摘 要： 文中提出可以在直角坐标系中进行圆周运动加速度推导的教学设计，阐述了直角坐标系中圆周运动加速度公式的推导过程，并给出了教学建议，认为学生比较容易理解直角坐标系中加速度公式的推导方法，建议教材中增加直角坐标系中圆周运动加速度的推导。
关键词： 圆周运动 加速度 直角坐标系
普通物理是各大学院校理工科学生的必修课，普通物理中都有质点圆周运动等曲线运动的知识。圆周运动对于学生来说并不陌生，但是由于受到知识的制约，高中学生在学习匀速率圆周运动中的加速度时只是直接接受公式，并加以应用，并不知道公式的来源，教材中有一点不太严格的证明，只是作为课外阅读资料列出来的［１］。所以对于刚刚接触质点运动的大学生来说，对圆周运动中的加速度问题可能不会理解得透彻。如果能让学生掌握圆周运动加速度公式的证明，并和中学相比较，则可以使学生加深对相关知识的理解，激发学习兴趣。同时，学好圆周运动也有助于学习质点的一般曲线运动，对整个大学物理的学习都会产生好的影响。本文所述的教学方法对学生加深理解质点圆周运动有一定的促进作用。
1.教材中加速度公式推导方法的分析
大学物理课本中对圆周运动加速度的推导或者在自然坐标中进行，或者在极坐标中进行［２］［３］［４］。课本上自然坐标和极坐标中的推导都是图文并茂，逻辑严密，能够将坐标的特点很好地应用到推导过程中，巩固了学生对自然坐标和极坐标的理解。但是，以师范院校物理系物理学专业一年级的学生为例，他们刚进入大学就接触了力学的学习，在学习质点圆周运动之前已经习惯于在直角坐标系中解决问题。自然坐标对于大一新生来说是一种全新的坐标系，在自然坐标下讨论质点的曲线运动相对他们来说是一种新的方法，假如教师根据课本上的推导方法进行推导，则学生首先接受自然坐标的相关知识，然后在自然坐标下和教师一起讨论质点圆周运动，显得不太适应。极坐标系下讨论质点的运动对新生也是比较陌生的。
质点圆周运动的加速度公式除了在极坐标系和自然坐标中进行推导外，还可以在直角坐标中推导。学生在学习圆周运动知识之前已经接受了位置矢量对时间求二阶导数得到质点加速度的概念，而且不论在矢量知识和微积分的教学中，还是质点位置矢量与加速度关系的教学中，课本都是选择直角坐标系进行描述的，并没有提到自然坐标和极坐标等。学生在中学坐标系的学习中主要也是学习直角坐标，所以学生在圆周运动之前的学习中普遍都接受了直角坐标。所以如果教师把质点圆周运动的加速度公式放在直角坐标系下讨论，学生对教师的推导过程就会变得容易理解。
2.直角坐标系下圆周运动加速度推导的理论根据
2.1匀速率圆周运动
如图1所示为质点圆周运动示意图，圆的半径为R，把圆置于坐标系Oxy中。以圆心为坐标原点，质点位置矢量与x轴的夹角是θ。质点运动过程中位置矢量发生变化时θ跟着变化。
任意时刻质点的坐标是（x，y），质点的运动学方程是
=x+y（1）
其中x和y都是时间的函数。x和y与θ之间的关系是x=Rcosθ，y=Rsinθ，所以有
=Rcosθ+Rsinθ（2）
对上式求导可得
==+=-Rsinθ+Rcosθ（3）
设质点的角速度是ω=，在匀速率圆周运动中是恒量，质点的速度可以写成
==-Rωsinθ+Rωcosθ（4）
速度矢量对时间求一阶导数得到加速度：
===-Rωcosθ-Rωsinθ=-ωRcosθ-ωRsinθ（5）
上式进一步写成
===-ωRcosθ-ωRsinθ=-ω（6）
由此可以清楚地看出，加速度的方向与质点的位置矢量方向相反，即加速度的方向是指向圆心，加速度的大小为
a=|-ω|=ω||=ωR（7）
用线速度和角速度的关系v=ωR或ω=v/R，上式可以写为
a=（8）
（7）和（8）两式就是学生在高中物理中熟悉的匀速率圆周运动向心加速度公式。
2.2变速率圆周运动
在变速率圆周运动下，质点的速度表达式仍然用（3）或（4）式，但是对时间求导时角速度已经不再是恒量，所以加速度为
==（-Rcosθω-Rsinθ）+（-Rsinθω+Rcosθ）
=（-Rcosθω-Rsinθω）+（-Rsinθ+Rcosθ）（9）
上式中前一项就是（6）式，所以写为-ω，其大小和方向与（6）式相同。后一项可以写为
（-sinθ+cosθ）=（-sinθ+cosθ）（10）
其大小为
=（11）
令（10）式和（2）式（即质点的矢量）相点乘
（-sinθ+cosθ）•（Rcosθ+Rsinθ）=R（-sinθ•cosθ-sinθ•sinθ+cosθ•cosθ+cosθ•sinθ）=0
说明这两个矢量相互垂直，即方向在切线方向，该加速度分量是质点圆周运动时的切向加速度，在匀速率圆周运动中该项为零。（6）式就是（9）式的前一部分，所表示的加速度分量为质点的法向加速度。
所以圆周运动的质点法向加速度的大小是ωR=，方向指向圆心；切向加速度的大小是，方向在圆周的切线方向。
3.教学建议
教师在课堂上采用上述推导过程带学生推导时应遵循启发式教学的指导思想，首先复习质点直线运动中速度和加速度的求法，引导学生总结出在不同坐标系里质点加速度的推导都是遵循着共同的原则：列出质点的运动学方程→结合示意图对质点运动学方程求一次导数得到质点的速度→对速度再一次求导得出质点的加速度。同时教师应向学生讲述，各种坐标系下质点圆周运动的运动学方程应具体情况具体分析，不同的运动学方程对应的求导方法也有差异，但是最后的物理意义是相同的。
引导学生推导质点圆周运动中加速度的过程大致如下：教师首先在黑板上作出图1；引导学生总结出（1）式和（2）式，并写在主板书的位置上；以提问学生和总结的方式在副板书位置上推导（3）―（6）式，并将（6）式写于主板书的位置，着重讲述其物理意义；在副板书位置重写（3）式，交代变速率圆周运动中角速度也是时间的变量，对该式求导时应把角速度考虑进去；用（3）式引导学生推出（9）式并将其前一部分和（6）式做比较；引导学生按照（9）式以后的各式总结出质点切向加速度的大小和方向，并在推导过程中对矢量乘法进行回顾，重点讲述各式的物理意义；在主板书位置上把加速度矢量写成切向加速度矢量加法向加速度矢量的简洁形式；对推导过程进行小结。
除了必要的主板书以外，其余的推导可以采用多媒体播放的方式进行教学。要想使推导过程对学生更有说服力，可以让（4）式和（2）式点乘得到结果为0，说明速度矢量和质点位置矢量相垂直，从而说明质点速度方向为切线方向。
4.结语
在直角坐标系中对圆周运动加速度的推导比较简单，逻辑也比较严密，所占的篇幅也比较小，教学过程需时间不多，有其可取之处。在质点圆周运动加速度推导的教学中，如果在课本所述推导方法的基础上，按本文所述的思想进行补充，至少对学生加深对圆周运动加速度公式的来源的理解是有益的。相关教材如果能把直角坐标系中推导质点圆周运动加速度公式的内容加进去，先让学生学会在直角坐标中对圆周运动加速度公式进行推导，然后学习在自然坐标和极坐标中的推导，至少将直角坐标中加速度的推导作为学生阅读的内容展示给学生，将有助于学生加深对圆周运动加速度公式的理解。
参考文献：
［1］人民教育出版社物理室编著.物理（第二版）［M］.北京：人民教育出版社，2006：88.
［2］刘克哲，张承琚.物理学（上）（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2005：16-20.
［3］漆安慎，杜婵英.力学（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2005：43-47.
［4］周衍柏.理论理学教程（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，1986：9-18.
遵义师范学院教研项目（编号11-27）。
贵州省重点支持学科（黔教高发（2011）275号）。