定积分的重要应用之一是求曲面的面积，导数的重要应用之一是求函数的极值、最值，把这两者整合到一起就得到了这样的一类试题：第一步利用定积分求出动曲线围成的曲面面积的函数解析式，第二步用导数的方法求解函数的极值、最值。这样的试题总是让人赏心悦目，诠释了考纲中“从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到一定的深度”的考查要求。
例1 如图1，已知曲线y=ax?2+bxa0得-3 点评 本题综合考查了利用定积分求曲面的面积以及利用导数求解函数的最值问题，是由几个简单问题组合而成的中等难度的试题。
例2 如图2，在区间［0，1］上给定曲线y=x?2，试在此区间内确定点t的值，使图中阴影部分的面积S?1+S?2的值最小。
分析 先用定积分的方法表示出各个阴影部分的面积?S?1t?、?S?2t?，然后求和S?1+S?2，再利用导数求解S?1+S?2的最小值。
解 因为S?1=t?2-x?2dx＝t?2x-13x?3t?0=23t?3，S?2=x?2-t?2dx＝13x?3-t?2x1?t=23t?3-t?2+13，
所以S?1+S?2=43t?3-t?2+13,t∈0,1，
令ft=43t?3-t?2+13,t∈0,1，
由f′t=4t?2-2t=0得t=0或t=12，
又因为当t∈0,12时f′t≤0；
当t∈12,1时f′t≥0；所以ft???min??=f12=14。
点评 本题以动直线与定曲线为背景构造出两块变化的平面区域，考查了定积分与导数的综合问题，可谓简约而不简单。
例3 如图3，设直线y=ax?(0 分析 先求出直线与抛物线的交点，再用定积分的方法表示出面积Sa和Ta，然后求和U=S+T，最后利用导数求出U的最小值。
解 当0 又 S =(ax-x?2)dx =? (ax?22-x?33)?a?
0 = a?32-a?33 = a?36，
T =(x?2-ax)dx = (x?33-ax?22)1?
a
= (13-a2)-(a?33-a?32) = 13-a2 + a?36，
所以 U=S+T=a?33-a2+13，所以U′=a?2-12 ，
令U′=0，得a=22，所以当a∈(0,22)时U′0；
所以当a=22时，
U的最小值为2-26。
点评 本题在试题的设计上层层递进，不仅实现了定积分与导数知识的自然交汇，同时也具有一定的梯度、难度、区分度，在求解此类问题时，宜步步为营，各个击破。
例4 如图4，已知二次函数y=ax?2+bx+c，直线l?1∶x=2，直线l?2∶y=3tx（其中-10，所以g(x?0)在(-∞,-1)∪(1,+∞)上单调递增，
因为当x?0∈（-1,1）时，g′(x?0)0?g(1)