摘 要：讨论了一类中立型非自治随机微分方程。如果线性算子A（t）满足Acquistapace -Terreni(AT)条件，那么就存在一个与之联系的发展类 。我们利用发展类的性质和Banach不动点定理，得到了这类方程的均方概周期温和解的存在唯一性。
关键词：中立型非自治 概周期 Acquistapace-Terreni条件 发展类
中图分类号：O175 文献标识码：A 文章编号：1007-3973（2012）002-090-03
1 引言
H.Bohr[9] 率先介绍了概周期数值函数的概念，S.Bochner[8]将其扩展到波兰空间。关于概周期函数的其他文献，我们可以参考[10,11,12]等。Slutsky[14]首次将概周期概念引入到多维随机过程。最近，Bezandry和Diagana在[2]-[7]中系统地讨论了各类随机微分方程概周期温和解的存在唯一性。
设 是通常的完备概率空间； 和 是两个实Hilbert空间； 表示所有从J到H的Hilbert-Schmidt算子组成的空间，并赋以Hilbert-Schmidt范数 ； 是具有有限迹的非负对称算子； 是定义在 上取值为J的 可测的Q-Wiener过程，其中 表示所有可测且平方可积H-值随机变量组成的集合，显然当其赋以范数 时是一个Banach空间；和 ，规定范数 ，此处 表示 的转置。
2 问题描述
以[2]-[7]为基础，我们考虑下列非自治中立型随机微分方程的均方概周期温和解的存在唯一性：
（1）
其中，是 值随机过程， 表示定义在 上的H值函数 组成的空间，若规定范数为： ，那么它是一个Banach空间。 是满足一些假设的连续函数。A(t)是满足(AT)条件的紧闭线性算子。
3 定义和假设
我们定义如下实插值空间(参考[15]1.7节)：
，当赋以范数 时，它是一个Banach空间。于是对任意的 和 ，我们有 ；特别地， 。
本文假设：
是满足以下条件的紧闭线性算子(参考[3])：
(1) (AT)条件(参考[1])且对于(AT)条件中的 有 ， ，其中表示有界线性算子；
(2) ，且存在，使得对任意的， 成为 的实插值空间；
(3) 与 可交换，且U(t,s)指数稳定，即：存在常数 使得 ；
(H2) 连续函数 在子紧空间 是一致均方概周期的，而且满足Lipschitz条件，即：存在常数 使得对任意的随机过程和 下列不等式成立 ；
(H3) 对连续函数g和h类似(H2)，将 分别改为和 即可。
4 主要结论
定理：对任意的 0， 在(H1)―(H3)的假设下，只要
，那么方程(1)有唯一的均方概周期温和解，且有如下表达式：
(2)
注：对算子 关于t是周期的情形已由Da Prato-Tudor[13]给出了相应的结论。
5 定理的证明
首先根据[15]1.7节的引理1.6可知 是可积的，对任意的 有：
所以(2)式是方程(1)的温和解(温和解的定义参考[3])。
假设，易知，由[7]的定理2.7可得 也是均方概周期的，于是根据[3]的引理2.4存在一个正常数c1使得：
。
我们作如下记号：
下面我们证明只要 是均方概周期的，那么 也是均方概周期的。
根据[3]引理3.1，利用holder不等式，[15]的命题1.14(i)和引理1.6可得：
其中：
因为，所以。
记号 和 可参考[15]的命题1.14(i)和引理1.6。
根据[7]第五节得：
。
因此 是均方概周期的。
类似地估计 如下：
根据[7]第五节得：
。
因此 也是均方概周期的。
下一步证明 是均方概周期的。不过因其受Brown运动影响，变得稍微复杂，为了克服这个困难，我们利用Ito等距变换和对每一个 定义 ，并注意到W也是Brown运动且与W有同样的分布。由BDG不等式和[15]命题1.14(i)，可得：
根据[7]第五节得：
。
因此 是均方概周期的。
定义记号：
根据前面的证明和概周期的基本性质，Ⅱ是映 到自身。由Banach不动点定理，剩下只须证明是压缩映射。很显然
令，下面我们估计上式中右边的每一项。
；
其证明过程和方法与前面类似。
综合上述，我们可得：
因此，如果 那么方程(1)有唯一不动点，显然此不动点即为其唯一的均方概周期温和解。
注：(1)当 且 时，我们可以去掉关于t是概周期的这个假设，其结果是[3]的一个直接延伸。
(2)当 且 关于t是独立的，那么我们可以假设A是一致指数稳定半群 生成的无穷维算子，而不用假设其满足(AT)条件，它就是[2]的结论。
参考文献：
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