一、函数不等式能成立吗? 例:已知函数f(x)在定义域[-1,+∞)上是减函数,问是否存在实数t,使得不等式f(cosx-t)≤f(cos2x-t2)对于一切实数x都成立?
问题探究:由于函数f(x)在定义域[-1,∞)上是减函数,所以有
cos-t≥-1cosx2-t2≥-1cosx-t≥cos2x-t2t≤cosx+1t2≤cos2x+1t2-t≥cos2x-cosxt2≤1t2-t≥(cosx-)2-
其中t2是由于t≤cosx+1t2≤cos2x+1对一切实数x都成立.
又-≤(cos-)2-≤(-1-)2-=2,t2-t≥(cos-)2-对一切实数x成立,
所以t2≤1t2-t≥2-1≤t≤1(t-2)(t+1)≥0 -1≤t≤1t≥2或t≤-1t=-1
而t=-1时,cosx-t=cosx+1,cos2x-t2=cos2x-1,
cosx+1≥cos2x-1对于一切实数x恒成立.
因而函数不等式可以恒成立
二、夹在两个函数之间的函数
例:已知函数f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),是否存在常数a,b,c使f(x)夹在一次函数y=x与二次函数 y=(1+x2)之间,即x≤f(x)≤(1+x2)对一切实数x都成立。
问题探究:f(x)图象过点(-1,0),即0=a-b+c ……(I)
设法再找a,b,c的等式,f(x)图象夹在y=x与y=(1+x2)之间,
取x=1,则有1≤a+b+c≤1即a+b+c=1,……(II)
由(I),(II)解得b=,c=-a题给条件即为
ax2+(b-1)x+c≥0(2a-1)x2+2bx+2c-1≤02ax2-x+1-2a≥0(2a-1)x2+x-2a≤0
1-8a(1-2a)≤0a>01+8a(2a-1)≤02a-100≤≤2f(2)=4+(m-1)×2+1≥0解得-≤m00≤≤2解得 m=-1
当只有一解时
即f(0)f(2)=1×[4+(m-1)×2+1]0f(1)=9-4k≥00