摘 要： 有关不等式证明的方法有很多，如单调性、归纳法、极值及凹凸性等，而对双边不等式，如果采用一般的证明方法，步骤将繁杂很多.本文借助拉格朗日中值定理求证，使不等式证明达到事半功倍的效果.
关键词： 拉格朗日中值定理 不等式 证明方法
拉格朗日中值定理：如果函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）内可导，那么至少存在一点ξ∈（a，b），使得
f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）.
从定理中不难发现，ξ∈（a，b），即a＜ξ＜b，这本身就是一个双边不等式，而定理结论中有f′（ξ），即含有ξ的代数式，借助a＜ξ＜b这一双边不等式，代入f′（ξ）式子中来证明一类双边不等式.
例1.证明：na（b-a）＜b-a＜nb（b-a） （0＜a＜b，n＞1）.
证:令f（x）=x，则f（x）在［a，b］上连续，（a，b）上可导，且f′（x）=nx（n＞1），由拉格朗日中值定理，?埚ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a），即
b-a=nξ（b-a），
因为0＜a＜ξ＜b，所以a＜ξ＜b，
从而na（b-a）＜nξ（b-a）＜nb（b-a）.
例2.证明：当x＞0时，＜ln（1+x）＜x.
证:设f（x）=ln（1+x），则f（x）在［0，x］上满足拉格朗日中值定理的条件，所以
f（x）-f（0）=f′（ξ）（x-0） （0＜ξ＜x），
又f（0）=0，f′（x）=，
所以ln（1+x）=，
又因为0＜ξ＜x，1＜1+ξ＜1+x，＜＜1，
所以＜＜x，
即x＞0时，＜ln（1+x）＜x.
例3.证明:|arctanx-arctany|≤|x-y|.
证:令f（t）=arctant，则f（t）在［x，y］（或［y，x］）上连续且可导，且f′（t）=，故由拉格朗日中值定理，?埚ξ∈（x，y）（或ξ∈（y，x），使得f（x）-f（y）=f′（ξ）（x-y）
即arctanx-arctany=（x-y）
等式两边同时取绝对值得
|arctanx-arctany|=（x-y）=|x-y|
又0≤≤1，从而|arctanx-arctany|≤|x-y|.
说明：对于一般的含绝对值的不等式，如果采用不等式的一般证明方法，则首先将绝对值不等式化为双边不等式，而本文用拉格朗日中值定理来证，对等式两边同时取绝对值，大大简化了证明过程.
总结：用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是构造一个辅助函数，并给出适当区间，使该辅助函数在所给的区间上满足定理的条件，然后借助a＜ξ＜b放大和缩小f′（ξ），推出要证的不等式.
参考文献：
［1］华东师范大学数学系.数学分析（第三版）［M］.北京:高等教育出版社，2003：217-224.
［2］华东师范大学数学系.高等数学［M］.北京:高等教育出版社，2003：217-224.