摘要：本文基于结构风险最小化思想，考虑到投资者不同的风险偏好以及单个资产的集中度、资金规模、交易成本等影响因子，建立了基于CVaR约束的新型金融市场指数追踪优化模型，并利用深圳成份指数历史数据进行了实证检验。实证结果表明本文提出的新方法能够提高样本外追踪效果，从而具有较高的理论和实用价值。
关键词：CVaR市场指数；追踪指数；投资组合
中图分类号：F830.59文献标识码：Ａ文章编号:１００３－９０３１(２０12)04－００36－０3DOI:10.3969/j.issn.1003-9031.2012.04.09
一、引言
指数化投资组合被大多数投资者和机构所采用。但是，面对市场上包含几十上百种资产的金融市场指数，以有限的资金按照金融市场指数的构成比例购买所有的资产，完全复制所追踪的金融市场指数是比较困难的。因此，采用优化复制方法，即通过权重的优化再配置寻找一个含有“部分”成份资产的投资组合来追踪某个特定的金融市场指数，以使其长期收益水平接近或优于整个市场或指定版块的收益就具有积极的现实意义。
从上世纪九十年代以来，一些学者在此领域进行了一些有意义的探索，如Haugen和Baket（1990）采用均值―方差模型对指数追踪问题进行了研究[1]。Worzel和Zeniou（1994）提出通过使用效用函数惩罚追踪误差并最大化期望效用函数来追踪指数[2]。Konno（1991）等在对组合优化进行研究时，提出了一种基于平均绝对偏差的模型，并代替传统的均值―方差模型[3]。陈春锋、陈伟忠（2004）以上证180指数为标的研究了如何构建指数复制的数学模型，并对目前存在的几种不同的复制方法进行了实证分析[4]。徐凌（2009）探讨了分层抽样中行业筛选的问题[5]。对指数追踪的研究尽管丰富，但研究角度都是基于追踪偏差（即经验风险）最小，没有考虑在实际运作中，对于投资者来说，收益率高于所追踪的金融市场指数收益并不算是风险，仅仅当收益率低于所追踪的金融市场指数收益时才有风险，可能会造成损失。Rockafellar和Uryasev（2000）提出了条件风险价值CVaR[6]，回答了投资者关心的在进行投资组合决策时，怎样在现有的资产因子中配置资源使得投资组合与其追踪的金融市场指数偏差大于某个给定偏差时的平均偏差最小的问题。本文构建基于CVaR约束并考虑单个资产集中度、资金规模、交易成本等影响因子的金融市场指数追踪优化模型。最后，利用深圳成份指数的历史数据对提出的模型进行检验，结果表明该模型具有良好的泛化能力，很大程度上降低了样本外追踪偏差，同时提高了模型的鲁棒性。
二、问题描述
金融市场指数追踪优化问题是指从P种资产（一般是标的金融市场指数的成份资产）中选出n种资产构建一个投资组合，并使得该组合相对标的金融市场指数的一些考核标准更优。为了评价追踪组合的优劣，选取目标金融市场指数和备选资产的历史数据，又称测试数据集，并将其分为样本内和样本外，即t=1，……，T的数据为样本内数据，t=T+1，……，T+L的数据为样本外数据。通过样本内的数据，依据模型确定最优追踪组合，利用样本外数据评价追踪组合的追踪效果。
假定投资者的投资组合p由si（i=1，……，n）种资产构成，I为要追踪的标的金融市场指数。t=1，……，T的数据是基于历史时期的样本内数据，来考察投资组合与标的金融市场指数的价值变化，t=T+1代表一个决策时点，在该时点把当前投资组合调整为一个新的追踪组合。x0=（x01，……，x0n）是初始时n种资产持有量，x=（x1，……xn）为决策变量（即待求变量），代表T+1时点资产s=（s1，……，sn）的持有数量；Pit代表t（t=1，……，T）时刻资产si（i=1，……，n）的价格，则资产si在t时刻的对数收益率为rit=ln（pit/pi,t-1）；则投资组合p的对数收益率为rt=∑ni=1（ritpiTxi/∑ni=1iTxi），It为指数I在时刻t的点位，则指数在时刻t的对数收益率Rt=ln[It/It-1]。定义zt=Rt-tt为投资组合p与金融市场指数两者之间的偏差变量。为合理度量投资组合p追踪金融市场指数i的风险，采用在一定的置信水平下，偏差zt=Rt-rt超过某个给定偏差的平均值CVaR作为风险的度量。
CVaR可以用下面的数学表达式表示：
CVaR?茁=VaR?茁+E[f（x,p）-VaR?茁]|[f（x，p）>VaR?茁]
其中：x=（x1，……，xn）T表示n种资产的持有量向量；p=（p1，……，pn）T表示引起投资组合与追踪指数发生偏差的市场因子，如资产价格；f（x，p）表示投资组合的平均偏差函数；?茁表示置信水平。通过构造一个辅助函数解决计算问题，对任意的?缀R，辅助函数近似表示为：
F?茁（x，）=+∑Tt=1[f（x，pt）-]+
将其线性化，则F?茁（x，）可表示为：
+∑Tt=1zt
zt≥f（x，p）-，zt≥0 t=1，……T
需要考虑的其它约束条件有：
（一）组合内单个资产的集中度。即组合内单个资产的持有数量不得超过一定的比例，也不能小于一定的比例。即k∑ni=1piTxi≤piTxi≤bk∑ni=1piTxi，k=1，……，n。其中，k为投资组合中资产sk的最小持有比例；bk为投资组合中资产sk的最大持有比例，则有0≤k≤bk≤1，bk限制了投资组合中资产sk的风险敞口。
（二）资金规模。即持有的投资组合市值加上交易成本等于初始资金规模。∑ni=1piTxi+∑ni=1cpiT|x0i-xi|=v。其中，x0i为投资组合调整之前资产si的持有量；c为交易中涉及到的佣金、印花税等费率的综合比例；∑ni=1cpiT|x0i-xi|为仓位调整所带来的交易成本；v为初始资金规模，其值等于每次调整前一日收盘后的投资组合市值与因仓位调整而被调出的资产卖出而带来的交易成本的差额。
（三）交易成本。即仓位调整所带来的交易成本不能超过初始资金规模的一定比例。即0≤∑ni=1cpiT|x0i-xi|≤qv，其中q为仓位调整所带来的交易成本最多不超过投资组合总市值的比例。
三、金融市场指数追踪优化模型
投资组合能够容忍的下方追踪偏差是由投资组合的规模和目标及其接近于零风险时的难度和成本决定的。理想状态下，指数化投资者会在把目标瞄向零向下追踪偏差，期望获得最大收益率。则均值-CVaR金融市场指数追踪优化模型为：
min-∑ni=1E[ri]xi
s.t.+∑Tt=1zt≤wt=1，……，T
zt≥Rt-rt-，zt≥0t=1，……，T
k∑ni=1piTxi≤piTxi≤bk∑ni=1piTxi，k=1，……，n
0≤∑ni=1piTxi+∑ni=1cpiT|x0i-xi|=v
0≤∑ni=1cpiT|x0i-xi|≤qv （1）
其中，w表示风险承受水平，通过对投资组合的置信水平?茁和风险承受水平?棕取不同的值求解上面模型，可得到指数追踪的最优投资组合中资产持有量X*。均值-CVaR金融市场指数追踪优化模型（1）反映了结构风险最小化的思想，在最小化经验风险的同时，最大化预测能力，最终获得两者间的平衡。因此，它不仅能够较好地追踪历史数据，而且能够较好地预测未来，即减小样本外追踪组合与目标指数收益间的线性回归误差。
四、实证分析
本文根据深圳成份指数和成份股的历史成交数据并同时考虑个股集中度、资金规模、交易成本等约束条件来构建追踪组合，然后进行资产配置和组合模拟。
（一）样本选取及参数设定
测试数据集采集深圳成份指数与深发展A、招商地产、深圳能源、云南白药、五粮液、宏源证券、中兴通讯、美的电器、中金岭南、冀中能源10个成份股从2005年5月到2009年12月周收盘历史数据，指数和成份股的收盘价均为229个数据。将前179个数据作为本文提出的指数追踪模型的训练集，也称为样本内，其余50个数据作为测试集，也称样本外，对本文提出的均值-CVaR金融市场指数追踪优化模型进行实证检验，以表明该模型的优越性。模型中的一些参数设定如下：（1）优化前总的投资资产规模为v=2000000；（2）分散化约束系数：ai，bi=0.2，i=1，……，n；（3）标的股票的交易成本系数：c=0.003；（4）仓位调整产生的交易成本比例系数：q=0.0005；（5）置信水平?茁=95%和?茁=99%。
（二）实证结果
对于不同的?茁（置信水平）和w（风险承受水平），运用序贯二次规划法（SQP）与Matlab7.0.1求解模型（1），所得样本内与样本外投资组合与指数的周平均追踪偏差见表1：
从表1可以看出，本文建立基于CVaR约束的金融市场指数追踪模型在样本内外表现出很好的一致性，反映了该模型良好的鲁棒性。为更直观衡量不同置信水平和风险承受水平下模型的跟踪效果，笔者分别绘制了在?茁=95%和?茁=99%置信水平下样本内的指数追踪图（图1、图3）和样本外的指数追踪图（图2、图4），为考察不同风险承受水平对追踪效果的影响，笔者在每幅图中都绘制了w分别为0.01和0.04情形下所对应的追踪曲线。
图1、3给出的是在置信水平分别为?茁=95%和?茁=99%，风险承受水平w=0.01和w=0.04下，利用2005.05-2008.12月周收益率数据所确定的最优投资组合在2008年1月到2008年12月的追踪效果。总的来看，各风险承受水平所对应追踪曲线较好地反映了深圳成份指数的走势，这说明模型具有很好的实用价值。具体到不同的风险承受水平对应的追踪曲线，所得期望收益率存在明显差异。尽管除2008年5月的最后一周和10月的最后一周外图中所绘制的2条追踪曲线在各个周的收益率均高于指数收益率，但随着风险承受水平逐步减小，收益率呈单调下降趋势，特别是5月份以后，该趋势表现尤为明显。
图2、4描绘的是在置信水平分别为?茁=95%和?茁=99%，风险承受水平为w=0.01和w=0.04下，基于过去三年半内的周收益数据在2009年逐周滚动追踪效果，即利用过去178周股票的周收益率数据来确定最优投资组合，然后考察在未来一周的追踪效果。由图2、4可知，各风险承受水平下的追踪曲线与指数的走势吻合，这说明模型具有相当好的稳健性，其在样本外仍可较好地追踪指数走势。
五、结 论
与现有关于指数追踪策略研究的文献不同，本文从描述投资者的风险偏好和股票市场数据的实际特征出发，构建了一种新型金融市场指数追踪优化模型，采用追踪偏差作为风险的度量来刻画投资者对追踪风险的认识与偏好，同时解决了由于随机收益分布模糊性对优化问题求解造成的困难。实证表明，该模型计算产生的追踪曲线均能较好地吻合实际指数曲线。无论是样本内还是样本外，投资者风险承受水平和置信水平对追踪效果有显著的影响。风险承受水平越大，追踪偏差越小；置信水平越高，追踪偏差越大。特别是,该模型具有两个明显的优点,一是能够提高样本外的追踪效果,二是能够提高追踪组合在样本内外表现的一致性,即模型具有良好的鲁棒性。实证研究显示本文给出的指数追踪优化模型新技术具有较高的理论意义和实用价值。
（特约编辑：罗洋）
参考文献：
[1]Haugen R A,Baker N L.Dedicated Stock Portfolios[J].Jounal of Portfolio Management,1990,16(4):17-22.
[2]Worzel K J,Zeniou C V,Zenions S A. Integrated Simulation and Optimization Models for Tracking Indices of Fixed-income Securities [J].Operations Research,1994，42（2）:223-23
33.
[3]Konno H, Yamazaki H. Mean Absolute Deviation Portfolio Optimization Model and its Application to Tokyo Stock Market[J].Management Science, 1991,37(5):519-531.
[4]陈春锋,陈伟忠.指数优化复制的方法、模型与实证[J].数量经济技术经济研究，2004，（11）：30-36.
[5]徐凌.现货组合跟踪指数过程的行业筛选应用研究[J].经济问题，2009（2）：108-117.
[6]R.T. Rockafellar , S. Uryasev. Optimization of Conditional Value-at-Risk[J]. Journal of Risk,2000(2): 21-41.