篇一：2015年上海高考数学理
ass="txt">考生注意：1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.
2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. 设全集U?R，若集合A??1,2,3,4?,B??x|2?x?3?，则A?eUB?【答案】?1,4?；
1,4?. 【解析】根据题意，可得e，故A?eUB??UB??x|x?3或x?2?
2.若复数z满足3z?z?1?i，其中i为虚数单位，则z? . 【答案】
11
?i； 42
【解析】设z?x?yi?x,y?R?，根据题意，有z?x?yi，可把3z?z?1?i化简成 1111
3x?3yi?x?yi?1?i，对于系数相等可得出x?,y?，?z??i.
4242?23c1??x?3
3.若线性方程组的增广矩阵为?，则c1?c2??、解为?
y?501c??2?
【答案】16；
【解析】根据增广矩阵的定义可以还原成方程组
?2x?3y?c1?x?3
把?代入，可得c1?21,c2?5，?c1?c2?16. ?
0?y?cy?5??2
4. 若正三棱柱的所有棱长均为a
，且其体积为，则a? . 【答案】4；
【解析】根据正三棱柱的体积计算公式
13
V?h?S底=a??a??a?4.
25.抛物线y2?2px?p?0?上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p?【答案】2；
【解析】根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q运动到原点的时候，才与抛物线焦点
的距离的最小，所以有QPmin?1?
p
,?p?2. 2
6.若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2?，则其母线与轴的夹角的大小为 . 【答案】
?； 3
1
【解析】设这个圆锥的母线长为h'，底面半径为r，母线与轴的夹角为?，所以S侧=?l?h'，
2
1
?l?h'
S1
?2?，
而过轴的截面是一个三角形，故S轴??2r?h，有
h?所以侧?S轴?2r?h2
2
?h?2h,h?
'
r?h'???. ?
，sin??'?
h3r7.方程log29x?1?5?log23x?1?2?2的解为【答案】2；
【解析】由条件可得
?9x?1?5?0??x?1x?12
?33?2?0???4?3x?1?3?0,?3x?1?3??3x?1?1??0 ?
?x?1x?19?5?43?2????
3x?1?3,?x?2,3x?1?1,?x?1，所以x?1或x?2，检验后只有x?2符合；
????
8.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为 .（结果用数值表示） 【答案】120；
【解析】这里男女老师都要有的话，可以分男1、女4，男2、女3和男3、女4
14332C6?C32C6?C3C6?45?60?15?120. 所以有C3
9.已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2，若C1
的渐近线方程为y?，则C2的渐近线方程为 .
【答案】y?； ?x?x0
【解析】设点P和Q的坐标为?x,y?、?x0,y0?，则有?
y?2y0?
又因为C1
的渐近线方程为y?，故设C1的方程为3x2?y2??，
22
?4y0??，令?
?0，?2y?0即为曲线C2的渐近线方程，把P点坐标代入，可得3x0
即y?； ?1
x
x?10.设f?1?x?为f?x??2x?2?,x??0,2?的反函数，则y?f??
2
为 . 【答案】4；
f??x的最大值
x
【解析】通过分析，我们可得函数f?x??2x?2?在定义域?0,2?上是单调递增的，且值域为
2
?1?
2?，由反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域以及反函数与?4，???1?
2?，值域为?0,2?，又原函数与反函数的原函数的单调性相同，可得f?1?x?的定义域为?，?4?
?1?
2?，故ymax?fmax?2??fmax?1?2??4. 公共定义域为?，?4?1??
11. 在?1?x?2015?的展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）
x??
10
【答案】45；
1?1?
【解析】在?1?x?2015?中要得到x2项的系数，肯定不能含有2015项，
xx??
10
10
故只有C
?1?x?
10
1010?1?2822
?2015???1?x?，而对于?1?x?，x项的系数为C101x?45. ?x?
12.赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客现在标有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量?1和?2分别表示赌客在每一局赌博中的赌金与奖金，则E?1?E?2?（元）
【答案】0.2；
【解析】由题可知，
4433221
P??2?1.4??2?,P??2?2.8??2?,P??2?4.2??2?,P??2?5.6??
C510C510C51010所以，?1和?2的分布列分别为：
E?1?
1
?1?2?3?4?5??35
，
E?2?1.4?0.4?2.8?0.3?4.2?0.2?5.6?0.1?2.8，即有E?1?E?2?0.2.
13.已知函数f
?x??sinx，若
x1,x2,?,xm存在满足0?x1?x2???xm?6?，且
f?x1??f?x
2
???f?xm???1f?xm??12??f?x?2?f?x?3?m?2m,?N*?，则m的最小值
为 .
【答案】8；
【解析】对任意的xi,xj，f?xi??f?xj??f?x?max?f?x?min?2，
欲使m取最小值，尽可能多的让xi?i?1,2,?,m?取最值点，考虑到0?x1?x2???xm?6?，
f?x1??f?x2??f?x2??f?x3????f?xm?1??f?xm??12?m?2,m?N*?，按照下图所示取
值可以满足条件
所以m的最小值为8
； 14.在锐角?ABC中，tanA?
1
，D为BC边上的一点，?ABD与?ACD面积分别为2和4，2
????????
过D作DE?AB于E，DF?AC于F，则DE?DF?【答案】?
16； 15
【解析】由题可知，cos?EDF??cosA， S?ABD?
11
ABDE?2，S?ACD?ACDF?4，
D22
48112，DF?，ABAC? S?ABC?ABACsinA?6，所以DE?ABAC2sinA
????????????????4832DE?DF?DE?DFcos?EDF??cosA??cosA，化简可得
ABACABAC
????????8442tanA16DE?DF??sinAcosA??sin2A????. 2
3331?tanA15
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有
一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分.
15.设z1,z2?C，则“z1,z2中至少有一个数是虚数”是“z1?z2是虚数”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【答案】B；
【解析】充分性不成立，如z1?1?i，z2?2?i，z1?z2??1不是虚数；
必要性成立，采用反证法，若z1,z2全不是虚数，即(转载自：www.dXf5.cOm 东星资源网:高考报名a3材料上海)z1,z2均为实数，则z1?z2比为实数，所以z1?z2是虚数，则z1,z2中至少有一个数是虚数.选择B. 16.已知点A
的坐标为，将OA绕坐标原点O逆时针转（ ）
【答案】D；
??
?
至OB，则B的纵坐标为3
C.
11 2
D.
13 2
???
【解析】以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设A??,??，则B??,???，且
3???sin??
1，?cos??B的纵坐标为：
?sin???
?
?
??1
113
??sin??cos???. ?3?222
x2?a1x?1?0，x2?a3x?4?0，17.记方程①：方程②：方程③：其中a1,a2,a3x2?a2x?2?0，
是正实数.当a1,a2,a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A.方程①有实根，且②有实根
C.方程①无实根，且②有实根 【答案】B；
B.方程①有实根，且②无实根 D.方程①无实根，且②无实根
【解析】方程③无实根，则?3?a32?16?0，又?1?a12?4，?2?a22?8，当a1,a2,a3成等
a22?a22?4222
比数列时，a2?a1a3，即有a3?，由?3?0得a3?16????16?0，即a2?16a1
a1
?a1?当方程①有实根，且②无实根时，a12?4，a22?8，可以推出a24?64?16?4?16a12，选择B.
18.设Pn?xn,yn?是直线2x?y?lim
yn?1
?（ ） xn?1
2
n22
n?N*?与圆x?y?2在第一象限的交点，则极限?n?1
n??
A. ?1 B.?
1
2
C.1 D.2
【答案】A；
【解析】采用极限思想求解 当n??时，直线2x?y?
n
n?N*?趋向于2x?y?1，直线与圆的交点趋向于P?1,1?，?n?1
篇二：2015年上海市高考数学试卷(理科)解析
ass="txt">一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015?上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩?UΒ=．
2．（4分）（2015?上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．
3．（4分）（2015?上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．
4．（4分）（2015?上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．
25．（4分）（2015?上海）抛物线y=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则
p=．
6．（4分）（2015?上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．
7．（4分）（2015?上海）方程log2（9﹣5）=log2（3﹣2）+2的解为．
8．（4分）（2015?上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．
9．（2015?上海）已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．
10．（4分）（2015?上海）设f（x）为f（x）=2
+f（x）的最大值为．
11．（4分）（2015?上海）在（1+x+）的展开式中，x项的系数为（结102﹣1﹣1x﹣1x﹣1x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）
果用数值表示）．
12．（4分）（2015?上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 Eξ1﹣Eξ2=（元）．
13．（4分）（2015?上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1＜x2＜…
*＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥12，m∈N），
则m的最小值为．
14．（2015?上海）在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则?=．
二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）（2015?上海）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”
O逆时针旋转至
OB，则点B的纵坐标为（ ）
17．（2015?上海）记方程①：x+a1x+1=0，方程②：x+a2x+2=0，方程③：x+a3x+4=0，
其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实
（n∈N）与圆x+y=2在第一*2218．（5分）（2015?上海）设 Pn（xn，yn）是直线2x﹣
y=
象限的交点，则极限=（ ）
域内写出必要的步骤.
19．（12分）（2015?上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．
20．（14
分）（2015?上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．
（1）求t1与f（t1）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．
21．（14分）（2015?上海）已知椭圆x+2y=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．
（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；
（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．
22．（16分）（2015?上海）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N．
（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；
（2）设{an}的第n0项是最大项，即a
n**22≥an（n∈N），求证：数列{bn}的第n0项是最大项； *（3）设a1=λ＜0，bn=λ（n∈N），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M与最小值m，且∈
（﹣2，2）．
23．（18分）（2015?上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．
（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；
（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；
（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．
答案：
篇三：2015年 上海高考 数学试卷(理工农医类 含答案)
ass="txt">上海 数学试卷(理工农医类)考生注意：
1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.
2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. 设全集U?R. 若集合A??1,2,3,4?，B??x2?x?3?，则A
?UB?________.
2. 若复数z满足3z??1?i，其中i为虚数单位，则z?________.
?23c1??x?3,
3. 若线性方程组的增广矩阵为?、解为 则c1?c2?________. ??
01cy?5,??2?
4. 若正三棱柱的所有棱长均为a
，且其体积为a?________.
5. 抛物线y2?2px(p?0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p?________. 6. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为________. 7. 方程log2(9x?1?5)?log2(3x?1?2)?2的解为________.
8. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，
则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）.
9. 已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为
双曲线C1和C2. 若C
1的渐近线方程为y?，则C2的渐近线方程为________.
x
10. 设f?1(x)为f(x)?2x?2?,x??0,2?的反函数，则y?f(x)?f?1(x)的最大值为________.
21??
11. 在?1?x?2015?的展开式中，x2项的系数为________.（结果用数值表示）
x??
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数学（理）2015 第1页（共4页）
10
12. 赌博有陷阱. 某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一
张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）. 若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1?Eξ2?________（元）. n13. 已知函数f(x)?six. 若存在x1,x2,
,xm满足0?x1?x2??xm?6π，且
f(x1)?fx(2?)fx(2?f)x?3(，则m的最小?)fxm??(1fxm)?(（m)?21，2m?N*）
值为________.
14. 在锐角三角形ABC中，tanA?
1
，D为边BC上的点，△ABD与△ACD的面积分别2
为2和4. 过D做DE?AB于E，DF?AC于F，则DE?DF?________.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. 设z1,z2?C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1?z2是虚数”的（
）.
(A) 充分非必要条件 (C) 充要条件
(B) 必要非充分条件 (D) 既非充分又非必要条件
16. 已知点A的坐标为
，将OA绕坐标原点O逆时针旋转
标为（）. (A)
??
π
至OB
，则点B的纵坐3
(B)
(C)
11 2
(D)
13 2
17. 记方程①：x2?a1x?1?0，方程②：x2?a2x?2?0，方程③：x2?a3x?4?0，其中
a1,a2,a3是正实数. 当a1,a2,a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是
（）.
(A) 方程①有实根，且②有实根 (C) 方程①无实根，且②有实根 18. 设Pn(xn,yn)是直线2x?y?
yn?1
?（）.
n→∞x?1nlim
(B) 方程①有实根，且②无实根 (D) 方程①无实根，且②无实根
n
(n?N*)与圆x2?y2?2在第一象限的交点，则极限n?1
(A) ?1
1(B) ?
2
(C) 1 (D) 2
数学（理）2015 第2页（共4页）
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定
区域内写出必要的步骤. 19. （本题满分12分）
如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1?1，
DA1C1
C
AB?AD?2，E、F分别是棱AB、BC的中点. 证明A1、
C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成
D的角的大小.
A
EB
20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，A,B,C三地有直道相通，AB?5千米，AC?3千米，BC?4千米. 现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f(t)（单位：千米）. 甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时. 乙到达B地后在原地等待. 设t?t1时，乙到达C地.
(1) 求t1与f(t1)的值；
(2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.
C当t1?t?1时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在?t1,1?上的最大值是否超过3？说明理由.
21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知椭圆x2?2y2?1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D. 记得到的平行四边形ACBD的面积为S.
(1) 设A(x1,y1)，C(x2,y2). 用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明
AB
S?2x1y2?x2y1.
1
(2) 设l1与l2的斜率之积为?，求面积S的值.
2
数学（理）2015 第3页（共4页）
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3
小题满分6分.
已知数列?an?与?bn?满足an?1?an?2(bn?1?bn)，n?N*. 且
(1) 若bn?3n?5，且a1?1，求?an?的通项公式；
(2) 设?an?的第n0项是最大项，即an0?an(n?N*). 求证：?bn?的第n0项是最大项； (3) 设a1?λ?0，使得?an?有最大值M与最小值m，bn?λn(n?N*). 求λ的取值范围，
M
?(?2,2). m
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3
小题满分8分.
对于定义域为R的函数g(x)，若存在正常数T，使得cosg(x)是以T为周期的函数，则称g(x)为余弦周期函数，且称T为其余弦周期. 已知f(x)是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R. 设f(x)单调递增，f(0)?0，f(T)?4π.
x
(1) 验证h(x)?x?sin是以6π为余弦周期的余弦周期函数；
3
(2) 设a?b. 证明对任意c?[f(a),f(b)]，存在x0?[a,b]，使得f(x0)?c；
x)?1(3) 证明：“u0为方程cosf(在?0,T?上的解”的充要条件是“u0?T为方程
cosf(x)?1在?T,2T?上的解”，并证明对任意x??0,T?都有f(x?T)?f(x)?f(T).
数学（理）2015 第4页（共4页）
2015年普通高等学校招生全国统一考试
上海 数学试卷(理工农医类)
答案要点及评分标准
说明
1. 本解答列出试题的解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分.
2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半. 如果有较严重的概念性错误，就不给分. 解答
一、（第1题至第14题）
1. ?1,4?.2.
11
?i. 42
3. 16. 4. 4. 5. 2. 6.
π. 3
7. 2.
8. 120.9.
y?. 10. 4. 11. 45. 12. 0.2. 13. 8. 14. ?
16. 15
二、（第15题至第18题）
三、（第19题至第23题） 19. （本题满分12分）
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，1)可得有关点的坐标为A1(2,0,、
E(2,1,0)、F(1,2,0)、C(0,2,0)、C1(0,2,1)、D(0,0,1).
因为AC11?(?2,2,0)，EF?(?1,1,0)， 所以AC因此直线AC 11与EF共面，11//EF，即A1、C1、F、E四点共面.
········· 4分
设平面A1C1FE的法向量为n?(u,v,w)，则n?EF，n?
FC1， 又EF?(?1,1,0)，FC1?(?1,0,1)，
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高考(2015)数学（理）答案 第1页（共5页）