π,17π12]]， ∴ [cosx=-cosx]，[sinx=-sinx].
∴[g(x)=cosx1-sinx-cosx+sinx1-cosx-sinx]
[=sinx+cosx-2=2sin(x+π4)-2].
（Ⅱ）解法1：由[π 于是[VD=(a2,a2,-22atanθ)]，[CD=(a2,a2,0)]，
[AB=(-a,a,0)].
从而[ABCD=(-a,a,0)(a2,a2,0)=-12a2+]
[12a2+0=0]，即[AB⊥CD.]
同理[ABVD=(-a,a,0)(a2,a2,-22a][tanθ)]
[=-12a2+12a2+0=0]，即[AB⊥VD.]
又[CDVD=D]，∴[AB⊥]平面[VCD]. 又[AB]平面[VAB]，
∴平面[VAB⊥]平面[VCD.]
（Ⅱ）设直线[BC]与平面[VAB]所成的角为[φ]，平面[VAB]的一个法向量为[n=(x,y,z)]，则由[nAB=0,nVD=0,]
得[-ax+ay=0,a2x+a2y-22aztanθ=0.]
可取[n=(1,1,2cotθ)]，又[BC=(0,-a,0)]，
于是
[sinφ=|nBC|n||BC||=aa2+2cot2θ=22sinθ]，
∵[00]，
解得[t10]，又[0 [=2(p1-q1)+(p2-q2)-p1p2+q1q2]
[=2(p1-q1)+(p2-q2)-(p1-q1)p2-q1(p2-q2)]
[=(2-p2)(p1-q1)+(1-q1)(p2-q2)]
[≥(1-q1)(p1+p2)-(q1+q2)≥0 ]
即(※)成立.
（方法二）：①可将（Ⅱ）中所求的EX改写为[3-(q1]
[+q2)+q1q2-q1]，若交换前两人的派出顺序，则变为
[3-(q1+q2)+q1q2-q2].
由此可见，当[q2>q1]时，交换前两人的派出顺序可减小均值.
②也可将（Ⅱ）中所求的EX改写为[3-2q1-(1-q1)]
[q2]，若交换后两人的派出顺序,则变为[3-2q1-(1-q1)]
[q3].
由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当[q3>q2]时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.
综合①②可知，当[(q1,q2,q3)=(p1,p2,p3)]时，EX达到最小，即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.
【说明】本题考查相互独立事件的概率计算，离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识.本题属于难题.
【试题35】（2006年湖北卷理科第20题）设[A]、[B]分别为椭圆[x2a2+y2b2=1(a,b>0)]的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且[x=4]为它的右准线.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设[P]为右准线上不同于点[(4,0)]的任意一点，若直线[AP]、[BP]分别与椭圆相交于异于[A]、[B]的点[M]、[N]，证明点[B]在以[MN]为直径的圆内.
【答案】
（Ⅰ）解：依题意得[a=2c,a2c=4,]解得[a=2,c=1.]
从而[b=3]，
故椭圆方程为[x24+y23=1.]
（Ⅱ）由（Ⅰ）得[A(-2,0),B(2,0)].
设[M(x0,y0).]
∵[M]点在椭圆上，∴[y20=344-x20.]①
又[M]点异于顶点[A]、[B]，∴[-20]，∴[BMBP>0].
于是[∠MBP]为锐角，从而[∠MBN]为钝角，故点[B]在以[MN]为直径的圆内.
【说明】本题考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力. 本题属于中等题.
【试题36】（2007年湖北卷理科第19题）在平面直角坐标系[xOy]中，过定点[C(0,p)]作直线与抛物线[x2=2py(p>0)]相交于[A]、[B]两点.
（Ⅰ）若点[N]是点[C]关于坐标原点[O]的对称点，求[ΔANB]面积的最小值；
（Ⅱ）是否存在垂直于[y]轴的直线[l]，使得[l]被以[AC]为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出[l]的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）依题意，点[N]的坐标为[N(0,-p)]，可
设[A(x1,y1),B(x2,y2)]，直线[AB]的方程为[y=kx+p]，与
[x2=2py]联立得[x2=2py,y=kx+p.]消去[y]得[x2-2pkx-2p2]
[=0.]
由韦达定理得[x1+x2=2pk]，[x1x2=-2p2.] ①
由①式，得到三角形的面积函数表达式有以下途径：
方法1：利用弦长公式和三角形面积公式
[AB=1+k2|x1-x2|]
[=1+k2(x1+x2)2-4x1x2]
[=1+k24p2k2+8p2]
数学
[=2p1+k2k2+2]，
又由点到直线的距离公式得[d=2p1+k2]，
从而[SΔABN=12d|AB|]
[=122p1+k2k2+22p1+k2=2p2k2+2]，
方法2：利用面积和的方式
[SΔABN=SΔBCN+SΔACN=122p|x1-x2|]
[=p|x1-x2|=p(x1+x2)2-4x1x2]
[=p4p2k2+8p2=2p2k2+2]，
方法3：利用向量形式的三角形面积公式
∵[kAN=kx1+2px1,kBN=kx2+2px2]，
∴[tanANB=kAN-kBN1+kANkBN]
[=2p(x2-x1)(1+k2)x1x2+2pk(x1+x2)+4p2]
[=2k2+2k2+1].
而[SΔABN=12|ANBNtanANB|]
[=12[(1+k2)(-2p2)+4p2(1+k2)]2k2+2k2+1]
[=][2p2k2+2]，
由此可见，当[k=0]时，[(SΔABN)min=22p2.]
（Ⅱ）假设满足条件的直线[l]：[y=a]存在，[AC]的中点为[O′]，[l]与以[AC]为直径的圆相交于点[P]、[Q]，[PQ]的中点为[H]，则[O′H⊥PQ]，[O′]点的坐标为[(x12,y1+p2)].
∵[|O′P|=12|AC|=12x21+(y1-p)2][=12y21+p2]，
[|O′H|=|a-y1+p2|=12|2a-y1-p|]，
∴[|PH|2=|O′P|2-|O′H|2]
[=14(y21+p2)-14(2a-y1-p)2]
[=(a-p2)y1+a(p-a)]，
∴[PQ2=(2PH)2=4[(a-p2)y1+a(p-a)].]
令[a=p2]，得[a=p2]，此时[PQ=p]为定值，故满足条件的直线[l]存在，其方程为[y=p2]，
即抛物线的通径所在的直线.
【说明】本题考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查代数化研究解析几何问题的思想和方法，以及综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力. 本题属于难题.
【试题37】（2007年湖北卷理科第21题）已知[m,n]为正整数.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当[x>-1]时，[(1+x)m≥1]
[+mx]；
（Ⅱ）对于[n≥6]，已知[(1-1n+3)n ∵[x>-1]，∴[1+x>0.]于是在不等式[(1+x)k≥1][+]
[kx]两边同乘以[1+x]得[(1+x)k(1+x)≥(1+kx)(1+x)]
[=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x]，
所以[(1+x)k+1≥1+(k+1)x.] 即当[m=k+1]时，不等式也成立.
综合（?）、（?）知，对一切正整数[m]，不等式都成立.
（Ⅱ）证：当[n≥6]，[m≤n]时，由（Ⅰ）得[(1-1n+3)m]
[≥1-mn+3>0]，
于是[(1-mn+3)n≤(1-1n+3)mn]
[=[(1-1n+3)n]m0]，[g(x)=(a2+254)ex]. 若存在[ξ1,ξ2∈]
[[0,4]]使得[f(ξ1)-g(ξ2)-4]时，[x1>x2.] 故[f(x)]在[(-∞,-a-1]]上为减函数，在[[-a-1,3]]上为增函数，在[[3,+∞)]上为减函数.
（Ⅱ）解法1：（顺向思考方法）当[a>0]时，[-a-10.]
解得[0 （Ⅱ）解法2：（逆向思考方法）“存在[ξ1,ξ2∈[0,4]]使得[f(ξ1)-g(ξ2)0]的前提下，可解得[a≥32]，
故取补集可得问题（Ⅱ）所求[a]的取值范围为[(0,32).]
【说明】本题将函数与不等式有机整合，主要考查函数的单调性和值域的概念，围绕着这个概念，重点考查函数的单调区间和最值的求法. 考点涉及到复合函数的求导、函数性质、不等式解法、集合关系等. 本题属于难题.
【试题39】（2011年湖北卷理科第21题）（Ⅰ）已知函数[f(x)=lnx-x+1]，[x∈(0,+∞)]，求函数[f(x)]的最大值；
（Ⅱ）设[ak,bk(k=1,2,,n)]均为正数，证明：
（1）若[a1b1+a2b2++anbn≤b1+b2++bn]，则[a1b1a2b2anbn≤1]；
（2）若[b1+b2++bn=1]，则[1n≤b1b1b2b2bnbn]
[≤b21+b22++b2n].
【答案】
（Ⅰ）解：[f(x)]的定义域为[(0,+∞)]. 令[f′(x)=]
[1x-1=0]，解得[x=1].当[00]，所以[f(x)]在[(0,1)]内是增函数；
当[x>1]时，[f′(x)0]，从而有[lnak≤ak-1] [(k=1,2,,n)]，得[bklnak≤akbk-bk].
求和得[k=1nlnakbk≤k=1nakbk-k=1nbk].
[∵k=1nakbk≤k=1nbk]，[∴ln(a1b1a2b2anbn)≤0]，即[a1b1a2b2anbn≤1].
（2）①先证[b1b1b2b2bnbn≥1n].
令[ak=1nbk] [k=1,2,,n]，
则[k=1nakbk=k=1n1n=1=k=1nbk]，
于是由（1）得[(1nb1)b1(1nb2)b2(1nbn)bn≤1]，
即[1b1b1b2b2bnbn≤nb1+b2++bn=n]，
[∴][b1b1b2b2bnbn≥1n].
②再证[b1b1b2b2bnbn≤b21+b22++b2n].
记[S=k=1nb2k]，令[ak=bkS][(k=1,2,,n)]，则
[k=1nakbk=1Sk=1nb2k=1=k=1nbk]，
于是由（1）得[(b1S)b1(b2S)b2(bnS)bn≤1]，
即[b1b1b2b2bnbn≤Sb1+b2++bn=S]，
∴[b1b1b2b2bnbn≤b21+b22++b2n].
综合①②，（2）得证.
证法2：（1）由（Ⅰ）知，当[x∈(0,+∞)]时，有[f(x)][≤f(1)=0]，即[lnx≤x-1].
因为[ak>0(k=1,2,,n)]，所以[lnak≤ak-1]
[(k=1,2,,n)].
又由[a1b1+a2b2++anbn≤b1+b2++bn]，
得[b1(a1-1)+b2(a2-1)++bn(an-1)≤0].
于是由[bk>0(k=1,2,,n)]，可得
[ln(a1b1a2b2anbn)=b1lna1+b2lna2++bnlnan]
[≤b1(a1-1)+b2(a2-1)++bn(an-1)≤0]，
即[a1b1a2b2anbn≤1].
（2）①先证[b1b1b2b2bnbn≥1n].
由（Ⅰ）知，当[x∈(0,+∞)]时，有[fx][≤f1][=0]，
即[lnx≤x-1].
所以当[x∈(0,+∞)]时，有[ln1x≤1x-1]，
即[lnx≥1-1x].
从而由[nbk>0(k=1,2,,n)]，
有[lnnbk≥1-1nbk][(k=1,2,,n)].
因为[bk>0(k=1,2,,n)]，且[b1+b2++bn]
[=1]，所以
[ln(b1b1b2b2bnbn)+lnn=b1lnb1+b2lnb2++]
[bnlnbn+(b1+b2++bn)lnn]
[=b1(lnb1+lnn)+b2(lnb2+lnn)++bn(lnbn+lnn)][=b1lnnb1+b2lnnb2++bnlnnbn]
[≥b1(1-1nb1)+b2(1-1nb2)++bn(1-1nbn)][=b1+b2++bn-1=0]，
即[ln(b1b1b2b2bnbn)≥-lnn=ln1n]，
故[b1b1b2b2bnbn≥1n].
②再证[b1b1b2b2bnbn≤b21+b22++b2n].
记[S=k=1nb2k]，则同前可得[lnbkS≤bkS-1][(k=1,2,]
[,n)]，
于是[ln(b1b1b2b2bnbn)-lnS][=b1lnb1+b2lnb2+]
[+bnlnbn-(b1+b2++bn)lnS]
[=b1(lnb1-lnS)+b2(lnb2-lnS)+bn(lnbn-lnS)][=b1lnb1S+b2lnb2S+bnlnbnS]
[≤b1(b1S-1)+b2(b2S-1)++bn(bnS-1)]
[=1S(b21+b22+b2n)-(b1+b2++bn)]
[=1-1=0]，即[ln(b1b1b2b2bnbn)-lnS≤0]，
故[b1b1b2b2bnbn≤b21+b22++b2n].
综合①②，（2）得证.
【说明】本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想. 本题属于难题.
二、选考内容题型示例
【试题1】（2011年广东卷理科第14题）（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为[x=5cosθy=sinθ(0≤θ0)]的焦点，则[b=]
A.3 B.[5] C.[3] D.[2]
【答案】C
【说明】本题主要考查双曲线、椭圆相关参数的概念、性质和有关的计算. 本题属于容易题.
【试题6】（2006年湖北卷文科第5题）
甲：[A1]、[A2]是互斥事件；乙：[A1]、[A2]是对立事件，那么
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
【答案】B
【说明】本题考查互斥事件与对立事件两者的定义，以及区别和联系，同时考查常用逻辑用语的基础
数学
知识. 本题属于中等题.
【试题7】（2011年福建卷文科第5题）阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是
A.3
B.11
C.38
D.123
【答案】B
【说明】本题考查算法的基本逻辑结构中的顺序结构、条件结构、循环结构. 本题属于中等题.
【试题8】（2005年湖北卷文科第4题）函数[y=elnx-x-1]的图象是
【答案】D
【说明】本题考查绝对值的概念、对数运算、函数的图象与性质，同时考查分类讨论和数形结合的思想.本题属于中等题.
【试题9】（2011年江西卷文科第7题）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为[me]，众数为[m0]，平均值为[x]，则
A.[me=m0=x]
B.[me=m0
【答案】[3π]
【说明】本题考查简单空间图形的三视图及其侧面积的计算公式.本题属于容易题.
【试题17】（2010年浙江卷文科第11题）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是
、
[甲 乙82991345254826785535667]
【答案】45、46
【说明】本题考查茎叶图.本题属于容易题.
【试题18】（2010年湖北卷文科第12题）已知[z=]
[2x-y]，式中变量[x,y]满足约束条件
[y≤x,x+y≥1x≤2,,]则[z]的最大值为．
【答案】5
【说明】本题考查用二元一次不等式表示平面区域，以及简单的线性规划问题.本题属于容易题.
【试题19】（2007年湖北卷文科第12题）过双曲线[x24-y23=1]左焦点[F1]的直线交双曲线的左支于[M]、[N]两点，[F2]为其右焦点，则[|MF2|+|NF2|-|MN|]的值为.
【答案】8
【说明】本题考查双曲线的定义及其标准方程. 本题属于中等题.
【试题20】（2007年湖北卷文科第13题）已知函数[y=f(x)]的图象在点[M(1,f(1))]处的切线方程是[y=12x+2]，则[f(1)+f?(1)=].
【答案】3
数学
【说明】本题考查了函数与导数的几何意义，考查了数形结合的思想.本题属于中等题.
【试题21】（2011年湖北卷文科第15题）里氏震级M的计算公式为：[M=lgA-lgA0]，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，[A0]是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍．
【答案】6，10000
【说明】本题考查对数的恒等变换以及与指数的关系， 同时考查运用对数与指数知识解决实际问题的能力.本题属于中等题.
【试题22】（2006年湖北卷文科第15题）半径为[r]的圆的面积[S(r)=πr2]，周长[C(r)=2πr]，若将[r]看作[(0,+∞)]上的变量，则
[(πr2)?=2πr.]①
①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.
对于半径为[R]的球，若将[R]看作[(0,+∞)]上的变量，请你写出类似于①的式子：
②式可用语言叙述为：
【答案】[43πR3?=4πR2]；球的体积函数的导数等于球的表面积函数.
【说明】本题考查球的体积、表面积公式、导数等基础知识，同时考查考生的直观感知、类比推理的思维意识和数学符合语言与文字语言的转换能力. 本题属于中等题.
三、解答题
【试题23】（2011年全国卷文科第17题）已知等比数列[an]中，[a1=13]，公比[q=13].
（Ⅰ）[Sn]为[an]的前n项和，证明：[Sn=1-an2]；
（Ⅱ）设[bn=log3a1+log3a2+log3an]，求数列[bn]的通项公式.
【答案】
（Ⅰ）因为[an=13×(13)n-1=13n]，
[Sn=13(1-13n)1-13=1-13n2]，
所以[Sn=1-an2].
（Ⅱ）[bn=log3a1+log3a2+log3an][=-((1+2+]
[+n)=-n(n+1)2].
所以[bn]的通项公式为[bn=-n(n+1)2].
【说明】本题考查等比数列、等差数列的通项公式与前n项和公式.本题属于容易题.
【试题24】（2011年湖北卷文科第17题） 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列[{bn}]中的[b3、b4、b5]．
（Ⅰ）求数列[{bn}]的通项公式；
（Ⅱ）数列[{bn}]的前[n]项和为[Sn]，求证：数列[{Sn+54}]是等比数列．
【答案】
（Ⅰ）设成等差数列的三个正数分别为[a-d,a,]
[a+d]．
依题意，得[a-d+a+a+d=15]，解得[a=5.]
所以数列[{bn}]中的[b3,b4,b5]依次为[7-d,10,18]
[+d]．
依题意，有[(7-d)(18+d)=100]，解得[d=2]或[d=]
[-13]（舍去）．
故[{bn}]的第3项为5，公比为2．
由[b3=b122]，即[5=b122]，解得[b1=54]．
所以[{bn}]是以[54]为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为
[bn=542n-1=52n-3]．
（Ⅱ）数列[{bn}]的前[n]项和[Sn=54(1-2n)1-2=52n-2]
[-54,] 即[Sn+54=52n-2]．
所以[S1+54=52]，[Sn+1+54Sn+54=52n-152n-2=2]．
因此[{Sn+54}]是以[52]为首项，公比为2的等比数列.
【说明】本题考查等差数列、等比数列及其前[n]项和公式.本题属于中等题.
【试题25】（2011年湖北卷文科第16题）设△[ABC]的内角[A]、[B]、[C]所对的边分别为[a]、[b]、[c]. 已知[a=1]，[b=2]，[cosC=14]．
（Ⅰ）求△[ABC]的周长；
数学
（Ⅱ）求[cos(A-C)]的值．
【答案】
（Ⅰ）∵[c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4×14=4]，
∴[c=2].
∴△[ABC]的周长为[a+b+c=1+2+2=5].
（Ⅱ）∵[cosC=14]，
∴[sinC=1-cos2C=1-(14)2=154].
∴[sinA=asinCc=1542=158].
∵[a0,ω>0,φ∈[0,2π))]的形式，并指出[f(x)]的周期；
（Ⅱ）求函数[f(x)]在[π,17π12]上的最大值和最小值.
【答案】
（Ⅰ）[f(x)=12sinx+1+cosx2-2][=12(sinx+]
[cosx)-32][=22sin(x+π4)-32]，
故[f(x)]的周期为[2π].
（Ⅱ）由[π≤x≤1712π]，得[54π≤x+π4≤53π]. 因为[f(x)=22sin(x+π4)-32]在[π,5π4]上是减函数，在[5π4,17π12]上是增函数. 故当[x=5π4]时，[f(x)]有最小值[-3+22]；
而[f(π)=-2]，[f(1712π)=-6+640]，[V（x）]为增函数；
当[2 [∴HF⊥]平面PEG.
又[BD∥HF]，
[∴BD⊥]平面PEG.
【说明】本题考查简单空间图形的三视图和体积的计算，以及空间直线和平面的位置关系.本题属于中等题.
【试题29】（2011年北京卷文科第17题）如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.
（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；
（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；
（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.
【答案】
（Ⅰ）因为D，E分别为AP，AC的中点，
所以DE//PC.
又因为DE[]平面BCP，
所以DE//平面BCP.
（Ⅱ）因为D，E，F，G分别为
AP，AC，BC，PB的中点，
所以DE//PC//FG，
DG//AB//EF.
所以四边形DEFG为平行四边形，
又因为PC⊥AB，
所以DE⊥DG，
所以四边形DEFG为矩形.
（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：
连接DF，EG，设Q为EG的中点.
由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=
[12]EG.
分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.
与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，
且QM=QN=[12]EG，
所以Q为满足条件的点.
【说明】本题考查空间几何体的直线与直线、直线与平面的位置关系.本题属于中等题.
【试题30】（2010年湖北卷文科第19题）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为[a]（单位：m2）, 其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10％建设新住房,同时也拆除面积为[b]（单位：m2）的旧住房.
数学
（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；
（Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积[b]是多少？（计算时可取[1.15=1.6]）
【答案】
（Ⅰ）第[1]年末的住房面积：
[a1110-b=1.1a-b]；
第[2]年末的住房面积：
[(a1110-b)1110-b=a(1110)2-b(1+1110)]
[=1.21a-2.1b]．
（Ⅱ）第[3]年末的住房面积：
[[a(1110)2-b(1+1110)]][1110-b]
[=a(1110)3][-b[1+1110+(1110)2],]
第[4]年末的住房面积：
[a(1110)4-b[1+1110+(1110)2][+(1110)3]]，
第[5]年末的住房面积：
[a(1110)5-b[1+1110+(1110)2+(1110)3+(1110)4]]
[=1.15a-1-1.151-1.1b=1.6a-6b]，
依题意可知，[1.6a-6b=1.3a]，解得[b=a20]，每年应拆除的旧住房面积为[b=a20]．
【说明】本题考查运用所学数列等相关知识分析和解决实际问题的能力.本题属于难题.
【试题31】（2011年天津卷文科第15题）
编号为[A1,A2,,A16]的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
[运动员
编号[A1][A2][A3][A4][A5][A6][A7][A8]得分1535212825361834运动员
编号[A9][A10][A11][A12][A13][A14][A15][A16]得分1726253322123138]
（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；
[区间[10,20][20,30][30,40]人数]
（Ⅱ）从得分在区间[20,30]内的运动员中随机抽取2人，
①用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2人得分之和大于50的概率．
【答案】
（Ⅰ）4，6，6
（Ⅱ）①得分在区间[[20,30)]内的运动员编号为[A3,A4,A5,A10,A11,A13.]从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：
[{A3,A4},{A3,A5},{A3,A10},{A3,A11},{A3,A13},]
[{A4,A5},][{A4,A10}]，[{A4,A11},{A4,A13},{A5,A10},]
[{A5,A11},{A5,A13},][{A10,A11},{A10,A13},{A11,A13}]，共15种.
②“从得分在区间[[20,30)]内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B）的所有可能结果有：[{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A5,A10},]
[{A10,A11}]，共5种.
所以[P(B)=515=13.]
【说明】本题考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型以及概率计算公式等基础知识.本题属于中等题.
【试题32】（2006年湖北卷文科第21题）设[A]、[B]分别为椭圆[x2a2+y2b2=1(a,b>0)]的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且[x=4]为它的右准线.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设[P]为右准线上不同于点[(4,0)]的任意一点，若直线[AP]、[BP]分别与椭圆相交于异于[A]、[B]的点[M]、[N]，证明点[B]在以[MN]为直径的圆内.
【答案】解：（Ⅰ）依题意得[a=2c,a2c=4,]解得 [a=2,c=1.]
从而[b=3]，
故椭圆方程为[x24+y23=1.]
（Ⅱ）由（Ⅰ）得[A(-2,0),B(2,0)].设[M(x0,y0).]
∵[M]点在椭圆上，∴[y20=344-x20.] ①
又[M]点异于顶点[A]、[B]，∴[-20]，∴[BMBP>0].于是[∠MBP]为锐角，从而[∠MBN]为钝角，故点[B]在以[MN]为直径的圆内.
【说明】本题考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力. 本题属于难题.
【试题33】（2010年湖北卷文科第21题）设函数[f(x)=13x3-a2x2+bx+c]，其中[a>0].曲线[y=f(x)]在
点[P(0,f(0))]处的切线方程为[y=1]．
（Ⅰ）确定[b,c]的值；
（Ⅱ）设曲线[y=f(x)]在点[(x1,f(x1))]及[(x2,f(x2))]处的切线都过点[(0,2)].证明：当[x1≠x2]时，[f(x1)≠]
[f(x2)]；
（Ⅲ）若过点[(0,2)]可作曲线[y=f(x)]的三条不同切线，求[a]的取值范围．
【答案】
（Ⅰ）由[f(x)=13x3-a2x2+bx+c]得：[f(0)=c]，
[f(x)=x2-ax+b]，[f(0)=b]．
又由曲线[y=f(x)]在点[P(0,f(0))]处的切线方程为[y=1]，得[f(0)=1,f(0)=0]. 故[b=0,c=1]．
（Ⅱ）[f(x)=13x3-a2x2+1]，[f(x)=x2-ax]．
由于点[(t,f(t))]处的切线方程为[y-f(t)=f′(t)][(x][-]
[t)]，而点[(0,2)]在切线上，
所以[2-f(t)=f(t)(-t)]，化简得[23t3-a2t2+1=0]，即[t]满足的方程为[23t3-a2t2+1=0]．
下面用反证法证明．
假设[f(x1)=f′(x2)]，由于曲线[y=f(x)]在点[(x1,f(x1))]及[(x2,f(x2))]处的切线都过点[(0,2)]，则下列等式成立：
[23x31-a2x21+1=01(1)23x32-a2x22+1=01(2)x21-ax1=x22-ax21(3)]
由（3）得[x1+x2=a].由[(1)-(2)]得
[x21+x1x2+x22=34a2(4)]
又[x21+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x2=a2-x1(a-]
[x1)][=x21-ax1+a2=(x1-a2)2+34a2][≥34a2]，
故由（4）得[x1=a2]，此时[x2=a2]，与[x1≠x2]矛盾．所以[f′(x1)≠f′(x2)]．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，过点[(0,2)]可作[y=f(x)]的三条切线，等价于方程[2-f(t)=f′(t)(0-t)]有三个相异的实根，即等价于方程[23t3-a2t2+1=0]有三个相异的实根．
设[g(t)=23t3-a2t2+1]，则[g′(t)=2t2-at=2t(t-]
[a2)].由于[a>0]，故有
由[g(t)]的单调性知：要使[g(t)=0]有三个相异的实根，当且仅当[1-a324233]．
[∴a]的取值范围是[(233,+∞)]．
【说明】本题以三次多项式作为载体，考查函数的单调性、极值、导数等基本知识，本题较好地考查了综合运用数学知识进行推理论证的能力和数形结合思想. 本题属于难题.