[摘要] 本文介绍了无约束最优化和约束最优化在经济中的应用。 [关键词] 无约束最优化 约束最优化 目标函数 数学模型 随着现代科学技术的迅速发展，在科学技术、经济管理等各个领域，都提出了大量的最优化问题，这些问题有相当一部分可以归结为一元或多元函数的极值问题。例如：在安排生产计划方面，如何在现有人力物力的条件下，合理安排几种产品的生产，使总产值最高或总利润最大。同样地，在现有的生产条件下，如何安排多种产品的生产，才能使总成本最小。当今，“优化”无疑是一个热门名词。在人们的日常生活中，优化的要求比比皆是，消费时，如何花尽可能少的钱办尽可能多的事，出行时，如何用最短的路程到达目的地等等。总而言之，经济如此发展，竞争如此激烈，资源日渐紧张的今天，人们做事都盼望事半功倍，以求提高效率、增加效益、节约能源等等。所有类似的这种课题统称为最优化问题，研究解决这些问题的科学称为最优化理论和方法。
从数学角度看，最优化问题可以分为无约束最优化和约束最优化。所谓无约束最优化问题是比较简单的微分问题，可用微分求解。
管理决策问题往往也就是最优化问题，而比较常用和方便的方法就是边际分析法。所谓“无约束”，即产品产量、资源投入量、价格和广告费的支出等都不受限制。在这种情况下，最优化的原则是：边际收入等于边际成本，也就是边际利润为零时，利润最大，此时的业务量为最优业务量。管理决策中的诸多最优化问题，比如投入要素之间如何组合才能使成本最低；企业的产量多大，才能实现利润最大，当因变量为自变量的连续函数时，经济学与数学意义是统一的，可用边际分析法解决；而在处理离散数列的最优化问题时则可以用统计的方法先将离散数列拟合成连续函数，求得最优点，然后在原离散数列中找到离拟合曲线最优点最近的前后两点，比较其值及其投入量，既而求得最优点。
有约束条件的最优化包括一个或几个货币、时间、生产能力或其他方面的限制，当存在不等式约束条件时，可以采用线性规划。大多数情况下，管理者知道某些约束是连在一起的，即它们是同样的约束条件，可以采用拉格朗日乘数法解决这些问题。
从数学上比较一般的观点来看，所谓最优化问题可以概括为一种数学模型：结合一个函数F(x)以及自变量 应满足一定的条件，求X为怎样的值时，F(x)取得其最大值或最小值。通常，称F(x)为目标函数，X应满足的条件为约束条件。求目标函数F(x)在约束条件X下的最大值或最小值问题，就是一般最优问题的数学模型，可以用数学符号简洁地表示为MinF(x)或MaxF(x)。解决最优化问题地关键步骤是如何把实际问题，抽象成数学模型，也就是构造出目标函数与约束条件，一旦这一步完成，对于简单问题，可借助图形或微积分来解决，遇到比较复杂地课题，可利用现有地数学软件或最优化软件，比如Matlab, Mathematica, Lindo, Lingo等来计算。下面举例说明如何计算有约束条件地最优化问题。
例设某种产品的产量是劳动力x和原料y(t)的函数，f(x),y=60X3y2，假定每单位劳动力费用100元，每单位原料费用200元，现有2万元资金用于生产，为了得到最多的产品，应如何安排劳动力和原料。
解：依题意，可归结为求函数f(x,y)=60x3y2在约束条件100x+200y=20000下的最大值，故可用拉格朗日乘数法求解。
作拉格朗日函数:
由一阶条件和约束条件得到方程组
解此方程组得到可能极值点(120,40)。
再判断(120,40)是否为极值点，写出关于F的黑塞加边行列式为
在点(120,40)处黑塞加边行列式为：
所以点(120,40)为极大值点，且实际问题的最大值是存在的，因此极大值点也是函数f(x,y)的最大值点，最大值为f(120,40)=60×1203×402=1.65888×1011(t)。即应用劳动力120人，原料40t可使产品的产量达到最大值。
参考文献：
[1]庞军:对边际分析和最优化原理地探讨[J].商业时代，2005（35）
[2]徐建豪刘克宁:经济应用数学-微积分.高等教育出版社，2005
[3]赵胜民:经济数学.科学出版社，2005
[4]吴德庆马月才编著:管理经济学.中国人民大学出版社，2003
[5]同济大学数学教研室主编:高等数学.高等教育出版社，2000
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