【摘要】本文用时变SJC Copula函数和基于秩的极大似然估计法对沪港两市的尾部相关性进行了实证研究。结果表明沪港股市的下尾相关程度略大于上尾，按两阶段分析，第一阶段几乎不存在下尾相关，上尾相关亦不明显；第二阶段的尾部（尤其是下尾）关联程度明显高于第一阶段，并且下尾相关程度大于上尾。
【关键词】上证综指；恒生指数；Copula函数；尾部相关性
1.引言
多元分布函数是描述随机变量相关性的最基本方法，但传统的多元分布函数在实际应用中存在：变量较多时函数的解析式很难处理，并且存在一定的约束条件，不仅要求各个边缘分布函数类型相同，而且要求边缘分布函数的类型和多元分布函数的类型一致等问题。事实上，金融市场的边缘分布函数一般不是服从同一类型分布。这使得传统的多元分布函数很难在分析金融市场相关性中得到广泛的应用。由Sklar定理知，可以通过Copula函数构造灵活的多元分布函数，从而掌握金融市场之间的真实相关性，并且由Copula函数导出的相关性测度不仅可以捕捉随机变量间的非线性、非对称相关性，还可以更容易地刻画分布的尾部相关性。
Copula理论可以将一个联合分布分解为k个边缘发布和一个Copula函数，这个Copula函数描述了变量之间的相关性[1]。由此可看出，Copula函数实际上是一种将联合分布函数与它们各自的边缘分布函数连接在一起的函数，因此也有人称它为连接函数[2]。Copula理论的应用在国际上已经取得了极大的进展，如Patton(2001)[3]构造了马克-美元和日元-美元汇率的收益的二元Copula模型，并与相应的BEKK-GARCH模型做了比较，结果表明Copula模型可以更好地描述金融市场之间的相关关系；Hu（2002）[4]用一个混合Copula函数来描述具有不同相关程度和相关模式的金融市场之间的相关关系。国内学者从2002年开始了Copula在金融数据分析中的研究，韦艳华（2004）[5]将Copula函数和GARCH模型结合，研究了沪深股市的相关结构，傅强、邢琳琳（2009）[6]将极值理论和Copula函数应用于资产风险的研究以及条件VaR的估计.国内对Copula理论的关注程度越来越高，应用范围也是越来越广。
股票市场的尾部相关性考察的是当一个股票市场收益率高涨(猛跌)时，是否会引起其他股票市场价格的高涨(猛跌)。与通常两个股票市场之间的相关关系相比，在市场价格急剧上涨或下跌等极端情况下的相关关系会呈现出与平时不同的特征。在市场极端波动时，两个股票市场之间的尾部相关性对全球投资组合的风险影响更大，因而对控制风险而言，研究两个股票市场之间的尾部相关性更为重要。本文研究沪港两市的尾部相关性，对投资组合和风险管理有一定的意义，有助于市场投资者进行跨市场组合投资分析，从而分散风险，提高收益。
对沪港股市的尾部相关性研究，国内李悦、程希骏（2006）[7]用Gumbel-Hougard copula对上证指数和恒生指数进行尾部相关性，发现两者具有较好的上尾相关性，而没有讨论下尾相关性。Gumbel copula是一种对上尾相关性敏感的静态Copula函数，本文拟选用多种Copula函数，包括几种常见的静态单参数和双参数Copula函数，以及几种动态Copula函数，重点研究时变SJC Copula这种对上尾相关性和下尾相关性都非常敏感的动态Copula函数（因为其参数为上下尾相关系数）。王?（2009）[8]用BB1 Copula函数研究两市的尾部相关性，发现两市具有较强的上尾相关性，但BB1 Copula函数作为一种静态的Copula函数，不能看出相关性变化的趋势。本文经过动态分析趋势后，将样本分为两阶段分析，发现这两阶段有着截然不同的表现。较之静态的Copula函数，这样做能够更准确、全面地捕捉到金融市场之间尾部相关性的变化。刘伟（2009）[9]选用SJC-Copula-EGARCH模型分析了沪港两市的尾部相关性，参数估计法为极大似然估计法，这种方法的缺陷是易受到边缘分布的影响，而本文选用基于秩的极大似然估计法，可以避免这种影响。因为极大似然估计法必须先估计边缘分布函数的参数，如果边缘分布函数选择不准确或对其参数估计不准确的话，都将对最终参数的估计造成不利的影响，而本文选取的估计方法可以直接从样本出发，无需给出边缘分布函数和对其参数进行估计，从而避免了边缘分布的影响。
本文结构安排如下：第二部分介绍Copula函数的一些理论知识，重点为时变SJC Copula函数;第三部分着重介绍基于秩的极大似然估计法，其相比于其他估计法的优越性也将在此部分给出;第四部分采用多种Copula函数对沪港股市的尾部相关性进行实证研究，得出结论。
2.Copula函数理论知识
SJC Copula函数是由JC Copula函数演变而来的，Joe-Clayton Copula函数的分布函数为：
其中函数是logistic转换函数，它的作用是确保上尾和下尾相关系数都处于（0，1）区间内。
3.参数估计与检验方法
3.1 参数估计方法
参数估计法较常用的有严格极大似然法(EML)和边缘分布推断法(IFM)。严格极大似然法是同时估计边缘分布和Copula函数中的参数；边缘分布推断法是将估计过程分为两步，先估计边缘分布函数的参数，然后估计Copula函数的参数，因此又被称为两阶段极大似然估计法。因为EML和IFM法都必须估计边缘分布函数的参数，如果边缘分布函数选择不准确或对其参数估计不准确的话，都将对最终参数的估计造成不利的影响。
非参数法中常用的是Genest and Rivest法。而对于多参数阿基米德Copula函数，Genest and Rivest法不是很适用。由于两个随机变量的相关结构只与它们的相关函数Copula有关，而与边缘分布没有关系，因此通过样本直接估计Copula函数的参数将更加接近随机变量间的真实结构。
半参数估计法中有伪极大似然估计法和基于秩的极大似然估计法，后者是由前者经过变换得来的，因此我们先来看伪极大似然估计法。假设是随机向量(X，Y)的一个样本，是X和y的Copula函数，伪极大似然估计的对数似然函数为：
其中：A代表极大似然函数；M代表独立参数的个数；n代表样本容量。AIC和BIC包含了模型和参数估计值的信息，其值越小，其拟合效果越好。
4.实证分析
与内地股票市场的发展不同，香港作为世界上最成熟的资本市场之一，其高度的开放性使得香港股市与国际股市具有很强的联动性，作为紧邻大陆的国际金融中心之一，吸引了大批内地企业上市。而沪指作为内地股市的代表，和港指在尾部相关性上有着怎样的表现呢？以下将展开实证分析。
4.1 样本的选取和初步分析
本文选取上证综指和恒生指数（数据来自雅虎财经）自1996年12月31日到2011年2月22日的日收盘价作为样本，剔除不在同一天交易的数据，最后得到3328组数据。两市每日的收益率为数据处理后的相邻交易日收盘价的一阶差分，即。
经过处理后的到收益率数据3327个。本文使用的软件为matlab-
R2009a。上证综指和恒生指数对数收益率图如图1和图2所示。
4.3 参数估计及尾部相关性分析
我们先来求静态的SJC Copula函数的上下尾相关系数，下尾相关系数（0.1088）略大于上尾相关系数（0.0844）。
但是，单从静态的两个系数难以看出上下尾相关结构的变化情况，下面用时变的SJC Copula函数来做动态的分析，首先我们根据前面提到的基于秩的极大似然估计法求出时变SJC Copula函数的参数如表2所示。
下面给出上下尾动态变化图，如图3，从图中可以看出上下尾相关系数分别围绕0.0844和0.1088上下浮动，但都表现出来增大的趋势，为了看清这种变化的趋势，我们把3327个数据分成两个阶段，第一个阶段包含1663个数据，第二个阶段包含1664个数据，时间分界线是2004年2月26日，经拟合度检验后发现，时变SJC Copula函数对这两阶段的拟合都是最好的，并求得第一阶段的=0.0314，=0.0000，第二阶段的=0.1569，=0.2763
它们的动态变化图分别如图4（a）和图4（b）所示。可见两市上下尾相关性都有了大幅度的增加，尤其是下尾相关性，由原来的几乎为0，增加到了0.2763，两市的关联性已经有了质的变化。
5.结论
本文通过AIC和BIC信息准则，从几种动态和静态Copula函数中选出了拟合度最好的时变SJC Copula函数对沪港两市的尾部相关性进行了分析，参数估计方法为基于秩的极大似然估计法。结果发现所选样本得到的下尾相关性略高于上尾相关性，上下尾相关性都表现出了增大的趋势，于是笔者把样本分为两个阶段分析，结果发现第一阶段表现出的主要是上尾相关性，下尾相关系数几乎为0，第二阶段则下尾相关系数大于上尾相关系数，下尾相关系数已经由第一阶段的几乎为0增加到了0.2763。从本文数据可以看出，两市的关联程度表现的趋势是逐渐增大的，尤其是下尾相关性，说明上海股市正由一个新兴的股票市场向成熟股票市场转变。
该研究一方面将有助于市场投资者进行跨市场组合投资分析，从而分散风险，提高收益；另一方面对于保证我国证券市场乃至金融市场的正常运行，抵御外来金融风险冲击，保证国家金融安全及相关政策的制定具有一定的参考价值。
参考文献
[1]Sklar A.Fonctions de repartition à n dimensions et leurs marges[J].Publication de l’Institut de Statistique de l’Universite de Paris,1959,8:229-231.
[2]张荛庭.连接函数(Copula)技术与金融风险分析[J].统计研究,2002(4):48-51.
[3]Patton A J.Modeling time-varying exchange rate dependence using the conditional copula[Z].Department of Economics,University of California,San Diego,2001.
[4]Hu L.Essays in econometrics with applications in macroeconomic and financial modelling[D].New Haven:Yale University,2002.
[5]韦艳华,张世英.金融市场的相关性分析――Copula-GARCH模型及其应用[J].系统工程,2004,22(4):7-12.
[6]傅强,邢琳琳.基于极值理论和Copula函数的条件VaR计算[J].系统工程学报,2009,24(5):531-537.
[7]李悦,程希骏.上证指数和恒生指数的copula尾部相关性分析[J].系统工程,2006,24(5):88-92.
[8]王?.基于不同类型Copula沪港股市相关性分析[D].合肥:中国科技大学管理科学与工程系,2009.
[9]刘伟.基于时变连接函数的股票市场相关性分析[D].北京:北京工业大学管理科学与工程系,2009.
[10]任仙玲,张世英.基于Copula函数的金融市场尾部相关性分析[J].统计与信息论坛,2008,23(6):66-71.
作者简介：
傅强（1963―），男，重庆人，博士，重庆大学经济与工商管理学院教授，博士生导师，研究方向：金融动力系统、技术创新。
李?（1987―），男，山东临沂人，重庆大学数学与统计学院2009级硕士研究生，研究方向：金融数学及应用动力系统。