摘要：函数的一致连续性是数学重要的概念，目前关于一致连续的判别方法主要是利用一致连续的定义和Cantor定理， 通过判断函数一致连续性的两种方法：导数判断法和极限判断法，以及对这两种方法的相关定理的证明、实例介绍应用，使得对函数一致连续性的判断方法简单化、明了化。
关键词：一致连续；导数判断法；极限判断法
弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续理论的关键。数学分析中只给出的关于一致连续的判别方法主要是用一致连续性的定义和Cantor定理，为了使我们对函数一致连续性理论的全面掌握，作为对教材内容的适当扩充和补充，我另外归纳总结了以下两种判断函数一直连续的方法。
一、预备知识
定义 设函数f（x）定义在区间I上，若对于任意的ε>0，存在δ>0，对任意的x1，x2∈I。只要x1-x20，使得对I上任意x"，x""两点，都有f（x"）-f（x""）≤Lx"-x""，则f（x）在区间I上一致连续。
二、主要结论
1. 导数判断法
从一致连续函数的定义及非一致连续函数的图像分析易知，函数的一致连续性与函数“陡度”有关，函数在某点附近的“陡度”大，曲线在该点附近的切线斜率的绝对值就大，反之亦然，若函数可导，则“陡度”大小与导数值的“大小”有关，故有如下导数判断法。
定理1设函数f（x）在区间I上可导，且f"（x）在区间I上有界，则函数f（x）在区间I上一致连续。
证明：由已知，f"（x）在区间I上有界，于是存在常数M使得对x∈I，有f"（x）≤M（M>0）。由微分中值定理，对任意的x1，x2∈I，有f（x1）-f（x2）=f"（x）x1-x2≤Mx1-x2。即f（x）在区间I上满足Lipschitz条件，于是由引理2知f（x）在区间I上一致连续。
注：f"（x）在I上有界是f（x）在I上一致连续的充分而非必要条件。例如函数f（x）=xx在（0，1）上一致连续。事实上，f（x）=xx在（0，1）内连续，且f（x）=1，f（x）=1，但是f"（x）=（exlnx）"=exlnx［lnx+1］→-∞（x→0+）。
定理2 若函数f（x）在区间［a，+∞）（或（-∞，b］）上可导，且=+∞（或f"（x）=-∞，则f（x）在［a，+∞）（或（-∞，b］ ）上非一致连续。
证明：对于δ>0，取x1=n，x=n+（n为充分大的自然数)，满足x1-x2=0，?埚δ1>0，由f（x）=A，当x>b时，有f（x）-Ab且x1-x20，当x1-x20，因为f（x）-g（x）=0，则?埚X1>0，当x>X1时，有f（x）-g（x）0，x1，x2∈［X1，+∞），当x1-x2X1，则由（1），（3），有f（x1）-f（x2）≤f（x1）-g（x1）+g（x1）-g（x2）+g（x2）-f（x2）