2000上海高考数学
2000 上海高考数学试卷考生注意:本试卷共有 22 道试题,满分 150 分 填空题( 只要求直接填写结果, 一,填空题(本大题满分为 48 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则 一律得零分. 一律得零分. 1.已知向量 OA (-1,2), OB =(3,m),若 OA ┴ OB ,则 m= 2.函数, y = log 2 3.圆锥曲线 .2x 1 的定义域为 3 x x = 4 secθ + 1 的焦点坐标是 y = 3tgθ n n ) = n+24.计算: lim(5 . 已 知 f ( x) = 2 x + b 的 反 函 数 为 f( x), 若y = f( x) 的 图 象 经 过 点 Q (5,2) , 则. 6.根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告,1999 年上海市完成 GDP(GDP 是指国内生产 总值)4035 亿元,2000 年上海市 GDP 预期增长 9%,市委,市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制 在 0.08%,若 GDP 与人口均按这样的速度增长,则要使本市年人均 GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍,至少需 年. (按:1999 年本市常住人口总数约 1300) 7.命题 A:底面为正三角形,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱 锥, 命题 A 的等价题 B 可以是: 底面为正三角形, 且 的 三棱锥是正三棱锥. 8.设函数 y = f ( x ) 是最小正周期为 2 的偶函数,它在区间[0,1]上的图象为如 图所示的线段 AB ,则在区间[1,2]上 f ( x ) = 9.在二项式 ( x 1)11 的展开式中,系数最小的项的系数为 . , (结果用数值表示)10.有红,黄,蓝三种颜色的旗帜各 3 面,在每种颜色的 3 面旗帜上分别标上号码 1,2 和 3,现任取 出 3 面,它们的颜色与号码均不相同的概率是 . 11 . 在 极 坐 标 系 中 , 若 过 点 (3 , 0) 且 与 极 轴 垂 直 的 直 线 交 曲 线ρ = 4 cosθ于A, B 两 点 , 则12.在等差数列 {a n } 中,若 a z = 0 ,则有等式 a1 + a 2 + + a n = a1 + a 2 + + a19 n ( n 19, n ∈ N ) 成 立 , 类 比 上 述 性 质 , 相 就 夺 : 在 等 此 数 列 {bn } 中 , 若 b0 = 1 , 则 有 等 式 成立. 选择题( 的四个结论, 二,选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A,B,C,D 的四个结论,其中有且 只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内, 不选, 只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得 4 分,不选,选错或者选出 的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内) 一律得零分. ,一律得零分 的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内) 一律得零分. , 13.复数 z = 3(cos i sin )(i是虚数单位)的三角形式是 5 5( A)3[cos( ) + i sin( )], 5 5 4π 4π (C )3(cos + i sin ), 5 5[答]( )+ i sin ). 5 5 6π 6π ( D)3(cos i sin ). 5 5 ( B)3(cos14.设有不同的直线 a , b 和不同的平面 a , β , γ ,给出下列三个命题: (1)若 a // a , b // a ,则 a // b . (3)若 a γ , β γ ,则 a // β . 其中正确的个数是 (A)0. (B)1. [答]( ) (2)若 a // a , a // β ,则 a // β .(C)2.(D)3.15.若集合 S = y | y = 3 x .x ∈ R . T = y | y = x 2 1, x ∈ R .则s ∩ T 是:( A) S.(B) T.(C) φ(D) 有限集 .[答]( ) 16.下列命题中正确的命题是 (A)若点 P ( a,2a )( a ≠ 0) 为角 a 终边上一点,则 sin a =2 5 . 5(B)同时满足 sin a =1 3 , cos a = 的角 a 有且只有一个. 2 2(C)当 {a} 1 时, tg (arcsin a ) 的值恒正. (D)三角方程 tg ( x + [答]( )) = 3 的解集为 {x | x = kπ , k ∈ Z }.解答下列各题必须写出必要的步骤. 三,解答题(本大题满分 86 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 解答题( 17. (本题满分 12 分) 已知椭圆 C 的焦点分别为 F1 ( 2 2 ,0)和F2 ( 2 2 ,0) , 长轴长为 6, 设直 y = x + 2 交椭圆 C 于 A ,B 两点,求线段 AB 的中点坐标. [解] 18. (本题满分 12 分) 如图所示四面体 ABCD 中,AB,BC,BD 两两互相垂直,且 AB=BC=2,E 是 AC 中点,异 面直线 AD 与 BE 所成的角的大小为 arccos10 ,求四面体 ABCD 的体积. 10 [解] 19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.已知函数f ( x) =x 2 + 2x + a , x ∈ [1,+∞] . x1 时,求函数 f (x ) 的最小值: 2(1)当 a =(2)若对任意 x ∈ [1,+∞], f ( x ) 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. [解](1) [解](2) 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分. 根据指令 (r ,θ ) ( r ≥ 0,180 θ ≤ 180 ) ,机器人在平面上能完成下列动作:先原地旋转角度 θ ( θ 为正时, 按逆时针方向旋转 θ ,θ 为负时, 按顺时针方向旋转- θ ) 再朝其面对的方向沿直线行走距离 r . , (1)现机器人在直角坐标系的坐标原点,且面对 x 轴正方向,试给机器人下一个指令,使其移动到 点(4,4) . (2)机器人在完成该指令后,发现在点(17,0)处有一小球正向坐 标原点作匀速直线滚动,已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的 2 倍,若忽略机器人原地旋转所需的时间,问机器人最快可在何处截住小 球?并给出机器人截住小球所需的指令(结果精确到小数点后两位) . [解](1)[解](2) 21. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 在 XOY 平面上有一点列 P1 ( a1 , b1 ), P2 ( a 2 , b2 ), , Pn ( a n , bn ), , 对每个自然数 n ,点 P ,位于函数y = 2000(a 2 ) (0 a 10) 的图象上, 且点 Pn , ( n,0)与点( n + 1.0) 构成一个以 Pn 为顶点的等腰三角 点 10(1)求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式. (2)若对每个自然数 n ,以 bn , bn +1 , bn + 2 为边长能构成一个三角形,求 a 取值范围. (3)设 Bn = b1b2 bn 的项数. [解](1) [解](2)(n ∈ N ). ,若 a 取(2)中确定的范围内的最小整数,求数列 {Bn }的最大项 [解](3) 22. (本小题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. 已知复数 z 0 = 1 mi ( m 0), z = x + yi和w = x ′ + y ′i, 其中x, y, x ′, y ′ 均为实数, i 为虚数单位,且 对于任意复数 z , 有w = z 0 z , | w |= 2 | z | . (1)试求 m 的值,并分别写出 x ′ 和 y ′ 用 x , y 表示的关系式; (2)将( x , y )作为点 P 的坐标,( x ′ , y ′ )作为点 Q 的坐标,上述关系可以看作是坐标平面上点的 一个变换:它将平面上的点 P 变到这一平面上的点 Q , 当点 P 在直线 y = x + 1 上移动时,试求点 P 经该变换后得到的点 Q 的轨迹方程; (3)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出 所有这些直线;若不存在,则说明理由. [解](1) [解](2) [解](3)2000 上海高考数学试卷答案说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的 精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅以底,不要因为考生的解称中出现错误而中断对该题的评阅,当考生 的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响 程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就 不给分. 3.第 17 至第 22 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数,给分或扣 分均以 1 分为单位. 解答 一, (第 1 题至第 12 题)每一题正确的给 4 分,否则一律得零分. 1. 4. 2. ,3) (3. (-4, (6, 0), 0). 8.X.4. . e 9.-462.5. 1. 10.6. 9.7. 侧 11. 2 3棱相等/侧棱与底面所成角相等/……12. b1b2 bn = b1b2 b17 n ( n 17, n ∈ N ) 二, (第 13 题至第 16 题)第一题正确的给 4 分. 题号 13 代号 C 三, (第 17 题至第 22 题)x2 y2 17.[解]设椭圆 C 的方程为 2 + 2 = 1 a b由题意 a = 3, c = 2 2 , 于是b = 1 (2分)∴ 椭圆C的方程为x2 + y2 = 1 9 (4分) y = x+2 由 x 2 得10 x 2 + 36 x + 27 = 0, 2 9 + y =1 因为该二次方程的判别式△ 0,所以直线与椭圆有两个不同交点, …(8 分)设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ),设 则x1 + x 2 = 18 , 5 (12分)…(2 分)9 1 故线段AB的中点坐标为( , ) 5 518.[解法一]如图建立空间直角坐标系由题意,有 A(0,2,0),C(2,0,0),E(1,1,0).设 D 点的坐标为(0,0,z) ( z 0) ,BE = { ,1,0}, AD = {0,2, z}, 1 10 , 10 (6分)设BE与 AD所成的角为θ , 则 AD BE = 2 4 + z 2 cos θ 2,则 且AD与BE所成的角的大小为 arccos∴ cos 2 θ =2 1 = , 2 10 4+ z 得z = 4, 故BD的长度是4,V ABCD = (10分)1 AB × BC × BD, 6 (4分)8 因此四面体ABCD的体积是 , 3[解法二]过 A 引 BE 的平行线,交与 CB 的延长线于 F,∠DAF 是异面直线 BE 与 AD 所成的角, ∴∠DAF= arccos10 10…(4 分)∵E 是 AC 的中点,∴B 是 CF 的中点, AF=2BE= 2 2 . 又 BF,BA 分别是 DF,DA 的射影,且 BF=BC=BA. ∴DF=DA. 三角形 ADF 是等腰三角形, AD = 故 BD = 又 V ABCD =…(6 分)…(8 分)AF 1 = 20 , 2 cos ∠DAF…(10 分)AD 2 AB 2 = 4 ,1 AB × BC × BD , 6 8 因此四面体 ABCD 的体积是 , 3 1 1 19.[解](1)当 a = 时, f ( x ) = x + +2, 2 2x∵ f (x) 在区间 (1,+∞) 上为增函数, ∵ f (x) 地区间 (1,+∞) 上最小值为 f (1) =(2)[解法一]在区让 (1,+∞) 上,…(12 分)…(3 分)7 , 2…(6 分)x 2 + 2x + a f ( x) = 0恒成立 x 2 + 2 x + a 0 恒成立, x设 y = x 2 + 2 x + a, x ∈ (1,+∞) ,…(8 分)y = x 2 + 2 x + a = ( x + 1) 2 + a 1 递增,∴当 x = 1 时, y min = 3 + a ,于是当且仅当 y min
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2000 上海高考数学试卷 考生注意： 本试卷共有 22 道试题， 满分 150 分 一、 填空题（本大题满分为 48 分） 本大题共有 12 题， 只要求直接填写结果， 每个空格填对得 4 分， 否则一律得零分。1． 已知向量OA (－1， 2) 、 OB =(3， m) ， 若OA ┴OB ， 则 m= 。
2． 函数，xxy??????312log2的定义域为 。
3． 圆锥曲线????????????????tgyx31sec4的焦点坐标是 。
4． 计算：nnn)2(lim??= 。
5 ．已 知bxfx???? 2)(的 反 函 数 为)(),(11xfyxf??????若的 图 象 经 过 点) 2 , 5 (Q，则b = 。
6． 根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告， 1999 年上海市完成 GDP(GDP 是指国内生产总值) 4035 亿元， 2000 年上海市 GDP 预期增长 9%， 市委、 市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在 0. 08%， 若 GDP 与人口均按这样的速度增长， 则要使本市年人均 GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍， 至少需 年。
（按： 1999 年本市常住人口总数约 1300） 7． 命题 A： 底面为正三角形， 且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥， 命题 A 的等价题 B 可以是： 底面为正三角形， 且 的三棱锥是正三棱锥。
8． 设函数)(xfy ??是最小正周期为 2 的偶函数， 它在区间[0， 1]上的图象为如图所示的线段 AB ， 则在区间[1， 2]上)(xf= 。
9． 在二项式11) 1( ??x的展开式中， 系数最小的项的系数为 ， （结果用数值表示） 10． 有红、 黄、 蓝三种颜色的旗帜各 3 面， 在每种颜色的 3 面旗帜上分别标上号码 1、 2 和 3， 现任取出 3 面， 它们的颜色与号码均不相同的概率是 。
11 ． 在极坐标系 中 ， 若过点 (3 ， 0) 且与 极轴 垂直的 直线 交曲 线BA,cos4于???? ??两点 ， 则??AB 。
12． 在等差数列?? ??n a中， 若0??z a， 则有等式),19(192121Nnnaaaaaann??????????????????????成 立 ，类 比 上 述 性 质 ，相 就 夺 ：在 等 此 数 列 ?? ??n b中 ，若10??b，则 有 等 式 成立。
二、 选择题（本大题满分 16 分） 本大题共有 4 题， 每题都给出代号为 A、 B、 C、 D 的四个结论， 其中有且只有一个结论是正确的， 必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内， 选对得 4 分， 不选、 选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内）， 一律得零分。
13． 复数的三角形式是是虚数单位))(5sin5(cos3iiz?????????? ).56??sin56??(cos3 )( ),54??sin54??(cos3 )().5sin5(cos3 )B( )],5sin()5[cos(3 )A(????????????iDiCii???????? [答]（ ） 14． 设有不同的直线a 、 b 和不同的平面a 、 ?? 、 ?? ， 给出下列三个命题： （1） 若aa //，ab//， 则ba // 。
（2） 若aa //，??//a， 则??//a。
（3） 若????a,???? ??， 则??//a。
其中正确的个数是 （A） 0． （B） 1． （C） 2． （D） 3． [答]（ ） 15． 若集合????????TsRxxyyTRxyySx??则., 1| ..3|2??????????????是： 有限集(D) ??(C) T. (B) S. )(A. [答]（ ） 16． 下列命题中正确的命题是 （A） 若点) 0)(2 ,a(??aaP为角 a 终边上一点， 则552sin??a。
（B） 同时满足23cos,21sin????aa的角 a 有且只有一个。
（C） 当?? ??1??a时，)(arcsinatg的值恒正。
（D） 三角方程3)3(??????xtg的解集为????Zkk??xx????,|。
[答]（ ） 三、 解答题（本大题满分 86 分） 本大题共有 6 题， 解答下列各题必须写出必要的步骤。
17． （本题满分 12 分） 已知椭圆C 的焦点分别为) 0 , 22 (2F) 0 , 22(1F和??， 长轴长为 6， 设直2???? xy交椭圆C 于 A 、 B两点， 求线段 AB 的中点坐标。
[解] 18． （本题满分 12 分） 如图所示四面体 ABCD 中， AB、 BC、 BD 两两互相垂直， 且 AB=BC=2， E 是 AC 中点， 异面直线 AD 与 BE 所成的角的大小为1010arccos， 求四面体 ABCD 的体积。
[解] 19． （本题满分 14 分） 本题共有 2 个小题， 第 1 小题满分 6 分， 第 2 小题满分 8 分。
已知函数], 1 [,2)(2????????????xxaxxxf。
（1） 当21??a时， 求函数)(xf的最小值： （2） 若对任意0)(],, 1 [??xfx??????恒成立， 试求实数a 的取值范围。
[解]（1） [解]（2） 20． （本题满分 14 分） 本题共有 2 个小题， 第 1 小题满分 4 分， 第 2 小题满分 10 分。
根据指令),( ??r)180180, 0(??????????????r， 机器人在平面上能完成下列动作： 先原地旋转角度?? （??为正时， 按逆时针方向旋转?? ， ?? 为负时， 按顺时针方向旋转－?? ）， 再朝其面对的方向沿直线行走距离r 。
（1） 现机器人在直角坐标系的坐标原点， 且面对 x 轴正方向， 试给机器人下一个指令， 使其移动到点（4， 4）。
（2） 机器人在完成该指令后， 发现在点（17， 0） 处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动， 已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的 2倍， 若忽略机器人原地旋转所需的时间， 问机器人最快可在何处截住小球？ 并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。
[解]（1） [解]（2） 21． （本题满分 16 分） 本题共有 3 个小题， 第 1 小题满分 4 分， 第 2 小题满分 6 分， 第 3 小题满分 6 分。
在 XOY 平面上有一点列,),,(,),,(),,(222111????nnnbaPbaPbaP对每个自 然数 n ， 点 P ， 位于函数)100 ( )10(20002???? aay ??的图象上， 且点n P ， 点) 0 . 1??() 0 ,n(n与点构成一个以n P 为顶点的等腰三角形。
（1） 求点n P 的纵坐标n b 的表达式。
（2） 若对每个自然数n ， 以n b ，21,????nnbb为边长能构成一个三角形， 求a 取值范围。
（3） 设????. 21NnbbbBnn??????， 若a 取（2） 中确定的范围内的最小整数， 求数列????nB的最大项的项数。
[解]（1） [解]（2） [解]（3） 22． （本小题满分 18 分） 本题共有 3 个小题， 第 1 小题满分 5 分， 第 2 小题满分 5 分， 第 3 小题满分 8 分。
已知复数yxyxiyxwyixzmmiz????????????????????,,,,),0(10其中和??均为实数， i 为虚数单位， 且对于任意复数|| 2|| ,z,0zwzwz??????有。
（1） 试求m 的值， 并分别写出 x?? 和 y?? 用 x 、 y 表示的关系式； （2） 将( x 、 y ) 作为点 P 的坐标， ( x?? 、 y?? ) 作为点Q 的坐标， 上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换： 它将平面上的点 P 变到这一平面上的点Q ， 当点 P 在直线1???? xy上移动时， 试求点 P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程； （3） 是否存在这样的直线： 它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？ 若存在， 试求出所有这些直线； 若不存在， 则说明理由。
[解]（1） [解]（2） [解]（3） 2000 上海高考数学试卷答案 说明 1． 本解答列出试题的一种或几种解法， 如果考生的解法与所列解法不同， 可参照解答中评分标准的精神进行评分。
2． 评阅试卷， 应坚持每题评阅以底， 不要因为考生的解称中出现错误而中断对该题的评阅， 当考生的解答在某一步出现错误， 影响了后继部分， 但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时， 可视影响程度决定后面部分的给分， 这时原则上不应超过后面部分应给分数之半， 如果有较严重的概念性错误， 就不给分。
3． 第 17 至第 22 题中右端所注的分数， 表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数， 给分或扣分均以 1 分为单位。
解答 一、（第 1 题至第 12 题） 每一题正确的给 4 分， 否则一律得零分。
1( 3． (－4， 0) ， (6， 0) 。
4．1． 4． 2．) 3 ,22??e。
5． 1． 6． 9． 7． 侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/ 8． X． 9． －462。
10．141 11．32 12．),17(172121Nnnbbbbbbnn???????????? 二、（第 13 题至第 16 题） 第一题正确的给 4 分。
题号 13 14 15 16 代号 C A A D 三、（第 17 题至第 22 题） 17． [解]设椭圆 C 的方程为)(2 ?? 12222分????byax 由题意 1, 22, 3??????bca于是 )(4 ?? 1922分的方程为椭圆??????yxC ????????????????????????, 0273610192222yxxyxx得由 因为该二次方程的判别式△＞0， 所以直线与椭圆有两个不同交点， （8 分） 设)(12 )51,59(,518),,(),,(212211分的中点坐标为故线段则设??????????ABxxyxByxA 18． [解法一]如图建立空间直角坐标系 （2 分） 由题意， 有 A(0， 2， 0) ， C(2， 0， 0) ， E(1， 1， 0) 。
设 D 点的坐标为(0， 0， z)) 0( ??z，则??0 , 1 , 1与????, 0??则)10( ?? , 4, 4,1014BD2cos,1010arccos, 2cos42,BE)(6 ,, 2??,22??2分的长度是故得所成的角的大小为BE与且所成的角为AD设分??zzADzBEADzADBE?????????????????????????? 又)(4 ,38,61分的体积是因此四面体??ABCDBDBCABVABCD?????? [解法二]过 A 引 BE 的平行线， 交与 CB 的延长线于 F， DAF 是异面直线 BE 与 AD 所成的角， DAF=1010arccos （4 分） ∵E 是 AC 的中点， B 是 CF 的中点， AF=2BE=22。
（6 分） 又 BF， BA 分别是 DF， DA 的射影， 且 BF=BC=BA。
DF=DA。
（8 分） 三角形 ADF 是等腰三角形，20cos12????????DAFAFAD， 故422??????ABADBD， （10 分） 又BDBCABVABCD??????61， 因此四面体 ABCD 的体积是38， （12 分） 19． [解]（1） 当221)(,21????????xxxfa时， )(xf??在区间), 1 ( ???? 上为增函数， （3 分） )(xf??地区间), 1 ( ???? 上最小值为27) 1 (f??， （6 分） （2） [解法一]在区让), 1 ( ???? 上， 0202)(22????axxxaxxxf????????????恒成立恒成立， （8 分） 设), 1 (,22????????????xaxxy， 1) 1??(222????????????axaxxy递增， 当1??x时，ay???? 3min， （12 分） 于是当且仅当03min??ay????时， 函数0)(??xf恒成立， 故3????a。
（14 分） axx， 当0??a时， 函数（2） [解法二]], 1 [, 2)(????????????xxf)(xf的值恒为正， （8 分） 当0??a时， 函数)(xf递增， 故当axfx??????3)(,1min时， （12 分） 于是当且仅当03)(min??axf????时， 函数0)(??xf恒成立， 故3????a。
（14 分） 20． [解]（1）??45, 24??????r， 得指令为??45),24 (， （4 分） （2） 设机器人最快在点) 0 ,(xP处截住小球 （6 分） 则 因 为 小 球 速 度 是 机 器 人 速 度 的 2 倍 ，所 以 在 相 同 时 间 内 有22) 40 () 4(|17|??????????xxx， （8 分）。
即01611232???????? xx， 得323????x或7??x， ∵要求机器人最快地去截住小球， 即小球滚动距离最短，7???? x， 故机器人最快可在点) 0 , 7 (P处截住小球， （10 分） 所给的指令为)13.98, 5 (????， （14 分） 21． [解]（1） 由题意，21???? nan， 21)10(2000????nnab， （4 分） [解]（2） ∵函数)100 ()10(2000???? aayn??递减， 对每个自然数 n， 有21????nnnbbb????， 则以21,,????nnnbbb为边长能构成一个三角形的充要条件是nnnbbb12????， 即01)10()10(2??????aa （7 分） 解得) 51 ( 5??????a或) 1??5( 5??a 10) 1??5( 5???? a， （10 分） [解]（3） 10) 1??5( 5???? a 7??a 21)107(2000????nn b （12 分） 数列?? ??n b是一个递减的正数数列， 对每个自然数1, 2??????nnnBbBn， 于是当1??n b时，1 ??n??nBB， 当1??n b时，1 ??nnBB ??， 因此， 数列????nB的最大项的项数n 满足不等式1??n b且11????n b。
)16(20, 8 .20, 1)107(200021分得??由????????????nnbnn 22． [解]（1） 由题设，2,2000????????????zzzzzzw， 于是由3, 0, 412??????mmm得且??， （3 分） 因此由iyxyxyixiiyx)3(3)()31 (??????????????????????， 得关系式??????????????3????yxyyxx3 （5 分） [解]（2） 设点),(yxP在直线1???? xy上， 则其经变换后的点),(yxQ????满足 ????????????????x??????1) 13(3) 31 (xyxx， （7 分） 消去 x ， 得232) 32 (????????????xy， 故点Q 的轨迹方程为232) 32 (????????xy （10 分） [解]（3） 假设存在这样的直线， ∵平行坐标轴的直线显然不满足条件， 所求直线可设为) 0( ??k????bkxy， （12 分） [解法一]∵该直线上的任一点),(yxP， 其经变换后得到的点 )3,3(yxyxQ????仍在该直线上， byxkyx????????)3(3， 即bxkyk??????????) 3() 13(， 当0??b时， 方程组????????????????kkk31) 13(无解， 故这样的直线不存在。
（16 分） 当0??b时， 由,31) 1??3(kkk?????? 得03232?????? kk， 解得33??k或3????k， 故这样的直线存在， 其方程为xy33??或xy3????， （18 分） [解法二]取直线上一点) 0 ,(kbP ??， 其经变换后的点)3,(kbkbQ????仍在该直线上， bkbkkb????????)(3， 得0??b， （14 分） 故所求直线为kxy ??， 取直线上一点), 0 ( kP， 其经变换后得到的点)3,31 (kkQ????仍在该直线上。
)31 (k3kk??????， （16 分） 即03232?????? kk， 得33??k或3????k， 故这样的直线存在， 其方程为xy33??或xy3????， （18 分）