近年高考试题出现的以立体图形为载体的轨迹问题，巧妙地整合了立体几何和解析几何．以它的新颖性、综合性而“闪亮登场”，突显了在知识网络交汇点处命题的高考命题改革方向．解答这类问题的关键是把空间问题转化为平面问题，从两个方面考虑：（1） 利用曲线的定义；（2） 用解析法求出轨迹方程．下面精析几例，以期窥一斑而见全豹．
1 利用曲线定义判断轨迹方程
有些以立体几何为载体的轨迹问题，可以利用立体几何相关定义、性质、定理来分析动点满足的条件，定性的确定动点满足某种曲线的定义，从而最终确定动点的轨迹．
例1 如图1，正方体中ABCD―A?1B?1C?1D?1，点P在侧面BCC?1B?1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD?1，则动点P的轨迹是（ ）
图1
?A．? 线段B?1C
?B．? BB?1中点与CC?1中点连成的线段
?C．? 线段BC?1
?D．? BC中点与BC?1中点连成的线段
简析：易知BD?1⊥平面AB?1C，而已知BD?1⊥AP，故AP?平面AB?1C，从而 P∈线段B?1C，选?A?．
例2 （2008浙江理科10）如图2，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）
图2
?A．? 圆
?B．? 椭圆
?C．? 一条直线
?D．? 两条平行直线
简析：若空间中任意点P使得△ABP的面积为定值，则点P的轨迹方程是圆柱的侧面．由题设可知，满足题设动点P的轨迹实质上是一个平面去截一个圆柱的侧面的问题，轨迹是椭圆，选?A?．
例3 如图3，在正方体ABCD―A?1B?1C?1D?1中，P是侧面B?1C内一动点，若P到直线BC与直线C?1D?1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）
图3
?A．? 直线
?B．? 圆
?C．? 双曲线
?D．? 抛物线
简析：因为P到的C?1D?1距离即为P到C?1的距离．所以在面B?1C内，P到定点C?1的距离与P到定直线BC的距离相等．由圆锥曲线的定义知，动点P的轨迹为抛物线，故选?D．?
评析：例1――例3以立体几何知识为载体，考查了直线和圆、圆锥曲线的概念等基础知识，将立体几何与解析几何中的知识相互交汇和相互渗透，体现了知识间的内在联系和整合应用．
2 利用解析方法求出轨迹方程
有些以立体几何为载体的轨迹问题难以定性确定曲线的特征，可以先明确动点在哪个平面内运动，再利用立体几何相关定义、性质、定理确定动点满足的条件，根据情况在该平面内建立平面直角坐标系，运用解析几何中求轨迹方程的方法求出动点的轨迹方程．
例4 （2011年湖北理14）如图，直角坐标系xOy所在的平面为α，直角坐标系x′O′y′（其中y′轴与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45?°?.（1） 已知平面β内有一点P′(22,2)，则点P′在平面α内的射影P的坐标为 ；（2） 已知平面β内的曲线C′的方程是(x′-2)?2+2y?2-2=0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是 ．
简析：依题设，x=22x′，y=y′．对于（1），易知P的坐标为（2，2）；对于（2），将x′=2x，y′=y代入方程得，(2x-2)?2+2y?2-2=0，即(x-1)?2+y?2=1.
例5 （2010重庆理科10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）
?A．? 直线
?B．? 椭圆
?C．? 抛物线
?D．? 双曲线
简析：可将问题纳入长方体进行讨论，不妨设AD、A?1B?1是满足题设的两条异面直线，易知面ABCD是经过直线AB且与直线A?1D?1平行的平面，设点P是平面内轨迹上任意一点，过点P作PF⊥AD于点F，作PE⊥AB于点E，作PE?1⊥A?1B?1于点E?1，易证A?1B?1⊥面PEE?1．又面AC⊥面AB?1，根据面面垂直的性质定理得PE⊥面AB?1，因此PE⊥EE?1．在面ABCD内建立如图所示坐标系，设EE?1=a，设点P（x，y），则PF=x，PE?1=PE?2+EE?2?1=y?2+a?2，由PE?1=PF得，y?2+a?2=x，即x?2a?2-y?2a?2=1，选?D?．
例6 在四棱锥P―ABCD中.AD⊥面PAB．BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（ ）
?A．? 圆
?B．? 不完整的圆
?C．? 抛物线
?D．? 抛物线的一部分
简析：因为AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，所以AD∥BC，且∠DAP=∠CBP=?Rt?∠．易得?tan?∠APD=ADAP，?tan?∠CPB=BCBP．又∠APD=∠CPB，可得ADAP=BCBP，由AD=4，BC=8得PBPA=2．在平面PAB 内，以AB所在直线为x轴、AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（－3，0），B(3，0)． 设点P（x，y），则有PBPA=(x-3)?2+y?2(x+3)?2+y?2=2，即x?2+y?2+10x+9=0．由于点P不在直线AB上，故轨迹为一个不完整的圆，选?B?．
评析：
例4――例6根据题目的信息，利用空间几何性质，把立体几何问题转化到平面上，再利用解析几何的方法探求轨迹，是本组例题的闪光之处．
【小试牛刀】
1． 如图7，定点A和B都在平面α内，定点P∈α,PB⊥α,C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC,那么，动点C在平面内的轨迹是（ ）
图7
?A．? 一条线段，但要去掉两个点
?B．? 一个圆，但要去掉两个点
?C．? 一个椭圆，但要去掉两个点
?D．? 半圆，但要去掉两个点
2． 已知P是正四面体S-ABC的面SBC上的一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹是（ ）
?A．? 线段
?B．? 双曲线
?C．? 椭圆
?D．? 抛物线
图8
3． 如图8，已知正方体ABCD―A?1B?1C?1D?1的棱长为1，点P是平面AC内的动点，若点P到直线A?1D?1的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）
?A．? 抛物线
?B．? 双曲线
?C．? 椭圆
?D．? 直线
4． 平面α、β、γ两两垂直，点A∈α，A到β、γ距离都是3，P是α上动点，P到β的距离是到A点距离的2倍，则P点轨迹上的点到γ距离的最小值是? ?．
【参考答案】
1. ?B?
2. ?C?
3. ?B?
4. 3-3
【温馨提示】
1. 解析：因为AC⊥PC，且PC 在面α内的射影为BC．所以AC⊥BC，即∠ACB=?Rt?∠．所以点C的轨迹是以AB 为直径的圆且去掉A，B 两点，选?B?．
2. 解析：作PO⊥平面ABC于O,作PE⊥BC于E，记∠PEO=α，易得?cos?α=13（二面角），|PO|=?|PE|•??sin?α?|PE|•?sin?α=|PS|?|PS||PE|=?sin?α