方程（组）部分 ■ 一元一次方程是最简单的方程，例如，___________________. 解一元一次方程的步骤是__________________________________________________. 解二元一次方程组的基本思想是__________________，方法有________________________. 若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b2-4ac，则当_________时，方程有两个不相等的实数根；当__________时，方程有两个相等的实数根；当__________时，方程没有实数根. 若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）两个根为x1，x2，则x1+x2=______，x1x2=_______.
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例1 （2011广东湛江）若x=2是关于x的方程2x+3m-1=0的解，则m的值为____________.
分析：本题主要考查的是一元一次方程解的意义以及解一元一次方程. 根据解的意义，得4+3m-1=0，解这个关于m的方程，得m=-1.
例2 （2011福建泉州）已知x，y满足方程组2x+y=5，x+2y=4，则x-y的值为_______.
分析：本题可分别求出x，y，也可以观察两个方程的特点，将两个方程相减，直接得到x-y=1.
例3 （2011湖北襄阳）关于x的分式方程■+■=1的解为正数，则m的取值范围是________________.
分析：本题先求分式方程的解，再求取值范围. 分式方程■+■=1的解为x=m-2. 由m-2＞0，得m＞2. 注意到分母不能为0，所以x≠1，即m≠3. 故所填结果为m＞2且m≠3.
例4 （2011甘肃兰州）用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（ ）
A. （x+1）2=6 B. （x-1）2=9 C. （x-1）2=6 D. （x-2）2=9
分析：本题主要考查的是用配方法解一元二次方程，这是初中阶段必须掌握的学习内容. 本题选C.
例5 （2011江苏苏州）下列四个结论中，正确的是（ ）
A. 方程x＋■=-2有两个不相等的实数根
B. 方程x＋■=1有两个不相等的实数根
C. 方程x＋■=2有两个不相等的实数根
D. 方程x＋■=a（其中a为常数，且|a|＞2）有两个不相等的实数根
分析：本题利用一元二次方程根的判别式进行求解，将方程x＋■=a化为一元二次方程x2-ax＋1=0，要使方程x2-ax＋1=0有两不相等的实数，则△=a2-4＞0，解得|a|＞2. 故选D.
注意：方程x＋■=a与一元二次方程x2-ax＋1=0是同解的.
例6 （2011年湖北孝感）已知关于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根x1，x2，
（1） 求k的取值范围；
（2） 若|x1+x2|=x1x2-1，求k的值.
分析：本题是一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的综合题，考查的数学思想方法是分类讨论.
（1） 因为方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根，所以△=［-2（k-1）］2-4k2=-8k＋4≥0，解得k≤■.
（2） 依题意，得x1+x2=2（k-1），x1x2=k2. 分两种情况讨论：① 当x1+x2≥0时，则有x1+x2=x1x2-1，即2（k-1）=k2-1，解得k1=k2=1. 由（1）知，此解不合题意，舍去. ② 当x1+x2＜0时，则有x1+x2=1-x1x2，即2（k-1）=1-k2，解得k1=1，k2=-3. ∵ k≤■，∴ k=-3. 综上所述，k的值为-3.
注意：在分类讨论时，不能有遗漏.
例7 （2011江苏无锡）十一届全国人大常委会第二十次会议审议的《中华人民共和国个人所得税法修正案（草案）》（简称“个税法修正案草案”），拟将现行个人所得税的起征点由每月2 000元提高到3 000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表：
注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额. “速算扣除数”是为了快捷简便计算个人所得税而设定的一个数.
例如，按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2 600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算：
方法一：按1～3级超额累进税率计算，即500×5%+1 500×10%+600×15%=265（元）；
方法二：用“月应纳税额×适用税率-速算扣除数”计算，即2 600×15%-125=265（元）.
（1） 请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整；
（2） 甲今年3月缴了个人所得税1 060元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元？
（3） 乙今年3月缴了个人所得税三千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴纳的税款恰好不变，那么乙今年3月所缴税款的具体数额为多少元？
分析 这是一道来自于现实生活的试题. 本题有一定的阅读量，只有读懂题目，才能解题正确. （1） 在纳税的范围内，任意取一个数，用两种不同的方法计算应缴税款，即可得到75，525；（2） 判断在“现行征税方法”下，缴个人所得税1 060元对应的税级为4级. 设甲的月应纳税所得额为x元，根据题意得20%x-375=1 060，解得x=7 175. ∴ 甲这个月的应纳税所得额是7 175元. 再按“草案征税方法”计算，则他应缴税款为（7 175-1 000）×20%-525=710元；（3） 判断缴个人所得税三千多元，两种纳税方法的税级都是4级. 设乙的月应纳税所得额为x元，根据题意得20%x-375=25%（x-1 000）-975，解得x=17 000. ∴ 乙今年3月所缴税款的具体数额为17 000×20%-375=3 025元.
说明：全国人大常委会6月30日通过关于修改个人所得税法的决定. 根据决定，个税起征点将从现行约2 000元提高到3 500元.
注意：（1） 本题的两种纳税方法的个人所得税的起征点不一样；
（2） 理清并能正确判断所缴个人所得税的金额所对应的税级.
例8 （2011湖北宜昌）随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性提高员工当年的月工资. 尹进2008年的月工资为2 000元，在2010年时他的月工资增加到2 420元，他2011年的月工资按2008到2010年的月工资的平均增长率继续增长.
（1） 尹进2011年的月工资为多少？
（2） 尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2011年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校. 请问，尹进总共捐献了多少本工具书？
分析：（1） 要计算尹进2011年的月工资，必须先计算出尹进从2008年到2010年的月工资的平均增长率. 因此设尹进2008到2010年的月工资的平均增长率为x，则2 000（1＋x）2=2 420. 解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1. 所以尹进2011年的月工资为2 420×（1＋0.1）=2 662元；（2） 根据题意，可设甲工具书单价为m元，第一次选购y本；设乙工具书单价为n元，第一次选购z本. 这样得到含4个未知数的3个方程，即m+n=242，ny+mz=2 662，my+nz=2 662-242.目标是求y＋z，故用整体代入计算出y＋z的值为21. 这只是第一次算错单价购置的两种工具书的和，因为尹进又用剩下的242元购置了2本工具书，所以尹进捐出的这两种工具书总共有23本.
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1. 将含有分数或分式的方程去分母时，注意不要漏乘
例1 （2011四川绵阳）解方程■-■=1.
误解：去分母，得2x（2x＋5）-2（2x-5）=1. 整理，得4x2＋6x＋9=0. 此方程无解.
正解：去分母，得2x（2x＋5）-2（2x-5）=（2x＋5）（2x-5）. 整理，得x=-■.
2. 方程解的概念要清晰
例2 方程组x+y=25，2x-y=8的解是（ ）
A. x=10，y=15 B. x=5，y=2 C. x=11，y=14 D. x=10，y=15或x=5，y=2
误解：D.
剖析：二元一次方程组的解是组内两个方程的公共解，而x=10，y=15或x=5，y=2只是方程组x+y=25，2x-y=8中的一个方程的解，所以它们都不是方程组的解. 正确答案是C.
3. 在方程有实数根的前提下，才能利用一元二次方程根与系数的关系解题
例3 （2011湖北荆州）关于x的方程ax2-（3a＋1）x＋2（a＋1）=0有两个不相等的实根x1，x2，且有x1-x1x2＋x2=1-a，则a的值是（ ）
A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 2
误解：由题意可知x1＋x2=■，x1x2=■，则■-■=1-a. 整理，得a2=1，解得a=±1. 所以选择C.
剖析：本题所给条件是“两个不相等的实数根”，所以求出方程中a的值必须代入判别式检验，使△≤0的a的值要舍去.
正解：当a=1时，△=0，方程有两个相等的实数根，a=1舍去；当a=-1时，△=4，方程有两个不相等的实数根. 故选择B.
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例1 （2011湖北荆州）对于两个非零的实数a，b，规定a?茚b=■-■，若1?茚（x+1）=1，则x的值为（ ）
A. ■ B. ■ C. ■ D. -■
分析：本题是一道自定义试题，需要根据规定列出方程，然后求解. 即■-1=1，解得x=-■. 故选择D.
例2 （2011上海）解方程组x-y=2，x2-2xy-3y2=0.
分析1：本题常规解法是由x-y=2，得y=x-2. 把y=x-2代入x2-2xy-3y2=0，整理，得x2-4x＋3=0. 解这个方程，得x1=1，x2=3. 将x的值代入y=x-2，得y的值. 则原方程组的解为x1=1，y1=-1；x2=3，y2=1.
分析2：运用整体思想，将x-y看作一个整体，把x2-2xy-3y2=0变形，得（x-y）2-4y2=0，即y2=1. 解得y=±1. 然后代入求出x的值.
例3 （2011山东威海）解方程■-■=0.
分析：本题右边是0，可以将左边进行通分，得■=■，则2x=0且x2-1≠0，解得x=0.
例4 （2011台湾台北）若一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）=2的两根为0、2，则|3a+4b|之值为多少？（ ）
A. 2 B. 5 C. 7 D. 8
分析：条件“根为0”对解题没有用处，只要将“根为2”代入一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）?（x＋2）＋bx（x＋2）=2，得6a+8b=-10，则3a+4b=-5. 故选择B.
例5 （2011四川绵阳）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（ ）
A. x1＜x2＜a＜b B. x1＜a＜x2＜b C. x1＜a＜b＜x2 D. a＜x1＜b＜x2
分析：由于（x-a）（x-b）=1＞0，且x1＜x2，a＜b，所以x1＜a，x2＞b. 故选择C.
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1. （2011湖南邵阳）请写出一个解为x=2的一元一次方程：___________.
2. （2011湖南益阳）二元一次方程x-2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）
A. x=0，y=-■ B. x=1，y=1 C. x=1，y=0 D. x=-1，y=-1
3. （2011山东枣庄）已知x=2，y=1是二元一次方程组ax+by=7，ax-by=1的解，则a-b的值为（ ）
A. -1 B. 1 C. 2 D. 3
4. （2011江西南昌）已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A. 1 B. 2 C. -2 D. 1
5. （2011湖南株洲）食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输. 某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？
6. （2011福建福州）一元二次方程x（x-2）=0根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
7. （2011重庆）已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A. a 6. A. 7. C. 8. -1. 9. D. 10. x=2，y=-1.
11. （1） k的取值范围是k≤0. （2） ∴ k的值为-1和0.
12. （1） 平均每次下调的百分率为10%. （2） 方案①更优惠.
不等式（组）部分
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不等式的性质1：______________________________________________，不等式的性质2：__________________________________，不等式的性质3：______________________________. 一般地，___________________ 叫做由它们所组成的不等式组的解集. 若a＜b时，则不等式组x＞a，x＞b的解集为_______________，不等式组x ■
例1 （2011上海）如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A. a＋c＞b＋c B. c-a＞c-b C. ac＞bc D. ■＞■
分析：本题主要考查不等式的性质，选择A. 在运用“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”这一性质时，要注意不等号方向.
例2 （2011福建福州）不等式组x+1≥-1，■x 2. 注意字母的取值范围.
例2 解关于x的不等式m（x-2）＞x-2.
错解：化简，得（m-1）x＞2（m-1）. 所以x＞2.
诊断：产生错解的原因是默认m-1＞0，实际上还可能小于或等于0.
正解：化简，得（m-1）x＞2（m-1）. 当m-1＞0时，x＞2；当m-1＜0时，x＜2；当m-1=0时，即m=1时，无解.
3. 注意对“≥（或≤）”中“=”正确取舍
例3 如果不等式3x-m≤0的正整数解是1，2，3，那么m的取值范围是______________.
错解：∵ 3x-m≤0的正整数解是1，2，3，∴ 3≤■≤4. ∴ 9≤m≤12.
正解：∵ 3x-m≤0的正整数解是1，2，3，∴ 3≤■＜4. ∴ 9≤m＜12.
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例1 （2011山东日照）若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a-1）x＜a+5成立，则a的取值范围是（ ）
A. 1＜a≤7 B. a≤7 C. a＜1或a≥7 D. a=7
分析：本题的常规解法是解不等式2x＜4，得解集为x＜2. 由题意可知，只有a-1＞0，即a＞1时，才有x＜■. 所以■≥2. 所以a+5≥2（a-1），解得a≤7. 故选择A. 还可以在每个选项中任取一个数a的值，代入（a-1）x＜a+5中，求得x的解集，然后与不等式2x＜4进行比较，得到解集.
例2 （2011湖北鄂州）若关于x，y的二元一次方程组3x+y=1+a，x+3y=3的解满足x＋y＜2，则a的取值范围为_______________.
分析：本题运用整体思想，两式相加，再除以4，得x+y=1+■，再由1+■＜2，解得a＜4.
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1. （2011江苏无锡）若a＞b，则（ ）
A. a＞-b B. a＜-b C. -2a＞-2b D. -2a＜-2b
2. （2011浙江金华）不等式组2x-1＞1，4-2x≥0的解集在数轴上表示为（ ）
3. （2011山东烟台）不等式4-3x≥2x-6的非负整数解有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. （2011江苏苏州）不等式组x-3≥0，■