篇一：【核按钮】2016高考(新课标)数学(理)一轮复习配套(课时精讲-课时检测-单元检测)：第07章 不等式
1.不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.
2.一元二次不等式
(1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.
(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
3.二元一次不等式组与简单线性规划问题
(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. (2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.
(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
a＋b
4.ab(a≥0，b≥0)
2
(1)了解基本不等式的证明过程.
(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
7.1 不等关系与不等式
1.比较原理 两实数a，b之间有且只有以下三个大小关系之一：__________、__________、__________.其中a＞b?a－b＞0；a＜b?______________；a＝b?__________.
2.不等式的性质
(1)对称性：a>b?__________；
(2)传递性：a>b，b>c?__________；
(3)不等式加等量：a>b?a＋c______b＋c； (4)不等式乘正量：a>b，c>0?__________； 不等式乘负量：a>b，c<0?__________.
(5)同向不等式相加：a>b，c>d?__________； (6)异向不等式相减：a>b，c<d?__________； (7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0?__________；
ab
(8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d?
cd11
(9)不等式取倒数：a>b，ab>0?
ab
(10)不等式的乘方：a>b>0?______________； (11)不等式的开方：a>b>0?______________. 注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；
2.(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除.
自查自纠：
1
1.a＞b a＜b a＝b a－b＜0 a－b＝0 2.(1)b<a (2)a>c (3)> (4)ac>bc ac<bc (5)a＋c>b＋d (6)a－c>b－d (7)ac>bd (8)＞ (9)＜ (10)an>bn(n∈N*且n>1) (11)a>b(n∈N*且n>1)
上海)如果a<b<0，那么下列不等式 (2013·
成立的是( )
11< B.ab<b2 ab
11
C.－ab<－a2 D.－ab
11b－a11解：>0，故>，
ababab11
∴－<－故选D.
ab
设f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，x∈R，
则f(x)与g(x)的大小关系是( )
A.f(x)＞g(x)B.f(x)≥g(x) C.f(x)＝g(x)D.f(x)＜g(x)
2
解：f(x)－g(x)＝x－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0恒成立，故选A.
已知a＞0，b＞0，则aabb与abba的大小关
系为( )
A.aabb≥abbaB.aabb＜abba
C.aabb≤abba
D.与a，b的大小有关
aaabb
解：不妨设a≥b＞0，则1，a－b≥0，故baba＝??ba－b
≥1，即aabb≥abba.同理当b＞a＞0时，亦
有aabb≥abba.故选A.
已知a＝7，b＝6＋22，则a，b的大
小关系是a________b.
解：由于a＝2，b＋2，平方作差得
7
3?＞0，
a2－b2＝28－14－83＝14－83＝8??4?
从而a＞b.故填＞.
111
若a，b∈R＋，则的大小关系是
aba＋b
__________.
11?（a＋b）21解：∵a，b∈R＋，∴?ab?÷aba＋b
4ab
≥4>1， ab
111111∴.故填>
aba＋baba＋b
4
木板部分的长度为，此时进入木板部分的铁钉的
7k
4444
总长度为有＜1；第三次受击后，该次
77k77k
4444
钉入木板部分的长度为，
7k77k7k
444
有＋＋1. 77k7k
所以可从中提炼出一个不等式组： 44
＋＜1，77k
444
＋≥
1.77k7k??类型二 不等式的性质
c
已知下列三个不等式①ab＞0；②＞
a
d；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，b
则可组成几个正确命题？
cdbc－ad
解：(1)对②变形?＞0，由ab＞0，
abab
bc＞ad得②成立，∴①③?②.
bc－ad
(2)若ab＞0，＞0，则bc＞ad，
ab
∴①②?③.
bc－ad
(3)若bc＞ad＞0，则ab＞0，
ab
∴②③?①.
综上所述可组成3个正确命题.
点拨：
运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较ac与bc的大小关系应注意从c＞0，c＝0
，c＜0三个方面讨论.
(2014·四川)若a＞b＞0，c＜d＜0，
则一定有( )
ababA.＞ B.cdcdababC.＞ D.＜ dcdc
11
解：由c＜d＜0?－＞－0，又a＞b＞0，
dcabab
故由不等式性质，得－＞－＞0，所以＜.故选
dcdc
D.
类型一 建立不等关系
燃放礼花弹时，为了确保安全，人在
点燃导火线后要在燃放前转移到10m以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为0.2m/s，人离开的速度为4m/s，导火线的长度x(m)应满足怎样的关系式？
解：人到达安全区域的时间小于导火线燃烧的
10x
时间，所以.
40.2
点拨：
解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型.
用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木
板.随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，
1
使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的
k
(k∈N*)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的4
.(钉帽厚度不计) 7
解：假设钉长为1，第一次受击后，进入木板
4
第二次受击后，该次铁钉进入
7
2
类型三 不等式性质的应用
(1)若1<α<3，－4<β<2，则
值范围是________.
1α3
解：由1＜α＜3得＜，由－4＜β＜2得－
222
311α
－，?.故填2＜－β＜4，所以β的取值范围是??22?2
?－?. ?22?
点拨：
①需要注意的是，两同向不等式可以相加但不
1α3
可以相减，所以不能直接由4＜β＜2两
222
α
式相减来得到－β的范围.②此类题目用线性规划
2
也可解.
(2)已知－1＜a＋b＜3且2＜a－b＜4，求2a＋3b的取值范围.
解：设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
5x＝?x＋y＝2，2?
∴?解得
1?x－y＝3.?
y＝－.
2
55151
(a＋b)＜，－2a－b)＜－1.
222295113(a＋b)－(a－b)
22229132a＋3b＜，
22
913－. 故2a＋3b的取值范围为??22
点拨：
由于a＋b，a－b的范围已知，所以要求2a＋3b的取值范围，只需将2a＋3b用已知量a＋b，a－b表示出来，可设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，用待定系数法求出x，y，再利用同向不等式的可加性求解.
ππ
(1)若角α，β满足－α<β<2α
22
－β的取值范围是________.
πππππ
解：∵－α＜β＜＜α＜，－＜β
22222
πππ
＜βα＜β，∴－π＜α－β＜0，∴222
3ππ3ππ－.故填?－，?. 2α－β＝(α－β)＋α∈??22?22?
(2)设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)
α
β的取2
≤4，求f(－2)的取值范围.
?1≤a－b≤2，①?
解法一：由已知?
?2≤a＋b≤4.②?
f(－2)＝4a－2b.
设4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)(m，n为待定系数)，
即4a－2b＝(m＋n)a－(m－n)b，
??m＋n＝4，于是得?解得m＝3，n＝1.
??m－n＝2.
由①×3＋②×1得5≤4a－2b≤10， 即5≤f(－2)≤10.
?a－b＝f（－1），?
解法二：由?
?a＋b＝f（1）?1
a＝[f（1）＋f（－1）]，2
得
1
b＝f（1）－f（－1）].2
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，后面同解法一.
???
类型四 比较大小
a＋ma
比较(其中实数b＞a＞0，实
b＋mb
数m＞0)的大小.
解法一：(作差比较)： a＋mb（a＋m）－a（b＋m）a
－＝＝
bb＋mb（b＋m）
m（b－a）
b（b＋m）
∵b＞a＞0，m＞0， m（b－a）a＋ma∴0，∴＞. b（b＋m）b＋mb
解法二(作商比较)：∵b＞a＞0，m＞0， ∴bm＞am?ab＋bm＞ab＋am＞0， ab＋bma＋mba＋ma∴1，即＞1?＞. ab＋amb＋mab＋mb
点拨：
本题思路是作差整理，定符号，所得结论也称作真分数性质.作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论.
若a<0，－1<b<0，则下列不等式成立
的是________.
①log0.5(－a)<log0.5(－ab2)； ②(－a)2<(－ab2)2；
－－
③(－a)1>(－ab2)1；
3
???
④0.5－a>0.5－ab2.
解法一：对于①，∵a＜0，－1＜b＜0，可知－a＞0，0＜b2＜1，∴－a＞－ab2＞0，结合对数函数的性质容易得到log0.5(－a)＜log0.5(－ab2)，①成立；对于②，由①知－a＞－ab2＞0，故(－a)2＞(－ab2)2，
11
②不成立；对于③，由－a＞0＞－1
aab
1
＞b2＞1，与－1＜b＜0矛盾，③不成立；对于b
④，由①知④不成立.
解法二：用作差或作商法解本题也是可行的，
1
如对于①，有log0.5(－a)－log0.5(－ab2)＝log0.5＜0，
b
从而①正确，其余类似可解.故填①.
1.理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础.
2.一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，注意放宽条件和加强条件与其结论的关系，以及条件与结论间的相互联系.如：同向不等式相加，方向不改变；都是正数的同向不等式相乘，方向不改变；异向不等式相减，方向与被减不等式方向相同；都是正数的异向不等式相除，方向与被除不等式方向相同；两个正数的n次(n∈N＋，n＞1)方(开n次方)，当这两个正数相等时，它们的幂(方根)相等；而不等的两个正数，它们的幂(方根)不等，较大的正数幂(方根)较大.
3.不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础.
4.比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法.一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法.作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系.
5.对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制.
1
1.设a∈R，则a＞1是1的( )
a
A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11
解：若a＞1，则＜1＜1，则
aa11
a＞1或a＜0.即a＞1?＜1，而＜1a＞1，故选
aa
A.
4
2.已知a，b为正数，a≠b，n为正整数，则anb
＋＋
＋abn－an1－bn1的正负情况为 ( )
A.恒为正B.恒为负
C.与n的奇偶性有关D.与a，b的大小有关
＋＋
解：anb＋abn－an1－bn1＝an(b－a)＋bn(a－b) ＝－(a－b)(an－bn)，
＋
不妨设a>b，则an>bn，所以anb＋abn－an1－＋
bn1<0恒成立.故选B.
3.若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )
11＜B.a2＞b2 abab
C.＞ D.a|c|＞b|c| c＋1c＋1
解：用排除法.取a＝1，b＝－1，排除A，B；
1
取c＝0，排除D.显然0，对不等式a＞b的
c＋11ab
两边同时乘以.故选C.
c＋1c＋1c＋1
湖南)已知命题p：若x＞y，则－x＜－4.(2014·
y；命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
解：当x＞y时，两边乘以－1可得－x＜－y，∴命题p为真命题；当x＝1，y＝－2时，显然x2＜y2，∴命题q为假命题，∴②③为真命题.故选C.
5.(2014·浙江)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( )
A.c≤3 B.3＜c≤6 C.6＜c≤9 D.c＞9
解：由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得，－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c＝－27＋9a－3b＋c，消去c得??3a－b＝7，? 解得a＝6，b＝11，于是0＜c－6≤3，?5a－b＝19，?
即6＜c≤9.故选C.
6.如果0＜m＜b＜a，则( )
b＋mb－mbA.cos＜coscos
aa＋ma－mb－mb＋mb
B.cos＜coscos
aa－ma＋mb－mb＋mbC.cos＜cos
aa－ma＋m
b＋mb－mbD.cos＜coscos
aa＋ma－m
b＋mbab＋am
解：＝＞1，所以1
a＋maab＋bm
b＋mbb－mbb＋m＞＞＞0，同理，0＜1，∴1＞a＋maa－maa＋m
πbb－m
0上单调递减，所＞＞0.而y＝cosx在??2aa－m
b＋mb－mb以coscos＜故选A.
aa＋ma－m
7.已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是____________.
9
解：∵a＝log233，b＝log2log23，∴a
＝b.∵a>1，c<1，∴a＝b>c.故填a＝b>c.
8.给出下列命题：
①若a＞b，则ac2＞bc2；
11
②若a＞b；
ab
11
③若a，b是非零实数，且a＜b，则＜；
abab
④若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2.
其中正确的命题是________.(填对应序号即可) 解：当c＝0时①不成立；对于②，a正b负时
11a－b
不成立；对于③，当a＜b－＝＜0，
ababab
??a＜b，11
∴④，若a＜b＜0，则? ?a2
abab??a＜0
??a＜b，＞ab，? ?ab＞b2，从而得a2＞ab＞b2，④
?b＜0?
成立.故填③④.
9.设实数a，b，c满足 ①b＋c＝6－4a＋3a2， ②c－b＝4－4a＋a2.
试确定a，b，c的大小关系.
解：∵c－b＝(a－2)2≥0，∴c≥b， 又2b＝2＋2a2，∴b＝1＋a2，
1?232?∴b－a＝a－a＋1＝?a－2?＋＞0，
4
∴b＞a，从而c≥b＞a.
10.某企业去年年底给全部的800名员工共发放1000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加30万元，企业员工每年净增a人.
(1)若a＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过1.5万元？
(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？
解：(1)设从今年起的第x年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y万元.
1000＋30x则ya∈N*，1≤x≤10).
800＋ax
假设会超过1.5万元，则当a＝10时有1000＋30x40
＞1.5，解得x＞＞10.
3800＋10x
所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过1.5万元.
1000＋30x
(2)设1≤x1＜x2≤10，y＝f(x)＝，
800＋ax
1000＋30x21000＋30x1
则f(x2)－f(x1)＝
800＋ax2800＋ax1
（30×800－1000a）（x2－x1）＝＞0，
（800＋ax2）（800＋ax1）
所以30×800－1000a＞0，得a＜24.
所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人.
1
11.已知0＜a＜，A＝1－a2，B＝1＋a2，C＝
2
11D＝，试比较A，B，C，D的大小. 1－a1＋a
111
解：∵0＜a0＜a2＜，1－a＜1，1
242
3
＜1＋a＜，
2
显然A与D均比B与C小，因此接下来我们只要比较A与D的大小及B与C的大小即可.∵C≠0，D≠0，
A
∴＝(1－a2)(1＋a)＝1＋a－a2－a3＝1＋a(1－D2
a－a)＞1，∴A＞D.
B
同样(1－a)(1＋a2)＝1－a(1－a＋a2)＜1，
C
∴B＜C，∴D＜
A＜B＜C.
设a>b>1，c<0，给出下列三个结论： cc
①；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c). ab
其中所有正确结论的序号是( ) A.① B.①② C.②③ D.①②③
11cc
解：①∵a>b>1，∴0<<1，又c<0，∴，
abab
x
①正确；②由于a>b>1，可设f(x)＝a，g(x)＝bx，当x＝c＜0时，根据指数函数的性质，得ac<bc，②正确；③∵a＞b＞1，c＜0，即a－c＞b－c＞1，∴loga(a－c)＞loga(b－c)，又由对数函数的性质知logb(a－c)＞loga(a－c)，∴logb(a－c)＞loga(b－c)，③正确.故选D.
5
篇二：【核按钮】2016高考(新课标)数学(理)一轮复习+课时检测+单元检测)：第十三章 推理与证明(3课时)
">1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．
3．了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点．
4．了解反证法的思考过程和特点． 5．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
13.1 合情推理与演绎推理
大前提：M是P. 小前提：S是M. 结论：S是P.
自查自纠：
1．合情推理 演绎推理
2．(1)部分 个别 (2)特殊 特殊 (3)归纳 类比
3．(1)一般 特殊 (2)三段论
关于归纳推理，下列说法正确的是( ) A．归纳推理是由一般到一般的推理 B．归纳推理是由一般到特殊的推理 C．归纳推理的结论一定是正确的 D．归纳推理的结论不一定正确
解：归纳推理是由特殊到一般的推理，但结论未必正确．故选D.
下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的性质；
②由等差数列的性质类比出等比数列的性质； ③由三角形的面积公式类比出三棱锥的体积公式；
④由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和为180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°.
A．仅①②是 B．仅①②③是 C．仅①②④是 D．①②③④都是
解：①②③是类比推理，④是归纳推理．它们
1．两种基本的推理
推理一般包括____________和____________两类．
2．合情推理
(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由__________到整体、由__________到一般的推理．
(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由________到________的推理．
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行__________、__________，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
3．演绎推理
(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__________到__________的推理．
(2)“__________”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
“三段论”可以表示为：
都属于合情推理．故选D
.
“任何实数的平方大于0(大前提)，而a是
实数(小前提)，所以a2>0”，你认为这个推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．是正确的
解：当a≠0时，a2>0；当a＝0时，a2＝0.所以这个推理的大前提错误．故选A.
(2014·课标Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是
否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为____________．
解：由题意可判断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.故填A.
(2013·陕西)观察下列等式： (1＋1)＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， ……
照此规律，第n个等式可为________________．
解：观察到等式左边依次是(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)，等式右边是2n与n个奇数的乘积，(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．故填(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．
点拨：
数列的通项公式表示的是数列{an}的第n项an
与序号n之间的对应关系，先根据已知的递推公式，算出数列的前几项，再通过观察，归纳得到关于数列通项公式的一个猜想，这种猜想是否正确还有待严格的证明．
1 (1) 已知x>0，由不等式x＋≥2xxx4xx43＝2，x＋≥33，
x22x22x27xxx274xxx27x＋＝＋＋4，
x333x333x……
在x>0条件下，请根据上述不等式归纳出一个一般性的不等式_____________________．
解：当x＞0时，分析所给等式的变形过程可得 nnxxxnnx＋?????n xn?n???nx???
n个
nn
＝n＋1.故填x＋n＋1.
x
1 2 3 4 5 6 3 5 7 9 11 8 12 16 20 20 28 36 48 64 112
类型一 归纳推理
在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝
(n∈N＋)，试猜想这个数列的通项公式．
2a解：当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝
2＋a1
4322a12
＝n＝3时，a3＝；当n＝432＋a22224
3
2a12
时，a4＝＝，由此猜想，这个数列的
2＋a32＋15
22
通项公式为an＝.
n＋1
2a2＋an
(2)(2014·江苏模拟)给定正整数n(n≥2)按下图方式构成倒立三角形数表，第一行依次写上数1，2，3，…，n，在第一行的每相邻两个数正中间的下方写上这两个数之和，得到第二行的数(比上一行少一个数)，依次类推，最后一行(第n行)只有一个数，例如n＝6时数表如图所示，则当n＝2 016时最后一行的数是________．
解：设最后一行(第n行)的一个数为an，则通过计算易得a1＝2·2－1，a2＝3＝3×20，a3＝8＝4×21，a4＝20＝5×22，a5＝48＝6×23，a6＝112＝7×24，…，由此，可猜测：an＝(n＋1)×2n－2，所以当n＝2 016时最后一行的数a2016＝
2 017×22 014.故填2 017×22 014
.
类型二 类比推理
在△ABC中，若AB⊥AC，AD⊥BC于
111
D，则在四面体A-BCD中，若AB，
ADABAC
AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H，则类似的结论是什么？并说明理由．
解：如图，
y2－y1x1＋x2
x2，＝1，弦中点设为(x0，y0)，则x0，
2x2－x1y1＋y2
y0＝，将上述两端点代入双曲线方程得
2x2y21，22abx2y22－x12－y1
两式相减得－＝0，
abx2y21，ab
在四面体A-BCD中，若AB，AC，AD两两垂
111
直，AH⊥底面BCD，垂足为H，则＝AHABAC
1＋. AD
证明如下：连接BH并延长交CD于E，连接AE.
∵AB，AC，AD两两垂直，∴AB⊥平面ACD. 又∵AE?平面ACD，∴AB⊥AE.
111
在Rt△ABE中，有＋.①
AHABAE
11
又易证CD⊥AE，∴在Rt△ACD＋
AEAC1
.② AD1111
将②式代入①式得＋＋.
AHABACAD
点拨：
本题考查的是平面到空间的推广类比，并且在推导空间的结论时用到了平面的结论．一般地，平
???
（x2－x1）（x2＋x1）（y2－y1）（y2＋y1）
－＝0，
ab（x2－x1）（x2＋x1）（x
2－x1）（y2＋y1）
所以－
abx2＋x1y2＋y12x2y＝0，∵x1－x2≠0，∴－＝00，
abab
xyxy所以0，于是(x0，y0)在直线0上．故
a
babxy
填＝0. ab
类型三 演绎推理
直线平行于平面，则直线平行于平面
内所有直线(大前提)，已知直线b?平面α，直线a?平面α，直线b∥平面α(小前提)，则直线b∥直线a(结论)”，上面推理错误的原因是( )
A．大前提错误
B．小前提错误 C．推理形式错误D．非以上错误
解：大前提是错误的，某直线平行于平面，平面内还是存在直线与已知直线异面．故选A.
点拨：
演绎推理是一种必然性推理，只有前提和推理形式都是正确的，结论才一定是正确的，否则，不能保证结论的可靠性．
“因为指数函数y＝ax是增函数(大前1x1?x??提)，而y＝?3是指数函数(小前提)，所以y＝?3?是
增函数(结论)”．上面推理错误的原因是( )
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误
D．大前提和小前提都错误
解：当a＞1时，y＝ax为增函数；当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，所以大前提错误．故选A.
1．归纳推理的前提是一些特殊的情况，所以归
(2014·衡水中学调研)椭圆中有如下结
x2y2
论：＋1(a>b>0)上斜率为1的弦的中点在
abxyx2y2
直线0－＝
abab1(a>0，b>0)上斜率为1的弦的中点在直线____________上．
x2y2
解：将椭圆方程＋1中的x2变为x，y2变
ab
x2y2
为y，右边变为0，得到椭圆＋＝1上斜率为1
ab
xy
＋＝0上．类比上述结论，将
ab
x2y2
双曲线的方程作上述变换可知：双曲线＝1上
ab
xy
斜率为1的弦的中点在直线＝0上．证明如下：
ab不妨设弦的两个端点为(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1≠
纳推理要在观察、经验、实验的基础上进行；归纳推理是依据特殊现象推断出一般现象，因此所得结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的．
2．归纳推理的一般过程：
(1)通过观察个别情况发现相同的性质； (2)推出一个明确表述的一般性结论．
3．在数学中，类比是发现概念、方法、定理、公式的重要手段，并且应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限等之间有不少结论都是先用类比的方法提出猜想，然后再加以证明的．
4．类比推理的一般步骤：
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性； (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)，但结论不一定正确，有待进一步证明．
1．一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除．以上推理形式为( )
A．类比推理B．归纳推理
C．演绎推理D．以上都不正确
解：这是三段论的推理形式，显然是演绎推理．故选C.
2．有如下三段论推理：所有偶数都是4的倍数，因为6是偶数，所以6是4的倍数．其中的结论是错误的．导致这一错误的原因是( )
A．大前提错误B．小前提错误
C．大前提和小前提都错误D．推理形式错误
解：偶数不一定是4的倍数，故大前提错误，但小前提和推理形式都是正确的．故选A.
3．下面使用类比推理正确的是( ) A．由“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“a·0＝b·0，则a＝b”
B．由“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a·b)c＝ac·bc”
a＋ba
C．由“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“＝＋
cc
b
c≠0)” c
D．由“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn” 解：易知A，B，D错误．故选C.
4．将奇数1，3，5，7，9，…进行如下分组：{1}，{3，5}，{7，9，11}，….试观察每组内各数之和，则第n组内各数的和等于( )
A．n2 B．n3 C．n4 D．n(n＋1)
解：各组内各数的和分别为1，8，27，…，显然B正确，故选B.
5．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为( )
A．76 B．80 C．86 D．92
解：以上各式不同整数解的个数按顺序构成首项为4，公差为4的等差数列，即当|x|＋|y|＝n时，对应的不同整数解(x，y)的个数为4n，因此|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为4×20＝80，故选B.
6．如图，椭圆的中心在坐标原点，F为其左焦
5－1→→
点，当FB⊥AB
时，椭圆的离心率为，此类椭
2
圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可得“黄金双曲线”的离心率为( )
5＋1
2
5－15－1
2
5＋1
xy2
解：设双曲线方程为1(a>0，b>0)，F(－
ab
B.
c，0)，B(0，b)，A(a，0)，则FB＝(c，b)，AB＝(－a，b)．∵FB⊥AB，∴FB·AB＝－ac＋b2＝0.
又∵b2＝c2－a2，∴c2－ac－a2＝0，即e2－e－11±1＋5
＝0.解得e又e>1，∴e故选A.
22
1
7．(2014·陕西质检)设n为正整数，f(n)＝1＋＋
2
1135
＋…＋，计算得f(2)＝f(4)>2，f(8)>f(16)>3.3n22
观察上述结果，按照上面规律，可推测f(128)>__________．
5
解：观察f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，易知不等式
2
1
右边的数构成首项为2，而4，
28，16，…构成以4为首项，2为公比的等比数列，
199
则f(128)＝f(4·25)>2＋5×＝.故填.
2228．(2014·江苏模拟)设面积为S的平面四边形的
第i条边的边长记为ai(i＝1，2，3，4)，P是该四边形内的任意一点，P点到第i条边的距离记为hi，若
→→
→→→→
4a1a2a3a42S
＝＝k，则? (ihi)＝.类比上述结论，1234ki＝1
dn＝
n
c1·c2·…·cn，则{dn}为等比数列．
n
c1·c2·…·cn＝
n
（c1·cn）＝
n
体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1，2，3，4)，Q是该三棱锥内的任意一点，Q点到第i个面的距离记为Hi，相应的正确命题是_____________________________．
解：类比可得相应命题是：
4SSSS3V
“＝＝k，则? (iHi)＝．
1234k
i＝1
证明如下：dn＝dn＋1
c1·
cn，＝
dn数列．
cn＋1
＝为常数，∴{dn}为等比cn
其正确性可证明如下：
111
根据三棱锥的体积公式得S1H1＋S2H2＋
333
1
S3H3＋S4H4＝V，即kH1＋2kH2＋3kH3＋4kH4＝3V，
3
43V3V
∴H1＋2H2＋3H3＋4H4＝，即? (iHi)＝
kk
i＝1
11．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图
(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
SSSS3V故填若＝＝k，则? (iHi)＝.
1234ki＝1
4
9．通过观察下列等式：
3
sin30°＋sin90°＋sin150°＝
23
sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝；
23
sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝.
2
猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假．
3
解：猜想sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝
2
2
2
2
(1)求出f(5)；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．
解：(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25， ∴f(5)＝25＋4×4＝41. (2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1. f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4，
由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n. ∵f(2)－f(1)＝4×1， f(3)－f(2)＝4×2， f(4)－f(3)＝4×3， ……
f(n－1)－f(n－2)＝4(n－2)， f(n)－
f(n－1)＝4(n－1)． 各式相加得
f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2(n－1)n，
∴f(n)＝2n2－2n＋1.
(2014·北京模拟)祖暅原理也就是“等
积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的．祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切；刀刀切出等
证明：左边＝(sinαcos60°－cosαsin60°)＋sinα
2
2
＋(sinαcos60°＋cosαsin60°) sinα3cosα2?sinα3cosα2＝?＋＋sin2α ＋
2?22?222sinα3cosα ＝＋sin2α
2233
＝(sin2α＋cos2α)＝＝右边． 22
a1＋a2＋…＋an
10．(1)已知等差数列{an}，bn＝
n
(n∈N＋)，求证：{bn}仍为等差数列；
(2)已知等比数列{cn}，cn>0(n∈N＋)，类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．
2
解：(1)证明：∵{an}是等差数列，
n（a1＋an）
a1＋an2
∴bn＝＝，bn＋1－bn＝
n2an＋1－and
为常数．故数列{bn}仍为等差数列． 22
(2)类比命题：若{cn}为等比数列，cn>0(n∈N＋)，
篇三：2016年高考总复习核按钮数学理科全册(共521页)
集合与常用逻辑用语 ................................................................................................................................. 11.1 集合及其运算 ........................................................................................................................................ 1 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件................................................................................................. 7 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ....................................................................................... 13 单元测试卷 ............................................................................................................................................................. 18 第二章 函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用 ................................................................................... 21
2.1 函数及其表示 ...................................................................................................................................... 21 2.2 函数的单调性与最大(小)值 ................................................................................................................ 30 2.3 函数的奇偶性与周期性 ...................................................................................................................... 36 2.4 二次函数 .............................................................................................................................................. 42 2.5 基本初等函数(Ⅰ) ................................................................................................................................ 49 2.6 函数与方程 .......................................................................................................................................... 59 2.7 函数的图象 .......................................................................................................................................... 63 2.8 函数模型及其应用 .............................................................................................................................. 69 单元测试卷 ............................................................................................................................................................. 77 第三章 导 数 ................................................................................................................................................. 81
3.1 导数的概念及运算 .............................................................................................................................. 81 3.2 导数的应用(一) .................................................................................................................................... 87 3.3 导数的应用(二) .................................................................................................................................... 94 3.4 定积分与微积分基本定理 .................................................................................................................. 99 单元测试卷 ........................................................................................................................................................... 105 第四章 三角函数(基本初等函数(Ⅱ))) ......................................................................................................... 109
4.1 弧度制及任意角的三角函数 ............................................................................................................ 109 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式..............................................................................................116 4.3 三角函数的图象与性质 .................................................................................................................... 121 4.4 三角函数图象的变换 ........................................................................................................................ 128 4.5 三角函数模型的应用 ........................................................................................................................ 135 4.6 三角恒等变换 .................................................................................................................................... 142 4.7 正弦定理、余弦定理及其应用 ........................................................................................................ 148 单元测试卷 ........................................................................................................................................................... 155 第五章 平面向量与复数 ..................................................................................................................................... 160
5.1 平面向量的概念及线性运算 ............................................................................................................ 160 5.2 平面向量的基本定理及坐标表示 .................................................................................................... 167 5.3 平面向量的数量积 ............................................................................................................................ 172 5.4 平面向量的综合应用 ........................................................................................................................ 179 5.5 复数的概念 ........................................................................................................................................ 185 5.6 复数的四则运算及几何意义 ............................................................................................................ 189 单元测试卷 ........................................................................................................................................................... 192 第六章 数 列 ............................................................................................................................................... 196
6.1 数列的概念与简单表示法 ................................................................................................................ 196 6.2 等差数列 ............................................................................................................................................ 203
单元测试卷 ........................................................................................................................................................... 221 第七章 不 等 式 ........................................................................................................................................... 226
7.1 不等关系与不等式 ............................................................................................................................ 226 7.2 一元二次不等式及其解法 ................................................................................................................ 232 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 .................................................................................. 240 7.4 基本不等式及其应用 ........................................................................................................................ 249 单元测试卷 ........................................................................................................................................................... 254 第八章 立 体 几 何 ......................................................................................................................................... 259
8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图............................................................................................. 260 8.2 空间几何体的表面积与体积 ............................................................................................................ (原文来自：wWW.DxF5.com 东 星资源网:2016高考核按钮答案)268 8.3 空间点、线、面之间的位置关系 .................................................................................................... 274 8.4 空间中的平行关系 ............................................................................................................................ 281 8.5 空间中的垂直关系 ............................................................................................................................ 288 8.6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算......................................................................................... 296 8.7 空间向量的坐标表示、运算及应用 ................................................................................................ 304 单元测试卷 ........................................................................................................................................................... 317 第九章 平面解析几何 ......................................................................................................................................... 323
9.1 平面直角坐标系中的基本公式和直线的方程 ................................................................................. 323 9.2 两条直线的位置关系 ........................................................................................................................ 329 9.3 圆的方程 ............................................................................................................................................ 336 9.4 直线、圆的位置关系 ........................................................................................................................ 341 9.5 曲线与方程 ........................................................................................................................................ 348 9.6 椭 圆 ................................................................................................................................................ 355 9.7 双 曲 线 ............................................................................................................................................ 362 9.8 抛 物 线 ............................................................................................................................................ 368 9.9 直线与圆锥曲线的位置关系 ............................................................................................................ 374 单元测试卷 ........................................................................................................................................................... 384 第十章 算 法 初 步 ......................................................................................................................................... 389
10.1 算法与程序框图 .............................................................................................................................. 389 10.2 基本算法语句 .................................................................................................................................. 397 单元测试卷 ........................................................................................................................................................... 402 第十一章 计数原理、概率、随机变量 ........................................................................................................... 408 及其分布 ............................................................................................................................................................... 408
11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ....................................................................................... 409 11.2 排列与组合 ...................................................................................................................................... 414 11.3 二项式定理 ...................................................................................................................................... 421 11.4 随机事件的概率 .............................................................................................................................. 427 11.5 古典概型 .......................................................................................................................................... 432 11.6 几何概型 .......................................................................................................................................... 438 11.7 离散型随机变量及其分布列 ........................................................................................................... 447 11.8 独立事件与二项分布及其应用 ....................................................................................................... 453 11.9 离散型随机变量的均值与方差 ....................................................................................................... 462 11.10 正态分布 ........................................................................................................................................ 470 单元测试卷 ........................................................................................................................................................... 476
12.3 变量间的相关关系与线性回归方程............................................................................................... 494 12.4 统计案例 .......................................................................................................................................... 501 单元测试卷 ........................................................................................................................................................... 510 第十三章 推理与证明 ....................................................................................................................................... 516
13.1 合情推理与演绎推理 ...................................................................................................................... 516 13．2 直接证明与间接证明 ................................................................................................................... 522 13．3 数学归纳法 ................................................................................................................................... 526 单元测试卷 ........................................................................................................................................................... 531 第十四章 选考内容 ............................................................................................................................................. 535
14．1 几何证明选讲 ............................................................................................................................... 535 14．2 坐标系与参数方程 ....................................................................................................................... 543 14．3 不等式选讲 ................................................................................................................................... 553 单元测试卷 ........................................................................................................................................................... 560
第一章 集合与常用逻辑用语
1.集合
(1)集合的含义与表示
①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．
②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
(2)集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
②在具体情境中，了解全集与空集的含义． (3)集合的基本运算．
①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
③能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
2．常用逻辑用语 (1)理解命题的概念．
(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．
(4)了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．
(5)理解全称量词和存在量词的意义．
(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定．
1.1 集合及其运算
1．集合的基本概念
(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．
(2)集合中元素的三个特性：______，______，______________________.
(3)集合常用的表示方法：________和________．
(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a ________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________．
结论：集合{a1，a2，?，an}的子集有______个，非空子集有________个，非空真子集有________个．
选D.
(2014·陕西)设集合M＝{x|x?0，x∈R}，N
＝{x|x2＜1，x∈R}，则M∩N＝( )
A．[0，1] B．(0，1) C．(0，1] D．[0，1)
解：由题意得集合N＝{x|－1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N＝{x|0?x＜1，x∈R}．故选D.
设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－
4?0}，则(?RS)∪T＝( )
A．(－2，1] B．(－∞，－4] C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
解：∵?RS＝{x|x?－2}，T＝{x|－4?x?1}， ∴(?RS)∪T＝{x|x?1}．故选C.
(2014·江苏)已知集合A＝{－2，－1，3，4}，
B＝{－1，2，3}，则A∩B＝________.
解：利用交集的概念知A∩B＝{－1，3}．故填{－1，3}．
设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋
4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
解：∵3∈B，a2＋4?4，∴a＋2＝3，a＝1.故填1.
(1)①
A∩B________A；②A∩B_______B； ③A∩A＝________； ④A∩?＝________； ⑤A∩B________B∩A.
(2)①A∪B________A; ②A∪B________B； ③A∪A＝________； ④A∪?＝________； ⑤A∪B________B∪A.
(3)①?U(?UA)＝________； ②?UU＝________；
③?U?＝________；
④A∩(?UA
)＝____________； ⑤A∪(?UA)＝____________；
(4)①A∩B＝A?________?A∪B＝B； ②A∩B＝A∪B?____________.
(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：
card(A∪B)＝___________________________； card[?U(A∪B)]＝________________________.
自查自纠：
1．(1)元素 集合 (2)确定性 互异性 无序性
(3)列举法 描述法
2．N*(N＋
) N Z Q R C 3．(1)属于 a∈A 不属于 a?A
(2)A?B且B?A A?B B?A AB BA 非空集合 2n
2n－1 2n－2
4．A∪B A∩B ?UA {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x?A} 5．
(1)①? ②?
③A ④? ⑤＝ (2)①? ②? ③A ④A ⑤＝ (3)①A ②? ③U ④? ⑤U (4)①A?B ②A＝B
(5)card(A)＋card(B)－card(A∩B)
card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)
(2013·重庆)已知全集U＝{1，2，3，4}，
集合A＝{1，2}，B＝
{2，3}，则?U(A∪B)＝( )
A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}
解：∵A∪B＝{1，2，3}，∴?U(A∪B)＝{4}．故
类型一 集合的概念
(2013·河南调考)已知集合A＝{a－2，
2a2＋5a，12}，且－3∈A，求a的值．
解：由于－3∈A，故a－2＝－3或2a2＋5a＝
3
－3，解得a＝－1或a＝－.
2
当a＝－1时，A＝{－3，－3，12}，不符合集合中元素的互异性，舍去；
3?7?
当aA＝?－2，－3，12?满足题意，
2??3
故a＝－.
2点拨：
对于集合中含有参数的问题，要注意将得到的参数的值代回集合中，对解出的元素进行检验，判断是否满足集合中元素的互异性．
含有3个实数的集合可表示为
b??
?a，，1?，又可表示为{a2，a＋b，0}，则a2015＋
a??
b2015＝________.