■ 1. 三角形的任意两边________大于第三边. 2. 三角形三个内角的和为______度；三角形的一个外角等于_________的两个内角的和.
3. 三角形的中线、高线、角平分线都是__________________（填“线段、射线、直线”）. ______________叫三角形的中位线. 中位线的性质：______________________.
4. 三角形的内心是______________________，外心是_______________________.
5. 全等三角形的_________、_________分别相等；全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等，周长相等，面积相等.
三角形全等的判定有_______________，直角三角形全等的判定有_______________.
6. 有_______相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形的两个底角_________；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高_________，简称“三线合一”；等腰（非等边）三角形是轴对称图形，它有_________条对称轴.
7. 等边三角形的内角都___________，且等于60°；等边三角形是______对称图形，它有_________条对称轴. 三边都_______的三角形是等边三角形；三个角______的三角形是等边三角形；有一个角是60°的_________是等边三角形.
8. 直角三角形中两锐角之和等于_________，直角三角形斜边上的_________等于斜边的______，直角三角形中30°角所对的边等于_______的一半.
直角三角形中两直角边的平方和等于_________，这个结论称为________定理.
若一个三角形中有两边的平方和等于_________，那么这个三角形是直角三角形.
9. 两角对应_________的两个三角形相似；两边对应成比例且______相等的两个三角形相似；三边________的两个三角形相似.
两个三角形相似，则对应角________，对应边________成比例，都等于相似比，周长之比等于________，面积之比等于________.
10. n边形的内角和等于________，n边形的外角和等于________.
11. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关知识：
两组对边分别________的四边形是平行四边形，有一个角是________的平行四边形是矩形，有一组________的平行四边形是菱形，有一个角是________、有一组________的平行四边形是正方形.
四边形所具有的性质，请在对应空格内打√.
判定
12. 等腰梯形的有关知识
一组对边平行，另一组对边_________的四边形叫做等腰梯形.
等腰梯形的性质有__________________________________________________________.
13. 四边形面积的计算
（1） 四边形的面积可通过连接对角线或延长适当的边转化为若干个三角形的面积的和或差.
（2） 平行四边形的面积：S=________（a是一边的长，h是这边上的高）；菱形的面积等于两条对角线乘积的________.
14. 用完全相同的任意三角形或任意四边形可以实现平面镶嵌，此外用同一种正六边形也可以实现平面镶嵌. 用一种、两种或两种以上的正多边形实现镶嵌需满足：①镶嵌的正多边形的边长相等；②顶点重合；③一个顶点处的各角之和为360°.
15. 圆的有关知识
（1） 圆上各点到圆心的距离都等于________.
（2） 圆是________对称图形，任何一条直径所在的________都是它的________；圆又是________对称图形，________是它的对称中心.
（3） 垂直于弦的直径平分________，并且平分________；平分弦（不是直径）的________垂直于弦，并且平分________.
（4） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量________，那么它们所对应的其余各组量都分别________.
（5） 同弧或等弧所对的圆周角________，都等于它所对的圆心角的________.
（6） 直径所对的圆周角是________，90°的圆周角所对的弦是________.
（7） 设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点在圆内?圳d_____r，点在圆上?圳d_____r，点在圆外?圳d_____r.
（8） 设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则直线与圆相交?圳d_____r，直线与圆相切?圳d_____r，直线与圆相离?圳d_____r.
（9） 设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R、r（R≥r），则两圆内含?圳_____，两圆内切?圳_____，两圆相交?圳_____，两圆外切?圳_____，两圆外离?圳_____.
（10） 经过半径的外端，并且与这条半径_____的直线是圆的切线.
（11） n°的圆心角所对的弧长为_____； n°的圆心角所在的扇形面积S=______________=________________.
（12） 圆锥的侧面积S=πrl. 其中r为_____的半径，l为_____的长.
16. 平移、旋转、翻折都不改变图形的_____. 图形的平移由移动的________和________所决定. 图形的旋转由________、________和________所决定.
■
例1 （2011江苏镇江）如图1，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证：AB=AC.
解析：欲证AB=AC，须证∠B=∠C. ∵ AD平分∠EDC，∴ ∠ADE
=∠ADC. ∵ DE=DC，∴ △AED≌△ACD. ∴ ∠C=∠E. ∵ ∠E=∠B，
∴ ∠C=∠B. ∴ AB=AC.
例2 （2011湖南怀化）如图2所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是
（ ）
A. ∠A＞∠1＞∠2 B. ∠2＞∠1＞∠A
C. ∠A＞∠2＞∠1 D. ∠2＞∠A＞∠1
解析：∵ ∠1是△ACD的外角，∴ ∠1＞∠A，∵ ∠2是△CDE的外角，∴ ∠2＞∠1，∴ ∠2＞∠1＞∠A. 故选B.
点评：本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角大于与之不相邻的任何一个内角.
例3 （2011辽宁大连）如图3，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6 cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分面积等于_________ cm2.
解析：设AC与B′C′交于点D，∵ ∠B′AD=∠B′AC′-∠DAC′=45°
-15°=30°，∴ B′D=AB′tan30°=6×■=2■，S△AB′D=■×6×2■=6■.
点评：此题考查了旋转的性质和解直角三角形的知识，找到图中的特殊角∠B′AD是解题的关键.
例4 如图4，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F.
（1） △ABC与△FOA相似吗？为什么？
（2） 试判定四边形AFCE的形状，并说明理由.
解析：（1） ∵ 直线l垂直平分线段AC，∴ FA=FC，∴ ∠AFO=∠CFO. ∵ ∠CFO+∠FCO
=∠CAB+∠FCO=90°，∴ ∠AFO=∠CAB. ∵ ∠AOF=∠CBA=90°，∴ △ABC∽△FOA.
（2） 易证△AOF≌△AOE，∴ FO=EO. ∵ OA=OC，∴ 四边形AFCE是平行四边形，又EF⊥AC，∴ 平行四边形AFCE是菱形.
点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定、矩形的性质、菱形的判定，综合性较强，有一定的难度.
例5 （2011江苏盐城）（1） 将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图5所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图6所示. 观察图6可知，与BC相等的线段是________，∠CAC′=________°.
（2） 如图7，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.
（3） 如图8，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.
解析：（1） 旋转图形是全等的，所以△ABC≌△AC′D，得BC=AD，∠C′AD=∠ACB.
∴ ∠CAC′=180°-∠C′AD-∠CAB=90°.
（2） 如图7，∵ ∠FAQ+∠CAG=90°，∠FAQ+∠AFQ=90°，∴ ∠AFQ=∠CAG，同理∠ACG
=∠FAQ，又∵ AF=AC，∴ △AFQ≌△CAG，∴ FQ=AG. 同理EP=AG. ∴ FQ=EP.
（3） 如图8，分别作EP⊥AG，FQ⊥AG，易证△CAG∽△AFQ，∴ ■=■=k.
同理得■=■=k，∴ FQ=EP，易证△EHP≌△FHQ，∴ HE=HF.
例6 （2011江苏常州）如图9，图形①满足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°. 图形②与图形①恰好拼成一个菱形（如图10）. 记AB的长度为a，BM的长度为b，则
（1） 图形①中∠B=________°，图形②中∠E=________°；
（2） 小明有两种纸片各若干张. 其中一种纸片的形状及大小与图形①相同，这种纸片称为“风筝一号”；另一种纸片的形状及大小与图形②相同，这种纸片称为“飞镖一号”. 小明仅用“风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形，需要这种纸片多少张？小明若用若干张“风筝一号”纸片和“飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”（如图11），其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=a+b，IQ=JQ. 请你在图11中画出拼接线并保留画图痕迹. （本题中均为无重叠、无缝隙拼接）
解析：（1） 如图12所示，连接AM，∵ AD=AB，DM=BM，AM为公共边，∴ △ADM≌△ABM，∴ ∠D=∠B. 又∵ 四边形ABMD的内角和等于360°，∠DAB=72°，∠DMB=144°，∴ ∠B=■=72°. 在图10中，∵ 四边形ABCD为菱形，AB∥CD，∴ ∠A+∠ADC=∠A+∠ADM+∠CEF=180°，∠A=72°，∠ADM=72°，∴ ∠CEF=180°-72°-72°=36°.
（2） 用“风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形，得到“风筝一号”纸片的点A与正十边形的中心重合，又∠A=72°，则需要这种纸片的数量=■=5.
（3） 以P为圆心，a长为半径画弧，与PI和PJ分别交于两点，然后以两交点为圆心，以b长为半径在角IPJ的内部画弧，两弧交于一点，连接这点与点Q，可知：“风筝一号”纸片用两张和“飞镖一号”纸片用一张，拼接线如图13所示.
答案：（1） 72°；36°；（2） 5.
点评：此题要求学生掌握菱形的性质，会灵活运用两三角形的全等得到对应的角相等，掌握密铺地面的诀窍，还锻炼学生的动手操作能力，培养学生的发散思维，是一道中等难度的题目.
例7 （2011江苏盐城）如图14，在△ABC中，∠C= 90°，以AB上一点O为圆心、OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F.
（1） 若AC=6，AB=10，求⊙O的半径；
（2） 连接OE、ED、DF、EF. 若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由.
解析：（1） 连接OD，设⊙O的半径为r.
∵ BC切⊙O于点D，∴ OD⊥BC.
∵ ∠C=90°，∴ OD∥AC，∴ △OBD∽△ABC.
∴ ■=■，即■=■. 解得r=■，∴ ⊙O的半径为■.
（2） 如图15，∵ 四边形BDEF是平行四边形，∴ ∠DEF=∠B.
∵ ∠DEF=■∠DOB，∴ ∠B=■∠DOB.
∵ ∠ODB=90°，∴ ∠DOB+∠B=90°，∴ ∠DOB=60°.
∵ DE∥AB，∴ ∠ODE=60°. ∵ OD=OE，∴ △ODE是等边三角形，OD=DE.
∵ OD=OF，∴ DE=OF. ∴ 四边形OFDE是平行四边形.
∵ OE=OF，∴ 平行四边形OFDE是菱形.
点评：此题考查了圆的切线、相似三角形、平行四边形的性质和菱形的判定，求得∠DOB
=60°是解第（2）题的关键.
例8 （2011江苏扬州）如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D.
（1） 以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2） 若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=2■，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积（结果保留根号和π）.
解析：（1） 作图如图17所示（需保留线段AD中垂线的痕迹）.
直线BC与⊙O相切.
理由如下：连接OD，∵ OA=OD，∴ ∠OAD=∠ODA.
∵ AD平分∠BAC，∴ ∠OAD=∠DAC.
∴ ∠ODA=∠DAC. ∴ OD∥AC. ∴∠C=∠ODB.
∵ ∠C=90°，∴ ∠ODB=90°，即OD⊥BC.
又∵ 直线BC过半径OD的外端，∴ BC为⊙O的切线.
（2） 设OA=OD=r，在Rt△BDO中，OD 2+BD 2=OB 2，∴ r 2+（2■）2=（6-r）2，解得r=2.
∵ tan∠BOD=■=■，∴ ∠BOD=60°. ∴ S扇形ODE=■=■π.
所求图形面积为S△BOD-S扇形ODE=2■-■π.
点评：此题考查了尺规作图、圆的切线的判定、勾股定理的运用、特殊角的三角函数、扇形面积的计算，证OD∥AC，∠BOD=60°是解题的关键.
■
例1 （2011江苏泰州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：① AB∥CD，AD∥BC；② AB=CD，AD=BC；③ AO=CO，BO=DO；④ AB∥CD，AD=BC. 其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（ ）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
错解：选D.
错因：上述解答错误的原因在于不熟悉平行四边形的判定方法. 满足条件④“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形还有可能是等腰梯形.
正解：C.
例2 如图18，直线y=■x+■与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O. 若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相切时，点P的横坐标是_____.
错解：-1.
错因：⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相切时，圆心P可在点A的右侧或左侧.
正解：-1或-5.
例3 （2011江苏南京）如图19，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，P为BC的中点. 动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2 cm/s的速度运动，以P为圆心、PQ长为半径作圆. 设点Q运动的时间为t（s）.
（1） 当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
（2） 已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值.
错解：（2） t=1.
错因：⊙P与⊙O内切时，5-2t=3或2t-5=3，此处漏了一解：t=4.
正解：（1） 直线AB与⊙P相切. 理由略.
（2） ∠ACB=90°，∴ AB为△ABC的外接圆的直径，OB=■AB=5 cm.
连接OP，∵ P为BC的中点，∴ OP=■AC=3 cm.
∵ 点P在⊙O内部，∴ ⊙P与⊙O只能内切.
∵ 5-2t=3或2t-5=3，∴ t=1或4.
∴ ⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4.
■
例1 （2011江苏连云港）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：
（1） 有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；
（2） 有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；
……
现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论（S表示面积）.
问题1 如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1、P2三等分边AB，R1、R2三等分边AC. 经探究知S四边形P1P2R2R1=■S△ABC，请证明.
问题2 若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的纸板拼合成四边形ABCD，如图2，Q1、Q2三等分边DC. 请探究S四边形P1Q1Q2P2与S四边形ABCD之间的数量关系.
问题3 如图3，P1、P2、P3、P4五等分边AB，Q1、Q2、Q3、Q4五等分边DC. 若S四边形ABCD=1，求S四边形P2Q2Q3P3.
问题4 如图4，P1、P2、P3四等分边AB，Q1、Q2、Q3四等分边DC，P1Q1、P2Q2、P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1、S2、S3、S4. 请直接写出含有S1、S2、S3、S4的一个等式.
分析：本题考查了三角形、四边形的面积问题. 设计新颖，构思巧妙，解法灵活，可以直接应用题中所给的结论1、结论2解题，可以利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解，也可以利用三角形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形的性质进行推理.
问题1 由结论（2），可知■=■=■，
同理可得■=■，■=■，∴ S四边形P1R1R2P2=■S△ABC，即S四边形P1R1R2P2=■S△ABC.
问题2 连接Q1R1，Q2R2，如图2，由问题1的结论，可知S四边形P1R1R2P2=■S△ABC，S四边形Q1R1R2Q2
=■S△ACD，∴ S四边形P1R1R2P2+S四边形Q1R1R2Q2=■S四边形ABCD.
由P1、P2三等分边AB，R1、R2三等分边AC，Q1、Q2三等分边DC，可得P1R1 ∶ P2R2=Q2R2 ∶ Q1R1
=1 ∶ 2，且P1R1∥P2R2，Q2R2∥Q1R1，
∴ ∠P1R1A=∠P2R2A， ∠Q1R1A=∠Q2R2A，
∴ ∠P1R1Q1=∠P2R2Q2，
由结论（2），可知S△P1R1Q1=S△P2R2Q2.
∴ S四边形P1Q1Q2P2=S四边形P1R1R2P2+S四边形Q1R1R2Q2=■S四边形ABCD .
问题3 设S四边形P1Q1Q2P2=A，S四边形P3Q3Q4P4=B，S四边形P2Q2Q3P3=C.
由问题（2）的结论，可知A=■S四边形ADQ3P3，B=■S四边形P2Q2CB.
∴ A+B=■（S四边形ABCD+C）=■（1+C）.
又∵ C=■（A+B+C），即C=■■（1+C）+C，整理得C=■，即S四边形P2Q2Q3P3=■.
问题4 图4中，由问题2的结论可知，2S2=S1+S3，2S3=S2+S4，两式相加得S1、S2、S3、S4的等量关系.
关系式为：S2+S3=S1+S4.
■
一、 填空
1. （2011江苏宿迁）如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上. 若AD=7 cm，BC=8 cm，则AB的长度是_______ cm.
2. （2011江苏无锡）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5 cm，则EF=________ cm.
3. （2011江苏无锡）如图3，在△ABC中，AB=5 cm，AC=3 cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为________ cm.
4. （2011江苏宿迁）一个边长为16 m的正方形展厅，准备用边长分别为1 m和0.5 m的两种正方形地板砖铺设其地面. 铺设的要求是，正中心一块是边长为1 m的大地板砖，然后从内到外一圈小地板砖、一圈大地板砖相间镶嵌（如图4所示），则铺好整个展厅地面共需要边长为1 m的大地板砖________块.
5. （2011湖北黄冈）如图5，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中5个小矩形的周长之和为_______.
6. （2011湖北黄石）如图6，△ABC内接于⊙O，若∠B=30°，AC
=■，则⊙O的直径为_________.
7. （2011湖北黄冈）如图7，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC、S△ADF、
S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF-S△BEF=_________.
8. （2011江苏苏州）如图8，已知点A的坐标为（■，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=■（k＞0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D. 若AB=3BD，以点C为圆心，CA的■倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是_________（填“相离”“相切”或“相交”）.
二、 选择题
9. （2011江苏连云港）小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解. ”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 下列四个命题：
（1） 对角线互相垂直的平行四边形是正方形.
（2） 对角线相等的梯形是等腰梯形.
（3） 过弦的中点的直线必经过圆心.
（4） 圆的切线垂直于经过切点的半径.
其中正确的命题是（ ）
A. （1）（2） B. （2）（3） C. （2）（4） D. （1）（4）
11. （2011江苏苏州）如图9，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点. 若EF=2，BC=5，CD=3，则tan∠C等于（ ）
A. ■ B. ■ C. ■ D. ■
12. （2011辽宁大连）如图10，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于（ ）
A. ■ B. 1 C. ■ D. 2
13. （2011湖北黄冈）如图11，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 67.5°
三、 解答题
14. （2011江苏南京）如图12①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点. （1） 如图12②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E. 试说明E是△ABC的自相似点；（2） 在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，如图12③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；（3） 若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数.
15. （2011江苏苏州）如图13，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.
（1） 弦长AB等于_______（结果保留根号）；
（2） 当∠D=20°时，求∠BOD的度数；
（3） 当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程.
16. （2011江苏连云港）已知∠AOB=60°，半径为3 cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C.
（1） ⊙P移动到与边OB相切时（如图14），切点为D，求劣弧■的长；
（2） ⊙P移动到与边OB相交于点E、F，若EF=4 cm，求OC的长.
17. （2011江苏无锡）如图15，已知O（0，0）、A（4，0）、B（4，3），动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边0A、AB、BO作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动. 若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动.
（1） 当P在线段OA上运动时，求直线l与以P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；
（2） 当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形.
■
一、 1. 15. 2. 5. 3. 8. 4. 181. 5. 28. 6. 2■. 7. 2. 8. 相交.
二、 9. C. 10. C. 11. BF. 12. C. 13. D.
三、 14. 解：（1） 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中线，∴ CD=■AB，∴ CD=BD，∴ ∠BCE=∠ABC. ∵ BE⊥CD，∴ ∠BEC=90°，∴ ∠BEC=∠ACB. ∴ △BCE∽△ACB，∴ E是△ABC的自相似点.
（2） 如图所示，作法：①在∠ABC内，作∠CBD=∠A；②在∠ACB内，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于点P，则P为△ABC的自相似点；
（3） ∵ P是△ABC的内心，∴ ∠PBC=■∠ABC，∠PCB=■∠ACB. ∵ ∠PBC=∠A，∠BCP
=∠ABC=2∠PBC=2∠A，
∠ACB=2∠BCP=4∠A，∴ ∠A
+2∠A+4∠A=180°，∴ ∠A
=■，∴ 该三角形三个内角
度数为■、■、■.
15. （1） 弦长AB等于2■，（2） 连接OA，易得∠BAD=50°，∴ ∠BOD=100°.
（3） 由题意得，要使△ACD与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，此时△DAC ∽△BOC. ∵ ∠BCO=90°，∴ OC⊥AB，∴ AC=■AB=■.
16. （1） 易得∠DPC=120°，∴ 劣弧■的长为：■=2π（cm）；
（2） 可分两种情况，①如图2，连接PE、PC，过点P作PM⊥EF于点M，延长CP交OB于点N，易得PM=1，PN=2，∴ NC=PN+PC=5，在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°=■ cm. ②如图3，连接PF、PC，PC交EF于点N，过点P作PM⊥EF于点M，易得NC=PC-PN=1，在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°
=■ cm.
综上所述，OC的长为■ cm或■ cm.
17. （1） 设直线l与OA交于点C，当P在线段OA上运动时，OP=3t，AC=t，⊙P与直线l相交时，4-（3t+t）＜1，（3t+t）-4＜1，解得■＜t＜■；
（2） 四边形CPBD不可能为菱形. 假设四边形CPBD为菱形. 由题意得AC=t，OC=4-t，PA=3t-4，PB=7-3t，∵ CD∥AB，∴ ■=■，即■=■，解得CD=■（4-t），由菱形的性质，得CD=PB，即■（4-t）
=7-3t，解得t=■，此时PC2=PA2+AC2=（3t-4）2+t2=■，又当四边形CPBD为菱形时，PC=PB=7-3t，PC2=（7-3t）2=■，∵ ■≠■，∴ 四边形CPBD不可能为菱形. 设直线l比P点迟a秒出发，则AC=t-a，OC=4-t+a，由CD∥AB，得CD=■（4-t+a），由CD=PB，得■（4-t+a）=7-3t，解得t=■，PC∥OB，PC=CD，得■=■，即AB?PC=OB?AP，3×■（4-t+a）=5×（3t-4），解得t=■，则■=■，解得a=■，即直线l比P点迟■秒出发.