观察、类比、归纳、猜想、验证是学生获得新知识的重要方法,也是学生应具备的分析问题和解决问题的能力.因此,教学中要注意培养学生的这种能力,创设“问题情境”,激发求知欲,引导学生通过自己实践而获得新知识,从而培养能力,发展智力.本文试图通过例题来谈谈教学中如何引导学生自觉掌握这种方法.
一、利用归纳、猜想、发现新命题
例1.点C在线段AB上,△ACM、△CBN都是等边三角形(如图1).
求证:AN=BM.
若点C移到线段外,则仍有类似的结论.
命题1.1:锐角△ABC向外作正三角形ACM和BCN(如图2),则AN=BM.
命题1.2:锐角△ABC向外作正方形ABDE和ACFG,则BG=CE.
根据命题1.1,1.2,我们归纳其共性,猜想若由锐角三角形向外作正五边形,正六边形,……正n边形,仍有类似的结论成立.
命题1.3:锐角三角形向外作正n边形ACCC…C,ABBB…B,则BC=CB.
二、利用观察、猜想发现新命题
例2.用数学归纳法证明:
(1)1+2+3+…+n=n(n+1);
(2)1•2+2•3+3•4+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2);
(3)1•2•3+2•3•4+3•4•5+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3).
观察(1)(2)(3)式的左边分别是1个,2个和3个连续自然数的积的数列的前n项和,右边是从n起分别为2个、3个、4个连续自然数之积再分别除以2,3,4,那么,对于4个连续自然数之积的数列,其前n项的和是否也具有这样类似的结论呢?由此,我们作了如下猜想:
命题2.1:设给出数列{a},a=n(n+1)(n+2)(n+3),则此数列的前n项和为k(k+1)(k+2)(k+3)=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4),这里我们还可以更一般地猜想:
命题2.2:以p+1(p∈N)个连续自然数之积为通项的数列,其前n项和的公式:设数列{a}的通项公式为:a=n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+p),其中p∈N,则数列前n项和是k(k+1)(k+2)(k+3)…(k+p)=n(n+1)…(n+p+1).
三、利用类比猜想发现新命题
例3.从椭圆+=1的中心作三条每相邻两条成120°角的向径OP,OP,OP,求证:++为定值.
这里条件中“三条每相邻成120°的向径”与“四条每相邻两条成90°的向径”类比,均为每相邻两条成等角向径,从例3的启示,“过中心的四条每相邻成两条成90°的向径”是否有类似的性质呢?由此猜想:
命题3.1:从椭圆+=1的中心作四条相邻两条成90°的向径OP,OP,OP,OP,则+++为定值.
一般地作几条向径每相邻两条成等角猜想仍有类似的结论.
命题3.2:从椭圆+=1的中心作几条每相邻两条成的向径OP,OP,…OP,则++…+为定值.
四、从证法方面进行观察、类比、验证
我们通过观察、类比、归纳发现的命题只不过是猜想,是否正确,还需要进行论证.
命题1.1很容易从△BCM≌△ACN而证明,命题1.2和命题1.3方法类似.
命题2.1和命题2.2的证法,从例2得到启示,可以用数学归纳法证得.
命题3.1的证法可先看例3的证法.
证明:设取中心O为极点,Ox轴的正向为极轴,则椭圆+=1的极坐标方程为ρ=
P的极坐标为(ρ,θ)
则P,P分别为(ρ,θ+120°),(ρ,θ+240°)
因而OP=ρ=,OP=ρ=
OP=ρ=
∴++
=[1-ecosθ+1-ecos(θ+120°)+1-ecos(θ+240°)]
=[3-ecosθ+ecosθ-e]
=(+)=(定值)
命题3.1,3.2的证法与例3法相同,现将命题3.2的证法写出如下:以椭圆+=1的中心为极点Ox轴的正向为极轴的极坐标方程为:
ρ=且设P坐标为(ρ,θ)那么P(ρ,θ+),P(ρ,θ+),…,P(ρ,θ+)
∴OP=ρ=,OP=ρ=,…,
OP=ρ=
∴++…+
={n-ecosθ-ecos(θ+)…-ecos[θ+]}
={n-e-e[cos2θ+cos(2θ+)
+cos(2θ+)+…+cos(2θ+360°]}
=[n-e-e×0]=(+)=(定值)
对一些习题,通过观察、类比、归纳、猜想、验证,可以把问题引向深入,纵横联系得到推广,从而避免陷于“题海之中”,通过这方面的练习,能达到举一反三、触类旁通的解题效果,真正达到提高学生分析问题、解决问题能力的目的.