高考重庆数学
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2014年重庆市高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ =（1，4），=（2，1）且（2 分）（2014??重庆）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ 分）（2014??重庆）某次联欢会要安排三个歌舞类节目，2个小品类节目和1 个相声类节目的演出顺序，则同 类节目不相邻的排法种数是（ 16810．（5 分）（2014??重庆）已知 ABC 的内角A，B，C 满足sin2A+sin（AB+C）=sin（CAB）+ ，面积S 分别为A(转载自：www.dXf5.cOm 东星资源网:
高考重庆数学)，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（ 12abc24二、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分共15 分把答案填写在答题卡相应位置上． 11．（5 分）（2014??重庆）设全集U={nN|1n10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（ 12．（5分）（2014??重庆）函数f（x）=log ??log（2x）的最小值为 13．（5分）（2014??重庆）已知直线ax+y2=0 与圆心为C 相交于A，B两点，且 ABC 为等边三角形，则实数a= 三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14．（5 分）（2014??重庆）过圆外一点P 作圆的切线PA（A 为切点），再作割线PBC 依次交圆于B、C，若PA=6， AC=8，BC=9，则AB= 15．（5分）（2014??重庆）已知直线l 的参数方程为 建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin θ4cosθ=0（ρ0，0θ＜2π），则直线l与曲线C a+2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 四、解答题：本大题共6小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（13 分）（2014??重庆）已知函数f（x）= sin（ωx+φ）（ω＞0， ）的图象关于直线x=对称， 且图象上相邻两个最高点的距离为π． 18．（13分）（2014??重庆）一盒中装有9 张各写有一个数字的卡片，其中4 张卡片上的数字是1，3 张卡片上的数字 是2，2 张卡片上的数字是3，从盒中任取3 张卡片． （）求所取3 张卡片上的数字完全相同的概率； 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c 满足abc， 为这三个数的中位数．）19．（13 分）（2014??重庆）如图，四棱锥PABCD，底面是以O 为中心的菱形，PO底面ABCD，AB=2，BAD= M为BC上的一点，且BM= ，MPAP． （）求PO （）求二面角APMC的正弦值． 20．（12 分）（2014??重庆）已知函数f（x）=ae 2x 2xcx（a，b，cR）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f （）若c=3，判断f（x）的单调性；（）若f（x）有极值，求c 的取值范围． 21．（12 分）（2014??重庆）如图，设椭圆 （）求椭圆的标准方程；（）设圆心在y 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径． 22．（12 分）（2014??重庆）设a }的通项公式；（）若b=1，问：是否存在实数c 使得a 2n 2n+1对所有的nN 成立，证明你的结论．2014 年重庆市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 第四象限考点： 复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有 专题： 计算题． 分析： 根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z 化为a=bi（a，bR）的形式，分析实部和虚部的符号，即可 得到答案． 解答： 解：复数Z=i（12i）=2+i 复数Z 复数Z在复平面内对应的点位于第一象限 点评：本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z 化为a=bi（a， bR）的形式，是解答本题的关键． 成等比数列考点： 等比数列的性质．菁优网版权所有 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可． 解答： 点评：本题主要考查了是等比数列的性质．主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断． =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ =0.3x+4.4考点： 线性回归方程．菁优网版权所有 专题： 计算题；概率与统计． 分析： 变量x 正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．解答： 解：变量x 正相关，可以排除C，D； 样本平均数 =3.5，代入A符合，B 不符合， 点评：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键． =（1，4），=（2，1）且（2 考点：平面向量的坐标运算．菁优网版权所有 专题： 平面向量及应用． 分析： 根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的 数量积等于0，得到关于k 的方程，解方程即可． 解答： =（1，4），=（2，1） 点评：本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出 分）（2014??重庆）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（ 考点：程序框图．菁优网版权所有 专题： 计算题；算法和程序框图． 分析： 程序运行的S= ，根据输出k的值，确定S 的值，从而可得判断框的条件． 解答： 解：由程序框图知：程序运行的S= 点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S 值是解题的关键． ＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ 考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 专题： 简易逻辑． 分析： 判定命题p，q 的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论． 解答： 解：根据指数函数的性质可知，对任意xR，总有2 成立，即p为真命题， ：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，即q 为假命题， 点评：本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p，q 的真假是解决本题的关键，比较基础． 72考点： 由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面 积公式计算． 解答： 解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图： 三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3， 三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3 的等腰直角三角形，AB平面BEFC，ABBC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5 几何体的表面积S= 点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关 考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： |=ex+a，结合条件可得a=b，从而 b，即可求出双曲线的离心率．解答： 点的横坐标为x由焦半径公式有|PF |=ex+a，|PF ab，2ex=3b，（ex） 点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题． 分）（2014??重庆）某次联欢会要安排三个歌舞类节目，2个小品类节目和1 个相声类节目的演出顺序，则同 类节目不相邻的排法种数是（ 168考点： 计数原理的应用．菁优网版权所有 专题： 计算题． 分析： 根据题意，分2 步进行分析：、先将三个歌舞类节目全排列，、因为三个歌舞类节目不能相邻，则分2 种情况讨论中间2 个空位安排情况，由分步计数原理计算没一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可 得答案． 解答： 步进行分析：1、先将三个歌舞类节目全排列，有A 种情况，排好后，有4个空位， 2、因为三个歌舞类节目不能相邻，则中间2 个空位必须安排2 个节目， 种情况讨论：、将中间2 个空位安排1 个小品类节目和1 个相声类节目，有C 种情况，排好后，最后1 个小品类节目放在2 种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是642=48 、将中间2个空位安排2 个小品类节目，有A 种情况，排好后，有6 个空位，相声类节目有6 个空位可选，即有6 种情况， 此时同类节目不相邻的排法种数是626=72 点评：本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便． 10．（5 分）（2014??重庆）已知 ABC 的内角A，B，C 满足sin2A+sin（AB+C）=sin（CAB）+ ，面积S 分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（ 12abc24考点： 正弦定理的应用；二倍角的正弦．菁优网版权所有 专题： 三角函数的求值；解三角形． 分析： 根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质 进行证明即可得到结论． 解答： 解：ABC 的内角A，B，C 满足sin2A+sin（AB+C）=sin（CAB）+ 设外接圆的半径为k，由正弦定理可得： =2R， =4S，面积S 满足1S2， 由sinAsinBsinC=可得 ，显然选项C，D 不一定正确， A．bc（b+c）＞abc8 正确， B．bc（b+c）＞abc ．不一定正确， 点评：本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方 法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 二、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分共15 分把答案填写在答题卡相应位置上． 11．（5 分）（2014??重庆）设全集U={nN|1n10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（ 考点：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有 专题： 集合． 分析： 由条件利用补集的定义求得 A）B={7，9}，故答案为：{7，9}． 点评： 本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题． 12．（5 分）（2014??重庆）函数f（x）=log ??log（2x）的最小值为 考点：对数函数图象与性质的综合应用；换底公式的应用．菁优网版权所有 专题： 函数的性质及应用． 分析： 利用对数的运算性质可得f（x）= ，即可求得f（x）最小值． 解答： 解：f（x）=log ??log（2x） log??log （2x） logx??log （2x） logx（log x+log logx（log x+2） 当logx+1=0 故答案为：点评： 本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中 13．（5分）（2014??重庆）已知直线ax+y2=0 与圆心为C 相交于A，B两点，且 ABC 为等边三角形，则实数a= 考点：直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有 专题： 直线与圆． 分析： 根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论． 解答： 解：圆心C（1，a），半径r=2， ABC 为等边三角形， 圆心C 到直线AB 的距离d= 故答案为：4点评： 本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键． 三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分 14．（5 分）（2014??重庆）过圆外一点P 作圆的切线PA（A 为切点），再作割线PBC 依次交圆于B、C，若PA=6， AC=8，BC=9，则AB= 考点：圆的切线的判定定理的证明．菁优网版权所有 专题： 选作题；几何证明． 分析： 由题意，PAB=C，可得 PABPCA，从而 ，代入数据可得结论． 解答： 解：由题意，PAB=C，APB=CPA， PABPCA， PB=3，AB=4，故答案为：4． 点评： 本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题． 15．（5 分）（2014??重庆）已知直线l 的参数方程为 建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin θ4cosθ=0（ρ0，0θ＜2π），则直线l与曲线C 考点：直线的参数方程．菁优网版权所有 专题： 选作题；坐标系和参数方程． 分析： 直线l 的参数方程化为普通方程、曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求出公共点的坐标，即可 求出极径． 解答： 解：直线l 的参数方程为 ，普通方程为y=x+1， 曲线C 的极坐标方程为ρsin θ4cosθ=0的直角坐标方程为y =4x，直线l 与曲线C 联立可得（x1） 直线l与曲线C 点评：本题考查直线l 的参数方程、曲线C 的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题． 16．（2014??重庆）若不等式|2x1|+|x+2|a a+2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 考点：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 专题： 选作题；不等式选讲． 分析： 利用绝对值的几何意义，确定|2x1|+|x+2|的最小值，然后让a a+2小于等于它的最小值即可． 解答： 解：|2x1|+|x+2|= a+2对任意实数x 恒成立， 实数a的取值范围是[1， 点评：本题考查绝对值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题，属于中档题． 四、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（13 分）（2014??重庆）已知函数f（x）= sin（ωx+φ）（ω＞0， ）的图象关于直线x=对称， 且图象上相邻两个最高点的距离为π． 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；运用诱导公式化简求值．菁优网版权所有 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2．再根据图象关于直线x= 对称，结合 ．再根据α的范围求得cos（α ）的值，再根据cos（α+ ]，利用两角和的正弦公式计算求得结果．解答： 解：（）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π， 再根据图象关于直线x=对称，可得 cos（α+）=sinα=sin[（α ]=sin（α）cos cos（α ）sin 点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中 18．（13分）（2014??重庆）一盒中装有9 张各写有一个数字的卡片，其中4 张卡片上的数字是1，3 张卡片上的数字 是2，2 张卡片上的数字是3，从盒中任取3 张卡片． （）求所取3 张卡片上的数字完全相同的概率； 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c 满足abc， 为这三个数的中位数．）考点： 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 专题： 常规题型． 分析： 第一问是古典概型的问题，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概 型概率计算公式即可，相对简单些； 第二问应先根据题意求出随机变量X 的所有可能取值，此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字（如 三类）的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现． 解答： 解：（）由古典概型的概率计算公式得所求概率为 （）由题意知X的所有可能取值为1，2，3，且 所以X的分布列为： 点评：本题属于中档题，关键是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什么才能解答好第一问；第二问的只 要是准确记住了中位数的概念，应该说完成此题基本没有问题． 19．（13 分）（2014??重庆）如图，四棱锥PABCD，底面是以O 为中心的菱形，PO底面ABCD，AB=2，BAD= M为BC上的一点，且BM= ，MPAP． （）求PO （）求二面角APMC的正弦值． 考点： 与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有 专题： 空间位置关系与距离；空间角． 分析： （）连接AC，BD，以O 为坐标原点，OA，OB，OP 方向为x，y，z 轴正方向建立空间坐标系Oxyz， 分别求出向量 （）求出平面APM和平面PMC的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关 系可得：二面角APMC 的正弦值． 解答： 解：（）连接AC，BD， 底面是以O 为中心的菱形，PO底面ABCD， 故ACBD=O，且ACBD， 为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z 轴正方向建立空间坐标系Oxyz， AB=2，BAD= OA=AB??cos（BAD）= ，OB=AB??sin（ BAD）=1， ，0，0），B（0，1，0），C（，0，0）， =（0，1，0）， ，1，0），又BM= 设平面APM的法向量=（x，y，z），平面PMC 的法向量为 平面APM的法向量和平面PMC 的法向量 夹角θ 满足： cosθ= 点评：本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答 的关键． 20．（12 分）（2014??重庆）已知函数f（x）=ae 2x 2xcx（a，b，cR）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f （）若c=3，判断f（x）的单调性；（）若f（x）有极值，求c 的取值范围． 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 专题： 导数的综合应用． 分析： （）根据函数f（x）=ae 2x 2xcx（a，b，cR）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点 （0，f（0））处的切线的斜率为4c，构造关于a，b 的方程，可得a，b 代入，利用基本不等式可得f′（x）0恒成立，进而可得f（x）在定义域R 为均增函数； （）结合基本不等式，分c4 时两种情况讨论f（x）极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案． 解答： 解：（）函数f（x）=ae 2x 2xcx（a，b，cR） f′（x）=2ae 2x +2be 2x 2x+2e 2x 恒成立，故f（x）在定义域R 为均增函数； 2x+2e 2x 而2e2x +2e 2x 2x，方程2t+ 时，f（x）有极值，综上，若f（x）有极值，c 的取值范围为（4，+）． 点评： 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用， 难度中档． 21．（12 分）（2014??重庆）如图，设椭圆 （）求椭圆的标准方程；（）设圆心在y 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： ，从而可得2a=2 ，于是可求得椭圆的标准方程； （）设圆心在y ）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x =0，分类讨论即可求得圆的半径．解答： 点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析 与运算能力，属于难题． 22．（12 分）（2014??重庆）设a }的通项公式；（）若b=1，问：是否存在实数c 使得a 2n 2n+1对所有的nN 成立，证明你的结论．考点： 数学归纳法；数列递推式．菁优网版权所有 专题： 综合题；点列、递归数列与数学归纳法． 分析： 的等差数列，即可求数列{a 数学归纳法证明加强命题a2n 即可．解答： 下面用数学归纳法证明加强命题a2n 时结论成立，即a2k 时结论成立，综上，c= 使得a 2n 2n+1对所有的nN 成立．点评： 本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，难度大．