篇一：2009年高考试题—数学理(江苏卷)解析版
绝密★启用前
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ试题
参考公式：
1n1n2
样本数据x1,x2,,xn的方差s??(xi?),其中??xi
ni?1ni?1
2
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上. ．．．．．．．．．1.若复数z1?4?29i,z2?6?9i,其中i是虚数单位，则复数(z1?z2)i的实部为▲. [解析]考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念. -20.
2.已知向量a和向量b的夹角为30，|a|?2,|b|a和向量b的数量积a?b=[解析] 考查数量积的运算.a?b?2o
?3. 2
3.函数f(x)?x3?15x2?33x?6的单调减区间为[解析]考查利用导数判断函数的单调性.
f?(x)?3x2?30x?33?3(x?11)(x?1)，
由(x?11)(x?1)?0得单调减区间为(?1,11).亦可填写闭区间或半开半闭区间. 4.函数y?Asin(?x??)（A,?,?为常数,A?0,??0） 在闭区间[??,0]上的图象如图所示，则?=▲. [解析] 考查三角函数的周期知识.
32
T??，T??，所以??3. 23
5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为▲.
[解析] 考查等可能事件的概率知识.从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2. 6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
2
则以上两组数据的方差中较小的一个为s. [解析] 考查统计中的平均值与方差的运算. 甲班的方差较小，数据的平均值为7，
(6?7)2?02?02?(8?7)2?022
?. 故方差s?
55
2
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W[解析] 考查读懂算法的流程图的能力.22.
?.
8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的 面积比为1
：4.类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的 比为1：2，则它们的体积比为 ▲ . [解析] 考查类比的方法.体积比为1：8.
9.在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C:y?x?10x?3
3
上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2， 则点P的坐标为
▲.
[解析] 考查导数的几何意义和计算能力.
y??3x2?10?2?x??2，又点P在第二象限内，
?x??2,点P的坐标为（-2，15）.
10.已知a?
1x
，函数f(x)?a，若实数m、n满足f(m)?f(n)，则m、n的大小关2
系为▲.
[解析] 考查指数函数的单调性.
a?
(0,1)，函数f(x)?ax在R上递减.由f(m)?f(n)得：m<n. 11.已知集合A?xlog2x?2,B?(??,a)，若A?B，则实数a的取值范围是(c,??)，
??
其中c=▲.
[解析] 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式. 由log2x?2得0?
x?4，A?(0,4]；由A?B知a?4，所以c?4.
12.设?和?为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若?内的两条相交直线分别平行于?内的两条直线，则?平行于?； （2）若?外一条直线l与?内的一条直线平行，则l和?平行；
（3）设?和?相交于直线l，若?内有一条直线垂直于l，则?和?垂直； （4）直线l与?垂直的充分必要条件是l与?内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号是▲（写出所有真命题的序号） ．．．
[解析] 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理.真命题的序号是(1)(2). ．．．
x2y213.如图，在平面直角坐标系xOy中，A1,A2,B1,B2为椭圆2?2?1(a?b?0)的四个顶点，
abF为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的
中点，则该椭圆的离心率为▲.
[解析] 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等.以及直线的方程. 直线A1B2的方程为：直线B1F的方程为：
xy
??1； ?ab
xy??1.二者联立解得： c?b
T(
2acb(a?c)
,)， a?ca?c
x2y2acb(a?c)
,)在椭圆2?2?1(a?b?0)上， 则M(
aba?c2(a?c)
c2(a?c)2222
??1,c?10ac?3a?0,e?10e?3?0，
22
(a?c)4(a?c)
解得：e?5.
14．设?an?是公比为q的等比数列，|q|?1，令bn?an?1(n?1,2,四项在集合??53,?23,19,37,82?中，则6q= ▲ . [解析] 考查等价转化能力和分析问题的能力.等比数列的通项.
)，若数列?bn?有连续
?an?有连续四项在集合??54,?24,18,36,81?，四项?24,36,?54,81成等比数列，公比为
3
q??，6q= -9.
2
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）
设向量a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?). （1）若a与b?2c垂直，求tan(???)的值； （2）求|b?c|的最大值；
（3）若tan?tan??16，求证：a∥b.
[解析] 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力
.
16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，E、F分别
D在B1C1上，A1D?B1C. 是A1B、AC1的中点，点
求证：（1）EF∥平面ABC；
?平面BB1C1C. （2）平面A1FD
[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，
考查空间想象能力、推理论证能力
.
17．（本小题满分14分）
设?an?是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a2?a3?a4?a5,S7?7.
2
2
2
2
（1）求数列?an?的通项公式及前n项和Sn； （2）试求所有的正整数m，使得
amam?1
为数列?an?中的项. am?2
[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解能力. （1）设公差为d，则a2
2
222
，由性质得?3d(a4?a3)?d(a4?a3)，因为?a5?a4?a3
d?0，所以a4?a3?0，即2a1?5d?0，又由S7?7得7a1?
7?6
d?7，解得2
a1??5，d?2,
(2)（方法一）
amam?1(2m?7)(2m?5)
=,
2m?3am?2
8amam?1(t?4)(t?2)
?t??6,所以t为8的约数
. =
ttam?2
设2m?3?t,则
（方法二）因为
amam?1(am?2?4)(am?2?2)8
为数列?an?中的项， ??am?2?6?
am?2am?2am?2
故
8 am+2
为整数,又由（1）知am?2为奇数,所以am?2?2m?3??1,即m?1,2.
经检验,符合题意的正整数只有m?2. 18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x?3)2?(y?1)2?4和圆C2:(x?4)2?(y?5)2?4. （1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C
1截得的弦长为l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等.试求所有满足条件的点P的坐标.
[解析] 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力.
(1)由于直线x=4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为：y?k(x?4)，即kx?y?4k?
篇二：09年江苏高考数学试卷及答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式：
1n1n2
s??(xi?),其中??xi
x,x,?,xn的方差ni?1ni?1
样本数据12
2
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。 1.若复数______
?
b30a2.已知向量和向量的夹角为，|a|?2,|b|?a和向量b的数量积
z1?4?29i,z2?6?9i，其中i
是虚数单位，则复数
(z1?z2)i的实部为
a?b?__________.
32
f(x)?x?15x?33x?6的单调减区间为_____
3.函数
4.函数
y?sAi?n?(x?
)A?(为?
常数，
A?0,??0)在闭区间[??,0]上的图象如图所示，则
??_______.
5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为________.
6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
则以上两组数据的方差中较小的一个为s
2
?________.
?________ .
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W
8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为________ .
xoy中，点
9.在平面直角坐标系
P
3
C:y?x?10x?3在曲线
上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则
点P的坐标为________.
a?
10.已
知
?1
x
f(x)?a2，函数
，若实数
m,n
满足
f(m)?f(n，则)m,n的大小关系为 ________
. 11.已知集合
A??x|log2x?2?，B?(??,a)，若A?B则
(c,??)，其中c?________ .
实数a的取值范围是
12.设?和?为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若?内的两条相交直线分别平行于?内的两条直线，则?平行于?； （2）若?外一条直线l与?内的一条直线平行，则l和?平行；
（3）设?和?相交于直线l，若?内有一条直线垂直于l，则?和?垂直； （4）直线l与?垂直的充分必要条件是l与?内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号________（写出所有真命题的序号）. 13．如图，在平面直角坐标系
2
2
xoy中，A1,A2,B1,B2为椭圆
为其右焦点，直线
恰为线
xy
??1(a?b?0)22ab的四个顶点，F
A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M
段OT的中点，则该椭圆的离心率为
________.
14．设
?an?是公比为q的等比数列，|q|?1，令bn?an?1(n?1,2,?)若数列?bn?
??53,?23,19,37,82?中，则6q? ________
有连续四项在集合
二、解答题：本大题共6小题，共计90分。 15．（本小题满分14分） 设向量
a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?)
tan(???)的值；
（1）若a与b?2c垂直，求（2）求|b?c|的最大值; （3）若tan?tan?
?16，求证：a∥b.
16．（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱上，
ABC?A1BC11中，E,F分别是A1B,AC1的中点，点D在B1C1
A1D?B1C
求证：(1)EF∥平面ABC
（2）
平面AFD?平面BBC111C
17．（本小题满分14分）
2222
aS??a?a?a?ann345,S7?7 设是公差不为零的等差数列，n为其前项和，满足2
（1）求数列
?an?的通项公式及前n项和Sn；
amam?1
a?a?（2）试求所有的正整数m，使得m?2为数列n中的项.
18．（本小题满分16分）
22
xoyC:(x?3)?(y?1)?4和圆
在平面直角坐标系中，已知圆1
C2:(x?4)2?(y?5)2?4
（1）若直线l过点直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线
A(4,0)，且被圆C
1截得的弦长为，求
l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆
C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足
条件的点P的坐标.
19.(本小题满分16分)
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为
m
m元，则他的满意度为m?a
；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为
n
n?a.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为出B的综合满意度为
mA元和mB元，甲买进A与卖
h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙
3m?mBAhhmm5时，求证：h甲=h乙； 求甲和乙关于A、B的表达式；当
3
mA?mB
5，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综设
合满意度为多少？
记(2)中最大的综合满意度为
h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲?h0和
h乙?h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
3
m?mBAhhmm5时，求证：h甲=h乙； 求甲和乙关于A、B的表达式；当
3
mA?mB
5，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综设
合满意度为多少？
记(2)中最大的综合满意度为
h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲?h0和
h乙?h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
篇三：2009年江苏高考数学试题及参考答案
2009江苏高考数学试题及参考答案
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