本文以初中数学竞赛题为例，将与一元二次方程有关的综合题进行归类分析，供参考. 一、与一元二次方程相结合 例1（1999年山东省初中数学竞赛题）已知方程
x2+a1x+a2a3=0
与x2+a2x+a1a3=0有且只有一个公共根，求证：这两个方程的另两个根（除公共根外）是方程
x2+a3x+a1a2=0的根.
证明：设已知两方程的公共根为x0,
则x20+a1x0+a2a3=0,x20+a2x0+a1a3=0.
二式相减，得
(a1-a2)x0-a3(a1-a2)=0.
(a1-a2)(x0-a3)=0.
所以
x0=a3
（因两方程只有一个公共根，故a1≠a2)
由一元二次方程根与系数的关系，知两方程的另一个根分别是a1和a2，
分别代入原方程，得a1+a2+a3=0,从而有
a1+a2=-a3,
所以a1和a2是方程
x2+a3x+a1a2=0
的两个根.
二、与高次方程相结合
例2（2010年全国初中数学联赛试题）若方程
x2-3x-1=0
的两根也是方程
x4+ax2+bx+c=0
的根，则a+b-2c的值为（）
(A) -13(B) -9(C)6(D)0
解：设m是x2-3x-1=0的一个根，则
m2-3m-1=0,于是有
m2=3m+1.
由题意，m也是方程
x4+ax2+bx+c=0的根,
所以m4+am2+bm+c=0.
把m2=3m+1代入上式，得
(3m+1)2+am2+bm+c=0.
整理，得
（9+a）m2+(6+b)m+c+1=0.
从而可知：方程x2-3x-1=0的两根也是方程
(9+a)m2+(6+b)m+c+1=0
的根.
这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，
从而有
(9+a)x2+(6+b)x+c+1=k(x2-3x-1)
(其中k为常数).
所以b=-3a-33,c=-a-10,
故a+b-2c=a+(-3a-33)-2(-a-10)=-13.
故选(A).
三、与方程组相结合
例3 （2002年全国初中数学联赛试题）已知：a,b,c三数满足方程组
a+b=8
ab-c2+82c=48
,
试求方程bx2+cx-a=0的根.
解： 由已知方程组，得
a+b=8,
ab=c2-82c+48.
所以a,b是方程t2-8t+c2-82c+48=0的两个根，
所以Δ=82-4(c2-82c+48)=-4(c-42)2≥0,
所以Δ=0,c=42,从而a=b=4.
此时方程bx2+cx-a=0即
4x2+42x
-4=0,
化简，得x2+2x-1=0.
解得 x1=-2-62
,x2=-2+
62.
四、与三角函数相结合
例4 （2004年江干区初中数学竞赛题）根据锐角三角函数的定义，我们知道，对于任何锐角
α,
如果3x2sinα-4xcosα+2=0有实数根，那么锐角α的取值范围是.