换元法是中学数学重要的数学方法之一，三角换元更是解决几何问题的一种简洁、高效的方法。本文将重点谈一下如何巧用三角换元来解题。 一、求最值 例1：已知椭圆长轴短轴焦距之和为8，求长半轴的最小值。
解法一：如图，椭圆中三个参数满足关系c2=a2-b2，则令c=asin?兹，b=acos?兹，
∵a+b+c=4，∴a(sin?兹+cos?兹+1)=4，
a=■=■
≥■=4（■-1），
即a的最小值为4(■-1)。
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解法二：∵a+b+c=4，∴b+c=4-a。又∵b2+c2=a2，∴b2+c2≥■，a2≥■，解得a≥4(■-1)。
点评：显然，三角换元法比不等式法简单且易于理解。
二、 求参数的取值范围
例2：已知椭圆■+■=1(a>b>0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P（P点异于长轴两端点）使得■?■=0(O为原点)，求离心率的取值范围。
解法一：设P(acosθ，bsinθ)，■=(acosθ，bsinθ)，■=(acosθ-a，bsinθ)，
■?■=(acosθ-a)?acosθ+b2sin2θ=0，
∴■=-■=■，
∴1-e2=1-■，∴e2=■。
∵cosθ∈(-1，1)(P不为长轴端点)，
∴■∈(■，+∞)，
∴e2∈(■，1)，即e∈(■，1)。
解法二：如右图所示。
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联立b2x2+a2y2=a2b2，(x-■)2+y2=■，
消去y，得■x2-ax+b2=0，此方程在(-a，a）内有根。
令f(x)=■x2-ax+b2，则f(-a)=2a2>0，f(a)=0，Δ=■≥0，
只须0■或eb>0)长轴的两个端点，在椭圆上任取一点P（异于A、B），P与A、B的连线分别交椭圆短轴所在的直线于M、N两点。求证：■?■为定值。
证明：设P、M、N的坐标分别为P（acos?兹，bsin?兹），M(0，y1)，N(0，y2)，
由kMA=kPA，得■=■，
由kNB=kPB，得■=■，
∴■?■=y1y2=■=b2，为定值。
（责编 张晶晶）
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