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山东省济宁市嘉祥县2017-2018学年七年级(下)期末数学试卷(解析版) 山东济宁市嘉祥县

时间:2020-04-03 14:10:13 来源:东星资源网

山东省济宁市嘉祥县2017-2018学年七年级(下)期末数学试卷(解析版)   一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.根据下列表述,能确定位置的是(  ) A.东经118°,北纬40° B.江东大桥南 C.北偏东30° D.某电影院第2排 2.为了了解某校初三年级400名学生的体重情况,从中抽查了50名学生的体重进行统计分析,在这个问题中,总体是(  ) A.400名学生的体重 B.被抽取的50名学生 C.400名学生 D.被抽取的50名学生的体重 3.在平面直角坐标系中,点P(3,﹣x2﹣1)所在的象限是(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.如果关于x的不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1,那么a的取值范围是(  ) A.a>0 B.a<0 C.a>﹣1 D.a<﹣1 5.若x、y满足方程组,则x﹣y的值等于(  ) A.﹣1 B.1 C.2 D.3 6.如图:AB∥CD,直线MN与AB交于E,过点E作直线HE⊥MN,∠1=130°,则∠2等于(  ) A.50° B.40° C.30° D.60° 7.下列选项中正确的是(  ) A.27的立方根是±3 B.的平方根是±4 C.9的算术平方根是3 D.立方根等于平方根的数是1 8.甲、乙两种商品原来的单价和为100元,因市场变化,甲商品降价10%,乙商品提价40%,调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%、若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元,则下列方程组正确的是(  ) A. B. C. D. 9.如图,木工师傅在一块木板上画两条平行线,方法是:用角尺画木板边缘的两条垂线,这样画的理由有下列4种说法:其中正确的是(  ) ①同位角相等,两直线平行;

②内错角相等,两直线平行;

③同旁内角互补,两直线平行;

④平面内垂直于同一直线的两条直线平行. A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①③ 10.若关于x的一元一次不等式组有解,则m的取值范围为(  ) A. B.m≤ C. D.m≤   二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分,把答案填在题中横线上. 11.若|x+3|+=0,则xy的值为      . 12.已知关于x的不等式x﹣a<1的解集如图所示,则a的值为      . 13.若方程4xm﹣n﹣5ym+n=6是二元一次方程,则m=      ,n=      . 14.如图,两个直角三角形重叠在一起,将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,AB=6,BC=9,DH=2,平移距离为3,则阴影部分的面积是      . 15.在平面直角坐标系中,点A1(1,2),A2(2,5),A3(3,10),A4(4,17),…,用你发现的规律确定点An的坐标为      .   三、解答题:本大题共7小题,共55分,解答应写出证明过程或演算步骤. 16.(1)解方程组:;

(2)解不等式组:. 17.如图,已知:AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∠E=∠1.求证:AD平分∠BAC. 下面是部分推理过程,请你将其补充完整:
∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G (已知) ∴∠ADC=∠EGC=90° ∴AD∥EG      . ∴∠1=∠2      .       =∠3(两直线平行,同位角相等) 又∵∠E=∠1(已知) ∴∠2=∠3      . ∴AD平分∠BAC      . 18.甲乙两人解方程组.由于甲看错了方程①中的m的值,得到方程组的解为,乙看错了方程②中的n的值,得到方程组的解为,试求m2+n2+mn的值. 19.某市球类运动协会为了筹备一次大型体育活动,购进了一定数量的体育器材,器材管理员对购买的部分器材进行了统计,图表和图是器材管理员通过采集数据后,绘制的两幅不完整的频率分布表与频数分布直方图.请你根据图表中提供的信息,解答以下问题:
频率分布表 器材种类 频数 频率 排 球 20 乒乓球拍 50 0.50 篮 球 25 0.25 足 球 合 计 1 (1)填充频率分布表中的空格. (2)在图中,将表示“排球”和“足球”的部分补充完整. (3)若该协会购买这批体育器材时,篮球和足球一共花去950元,且足球每个的价格比篮球多10元,现根据筹备实际需要,准备再采购篮球和足球这两种球共10个(两种球的个数都不能为0),计划资金不超过320元,试问该协会有哪几种购买方案? 20.某中学计划从办公用品公司购买A,B两种型号的小黑板.经洽谈,购买一块A型小黑板比购买一块B型小黑板多用20元,且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元. (1)求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需多少元. (2)根据该中学实际情况,需从公司购买A,B两种型号的小黑板共60块,要求购买A,B两种型号小黑板的总费用不超过5240元.并且购买A型小黑板的数量不小于购买B型小黑板数量的.则该中学从公司购买A,B两种型号的小黑板有哪几种方案?哪种方案的总费用最低? 21.我们用[a]表示不大于a的最大整数,例如:[2.5]=2,[3]=3,[﹣2.5]=﹣3;
用<a>表示大于a的最小整数,例如:<2.5>=3,<4>=5,<﹣1.5>=﹣1.解决下列问题:
(1)[﹣4.5]=      ,<3.5>=      . (2)若[x]=2,则x的取值范围是      ;
若<y>=﹣1,则y的取值范围是      . (3)已知x,y满足方程组,求x,y的取值范围. 22.如图,已知直线AC∥BD,直线AB、CD不平行,点P在直线AB上,且和点A、B不重合. (1)如图①,当点P在线段AB上时,若∠PAC=20°,∠PDB=30°,求∠CPD的度数;

(2)当点P在A、B两点之间运动时,∠PCA、∠PDB、∠CPD之间满足什么样的等量关系?(直接写出答案) (3)如图②,当点P在线段AB延长线运动时,∠PCA、∠PDB、∠CPD之间满足什么样的等量关系?并说明理由.   2017-2018学年山东省济宁市嘉祥县七年级(下)期末数学试卷 参考答案与试题解析   一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.根据下列表述,能确定位置的是(  ) A.东经118°,北纬40° B.江东大桥南 C.北偏东30° D.某电影院第2排 【分析】根据在平面内,要有两个有序数据才能清楚地表示出一个点的位置,即可得答案. 【解答】解:在平面内,点的位置是由一对有序实数确定的,只有A能确定一个位置, 故选A. 【点评】本题考查了在平面内,如何表示一个点的位置的知识点.   2.为了了解某校初三年级400名学生的体重情况,从中抽查了50名学生的体重进行统计分析,在这个问题中,总体是(  ) A.400名学生的体重 B.被抽取的50名学生 C.400名学生 D.被抽取的50名学生的体重 【分析】本题考查的是确定总体.解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据,而非考查的事物.”.我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时,首先找出考查的对象,从而找出总体、个体,再根据被收集数据的这一部分对象找出样本. 【解答】解:本题考查的对象是某校初三年级400名学生的体重情况,故总体是400名学生的体重. 故选:A. 【点评】解题要分清具体问题中的总体、个体与样本,关键是明确考查的对象.总体、个体与样本的考查对象是相同的,所不同的是范围的大小.样本容量是样本中包含的个体的数目,不能带单位.   3.在平面直角坐标系中,点P(3,﹣x2﹣1)所在的象限是(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【分析】根据非负数的性质判断出点P的纵坐标是负数,再根据各象限内点的坐标特征解答. 【解答】解:∵﹣x2﹣1≤﹣1, ∴点P(3,﹣x2﹣1)所在的象限是第四象限. 故选D. 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);
第二象限(﹣,+);
第三象限(﹣,﹣);
第四象限(+,﹣).   4.如果关于x的不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1,那么a的取值范围是(  ) A.a>0 B.a<0 C.a>﹣1 D.a<﹣1 【分析】本题可对a>﹣1,与a<﹣1的情况进行讨论.不等式两边同时除以一个正数不等号方向不变,同时除以一个负数不等号方向改变,据此可解本题. 【解答】解:(1)当a>﹣1时,原不等式变形为:x>1;

(2)当a<﹣1时,原不等式变形为:x<1. 故选:D. 【点评】本题考查了解简单不等式的能力,解答这类题学生往往在解题时不注意同除a+1时是否要改变符号这一点而出错. 解不等式要依据不等式的基本性质,在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式,不等号的方向不变.在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不变;
在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变.   5.若x、y满足方程组,则x﹣y的值等于(  ) A.﹣1 B.1 C.2 D.3 【分析】方程组两方程相减即可求出x﹣y的值. 【解答】解:, ②﹣①得:2x﹣2y=﹣2, 则x﹣y=﹣1, 故选:A. 【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.   6.如图:AB∥CD,直线MN与AB交于E,过点E作直线HE⊥MN,∠1=130°,则∠2等于(  ) A.50° B.40° C.30° D.60° 【分析】先根据平行线的性质及对顶角相等求出∠AEM的度数,再根据垂直的性质求出∠2的度数即可. 【解答】解:∵∠1=130°, ∴∠3=∠1=130°, ∵AB∥CD, ∴∠3=∠AEM, ∵HE⊥MN, ∴∠HEM=90°, ∴∠2=∠3﹣∠HEM=130°﹣90°=40°. 故选B. 【点评】本题涉及到的知识点为:(1)对顶角相等;
(2)两直线平行,同位角相等;
(3)垂线的定义.   7.下列选项中正确的是(  ) A.27的立方根是±3 B.的平方根是±4 C.9的算术平方根是3 D.立方根等于平方根的数是1 【分析】A、根据立方根的即可判定;

B、根据算术平方根、平方根的定义即可判定;

C、根据算术平方根的定义即可判定;

D、根据平方根、立方根的定义求解即可判定. 【解答】解:A、27的立方根是3,故选项错误;

B、的平方根是±2,故选项错误;

C、9的算术平方根是3,故选项正确;

D、立方根等于平方根的数是1和0,故选项错误. 故选C. 【点评】本题主要考查了平方根和立方根的性质,并利用此性质解题.平方根的被开数不能是负数,开方的结果必须是非负数;
立方根的符号与被开立方的数的符号相同.要注意一个正数的平方根有两个,它们互为相反数.   8.甲、乙两种商品原来的单价和为100元,因市场变化,甲商品降价10%,乙商品提价40%,调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%、若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元,则下列方程组正确的是(  ) A. B. C. D. 【分析】如果设甲商品原来的单价是x元,乙商品原来的单价是y元,那么根据“甲、乙两种商品原来的单价和为100元”可得出方程为x+y=100;
根据“甲商品降价10%,乙商品提价40%,调价后,两种商品的单价之和比原来的单价之和提高了20%”,可得出方程为x(1﹣10%)+y(1+40%)=100(1+20%). 【解答】解:设甲商品原来的单价是x元,乙商品原来的单价是y元. 根据题意列方程组:
. 故选:C. 【点评】找到两个等量关系是解决本题的关键,还需注意相对应的原价及相应的百分比得到的新价格.   9.如图,木工师傅在一块木板上画两条平行线,方法是:用角尺画木板边缘的两条垂线,这样画的理由有下列4种说法:其中正确的是(  ) ①同位角相等,两直线平行;

②内错角相等,两直线平行;

③同旁内角互补,两直线平行;

④平面内垂直于同一直线的两条直线平行. A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①③ 【分析】利用同位角相等(都等于90°),同旁内角互补,两条直线平行,或同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行作答. 【解答】解:由图可知,用角尺画木板边缘的两条垂线,这样画的理由:①同位角相等,两直线平行;
③同旁内角互补,两直线平行;
④平面内垂直于同一直线的两条直线平行. 故选C. 【点评】本题考查平行线的判定:同位角相等,两直线平行;
内错角相等,两直线平行;
同旁内角互补,两直线平行;
两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行;
在同一平面内,如果两条直线同时垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.   10.若关于x的一元一次不等式组有解,则m的取值范围为(  ) A. B.m≤ C. D.m≤ 【分析】先求出两个不等式的解集,再根据有解列出不等式组求解即可. 【解答】解:, 解不等式①得,x<2m, 解不等式②得,x>2﹣m, ∵不等式组有解, ∴2m>2﹣m, ∴m>. 故选C. 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法,其简便求法就是用口诀求解.求不等式组解集的口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解).   二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分,把答案填在题中横线上. 11.若|x+3|+=0,则xy的值为 9 . 【分析】直接利用非负数的性质得出x,y的值,进而利用有理数的乘方运算法则求出答案. 【解答】解:∵|x+3|+=0, ∴x=﹣3,y=2, 则xy=(﹣3)2=9. 故答案为:9. 【点评】此题主要考查了非负数的性质,正确得出x,y的值是解题关键.   12.已知关于x的不等式x﹣a<1的解集如图所示,则a的值为 1 . 【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法得出不等式的解集,再用a表示出不等式的解集,进而可得出a的值. 【解答】解:由题意可知,x<2, ∵解不等式x﹣a<1得,x<1+a, ∴1+a=2,解得a=1. 故答案为:1. 【点评】本题考查的是解一元一次不等式,熟知不等式的基本性质是解答此题的关键.   13.若方程4xm﹣n﹣5ym+n=6是二元一次方程,则m= 1 ,n= 0 . 【分析】根据二元一次方程的定义,可得x和y的指数分别都为1,列关于m、n的方程组,再求出m和n的值,最后代入可得到mn的值. 【解答】解:根据二元一次方程的定义,得 , 解得, 故答案为:1,0. 【点评】考查了二元一次方程的定义,二元一次方程必须符合以下三个条件:
(1)方程中只含有2个未知数;

(2)含未知数项的最高次数为一次;

(3)方程是整式方程.   14.如图,两个直角三角形重叠在一起,将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,AB=6,BC=9,DH=2,平移距离为3,则阴影部分的面积是 15 . 【分析】根据平移的性质,判断出△HEC∽△ABC,再根据相似三角形的性质列出比例式解答. 【解答】14.15解:由平移的性质知,BE=3,DE=AB=6, ∴HE=DE﹣DH=6﹣2=4, ∴S四边形HDFC=S梯形ABEH=(AB+EH)BE=(6+4)×3=15. 故答案为:15. 【点评】本题主要利用了平行线截线段对应成比例和平移的基本性质求解,找出阴影部分和三角形面积之间的关系是关键.   15.在平面直角坐标系中,点A1(1,2),A2(2,5),A3(3,10),A4(4,17),…,用你发现的规律确定点An的坐标为 (n,n2+1) . 【分析】首先观察各点坐标,找出一般规律,然后根据规律确定点An的坐标. 【解答】解:设An(x,y). ∵当n=1时,A1(1,1),即x=1,y=12+1, 当n=2时,A2(2,5),即x=2,y=22+1;

当n=3时,A3(3,10),即x=3,y=32+1;

当n=4时,A1(4,17),即x=4,y=42+1;

… ∴当n=n时,x=n,y=n2+1, 故答案为:(n,n2+1). 【点评】此题主要考查了点的坐标规律,解决本题的关键在于总结规律.对于寻找规律的题,应通过观察,发现哪些部分没有变化,哪些部分发生了变化,变化的规律是什么.   三、解答题:本大题共7小题,共55分,解答应写出证明过程或演算步骤. 16.(1)解方程组:;

(2)解不等式组:. 【分析】(1)先用加减消元法求出x的值,再用代入消元法求出y的值即可;

(2)分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可. 【解答】解:(1),①+②×3得,10x=50,解得x=5,把x=5代入②得,10+y=13,解得y=3. 故方程组的解为;

(2),由①得,x<3,由②得,x≥﹣2, 故方程组的解为:﹣2≤x<3. 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;
同小取小;
大小小大中间找;
大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.   17.如图,已知:AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∠E=∠1.求证:AD平分∠BAC. 下面是部分推理过程,请你将其补充完整:
∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G (已知) ∴∠ADC=∠EGC=90° ∴AD∥EG 同位角相等,两直线平行 . ∴∠1=∠2 两直线平行,内错角相等 .  ∠E =∠3(两直线平行,同位角相等) 又∵∠E=∠1(已知) ∴∠2=∠3 等量代换 . ∴AD平分∠BAC 角平分线的定义 . 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可. 【解答】解:∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G (已知) ∴∠ADC=∠EGC=90° ∴AD∥EG,(同位角相等,两直线平行). ∴∠1=∠2,(两直线平行,内错角相等). ∠E=∠3(两直线平行,同位角相等) 又∵∠E=∠1(已知) ∴∠2=∠3,(等量代换). ∴AD平分∠BAC.(角平分线的定义) 故答案为:同位角相等,两直线平行;
两直线平行,内错角相等;
∠E;
等量代换;
角平分线的定义. 【点评】本题考查的是平行线的判定与性质,用到的知识点为:同位角相等,两直线平行;
两直线平行,内错角相等,同位角相等.   18.甲乙两人解方程组.由于甲看错了方程①中的m的值,得到方程组的解为,乙看错了方程②中的n的值,得到方程组的解为,试求m2+n2+mn的值. 【分析】根据甲看错了方程①中的m,②没有看错,代入②得到一个方程求出n的值,乙看错了方程②中的n,①没有看错,代入①求出m的值,然后再把m、n的值代入代数式计算即可求解 【解答】解:根据题意得,4×(﹣3)﹣b(﹣1)=﹣2,5a+5×4=15, 解得m=﹣1,n=10, 把m=﹣1,n=10代入代数式,可得:
原式=91. 【点评】本题考查了二元一次方程的解,根据题意列出方程式解题的关键.   19.某市球类运动协会为了筹备一次大型体育活动,购进了一定数量的体育器材,器材管理员对购买的部分器材进行了统计,图表和图是器材管理员通过采集数据后,绘制的两幅不完整的频率分布表与频数分布直方图.请你根据图表中提供的信息,解答以下问题:
频率分布表 器材种类 频数 频率 排 球 20 乒乓球拍 50 0.50 篮 球 25 0.25 足 球 合 计 1 (1)填充频率分布表中的空格. (2)在图中,将表示“排球”和“足球”的部分补充完整. (3)若该协会购买这批体育器材时,篮球和足球一共花去950元,且足球每个的价格比篮球多10元,现根据筹备实际需要,准备再采购篮球和足球这两种球共10个(两种球的个数都不能为0),计划资金不超过320元,试问该协会有哪几种购买方案? 【分析】(1)根据乒乓球的总数为50,频数为0.50,求出体育器材总数,然后减去乒乓球、排球、篮球数目,即可得到足球频数、频率及合计数. (2)根据统计表中的数据,将统计图补充完整即可. (3)列方程求出篮球和足球的单价,再根据单价列出不等式,推知购买方案. 【解答】解:(1)50÷0.50=100个;

则足球有100﹣20﹣50﹣25=5个;

足球频率=0.05;

排球频率=0.2;

合计为100. 故答案为:0.2;

5,0.05;

100. (2)如图:
. (3)设篮球每个x元,足球每个(x+10)元,列方程得, 25x+5(x+10)=950, 解得x=30, 则篮球每个30元,足球每个40元. 设再买y个篮球,列不等式得, 30y+40(10﹣y)≤320, 解得y≥8, 由于篮球足球共10个, 则篮球8个,足球2个;
或篮球9个,足球1个. 【点评】本题考查了频数分布表、频数分布直方图及一元一次方程的应用,从图中得到相关信息是解题的关键.   20.某中学计划从办公用品公司购买A,B两种型号的小黑板.经洽谈,购买一块A型小黑板比购买一块B型小黑板多用20元,且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元. (1)求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需多少元. (2)根据该中学实际情况,需从公司购买A,B两种型号的小黑板共60块,要求购买A,B两种型号小黑板的总费用不超过5240元.并且购买A型小黑板的数量不小于购买B型小黑板数量的.则该中学从公司购买A,B两种型号的小黑板有哪几种方案?哪种方案的总费用最低? 【分析】(1)设购买一块A型小黑板需要x元,一块B型为y元,根据等量关系:购买一块A型小黑板比买一块B型小黑板多用20元;
购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元;
可列方程组求解. (2)设购买A型小黑板m块,则购买B型小黑板(60﹣m)块,根据需从公司购买A、B两种型号的小黑板共60块,要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元.并且购买A型小黑板的数量不小于购买B型小黑板数量的,可列不等式组求解. 【解答】解:(1)设一块A型小黑板x元,一块B型小黑板y元. 则, 解得. 答:一块A型小黑板100元,一块B型小黑板80元. (2)设购买A型小黑板m块,则购买B型小黑板(60﹣m)块 则, 解得20≤m≤22, 又∵m为正整数 ∴m=20,21,22 则相应的60﹣m=40,39,38 ∴共有三种购买方案,分别是 方案一:购买A型小黑板20块,购买B型小黑板40块;

方案二:购买A型小黑板21块,购买B型小黑板39块;

方案三:购买A型小黑板22块,购买B型小黑板38块. 方案一费用为100×20+80×40=5200元;

方案二费用为100×21+80×39=5220元;

方案三费用为100×22+80×38=5240元. ∴方案一的总费用最低, 即购买A型小黑板20块,购买B型小黑板40块总费用最低,为5200元. 【点评】本题考查理解题意的能力,关键根据购买黑板块数不同钱数的不同求出购买黑板的钱数,然后要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元.并且购买A型小黑板的数量不小于购买B型小黑板数量的,列出不等式组求解.   21.我们用[a]表示不大于a的最大整数,例如:[2.5]=2,[3]=3,[﹣2.5]=﹣3;
用<a>表示大于a的最小整数,例如:<2.5>=3,<4>=5,<﹣1.5>=﹣1.解决下列问题:
(1)[﹣4.5]= ﹣5 ,<3.5>= 4 . (2)若[x]=2,则x的取值范围是 2≤x<3 ;
若<y>=﹣1,则y的取值范围是 ﹣2≤y<﹣1 . (3)已知x,y满足方程组,求x,y的取值范围. 【分析】(1)根据题目所给信息求解;

(2)根据[2.5]=2,[3]=3,[﹣2.5]=﹣3,可得[x]=2中的2≤x<3,根据<a>表示大于a的最小整数,可得<y>=﹣1中,﹣2≤y<﹣1;

(3)先求出[x]和<y>的值,然后求出x和y的取值范围. 【解答】解:(1)由题意得,[﹣4.5]=﹣5,<3.5>=4;

(2)∵[x]=2, ∴x的取值范围是2≤x<3;

∵<y>=﹣1, ∴y的取值范围是﹣2≤y<﹣1;

(3)解方程组得:, ∴x,y的取值范围分别为﹣1≤x<0,2≤y<3. 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用,解答本题的关键是读懂题意,根据题目所给的信息进行解答.   22.如图,已知直线AC∥BD,直线AB、CD不平行,点P在直线AB上,且和点A、B不重合. (1)如图①,当点P在线段AB上时,若∠PAC=20°,∠PDB=30°,求∠CPD的度数;

(2)当点P在A、B两点之间运动时,∠PCA、∠PDB、∠CPD之间满足什么样的等量关系?(直接写出答案) (3)如图②,当点P在线段AB延长线运动时,∠PCA、∠PDB、∠CPD之间满足什么样的等量关系?并说明理由. 【分析】(1)如图①,过P点作PE∥AC交CD于E点,由于AC∥BD,则PE∥BD,根据平行线的性质得∠CPE=∠PCA=20°,∠DPE=∠PDB=30°,所以∠CPD=50°;

(2)证明方法与(1)一样;

(3)如图②,过P点作PF∥BD交CD于F点,由于AC∥BD,则PF∥AC,根据平行线的性质得∠CPF=∠PCA,∠DPF=∠PDB,所以∠CPD=∠PCA﹣∠PDB. 【解答】解:(1)如图①,过P点作PE∥AC交CD于E点, ∵AC∥BD ∴PE∥BD, ∴∠CPE=∠PCA=20°,∠DPE=∠PDB=30°, ∴∠CPD=∠CPE+∠DPE=50°;

(2)∠CPD=∠PCA+∠PDB(证明方法与(1)一样;

(3)∠CPD=∠PCA﹣∠PDB.理由如下:
如图②,过P点作PF∥BD交CD于F点, ∵AC∥BD, ∴PF∥AC, ∴∠CPF=∠PCA,∠DPF=∠PDB, ∴∠CPD=∠CPF﹣∠DPF=∠PCA﹣∠PDB;

【点评】本题考查了平行线性质:两直线平行,同位角相等;
两直线平行,同旁内角互补;
两直线平行,内错角相等.合理添加平行线是解决此题的关键.  

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