数学中的转化与化归思想方法，指在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得问题的一种手段和方法． 转化与化归思想的特点是实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论、方法和技巧达到问题的解决，其方向是由未知到已知，由难到易，由繁到简． 世界数学大师波利亚强调：“不断地变换你的问题”“我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”． 下面谈一谈如何渗透转化与化归的数学思想．
知识发生的过程是指揭示和建立新旧知识的内在联系，使我们得到新知识，即表层知识规范化的过程．它包括数学的一些现成结果，还包括这些结果的形成过程，如概念的形成过程、问题的发现过程、规律的揭示过程、结论的推导过程、方法的思考过程等．实际上，在这个过程中，蕴于其中的深层知识――转化与化归思想也在同时发生着，它对实现我们数学的“返璞归真”有着重要的意义．我们只有在数学思想的高度上去“做”数学，才能终身受益．
阅读如下材料：“已知a，b，c，d∈R，a2+b2=1，c2+d2=1，求ac+bd的最大值．
解 a2+c2≥2ac，b2+d2≥2bd，两式相加得a2+b2+c2+d2≥2ac+2bd，那么2≥2（ac+bd），即ac+bd≤1，当且仅当a=c，b=d时，ac+bd=1，故ac+bd的最大值是1．”
请类比材料中问题的求解过程，完成以下问题：“a，b，c，d∈R，a2+b2=4，c2+d2=9，求ac+bd的最大值．”
破解 不难看出，阅读材料中两个等式的右端相等均为1，故利用基本不等式求最大值，“=”可以取得，由此看来，要解答本问题，必须首先将题设中的等式作如下的变形：a2+b2=4，c2+d2=9+=1，+=1， 于是+≥2•=，+≥2•=，2=+++≥+=，故ac+bd的最大值是6．
反思 解题中利用类比推理的解题策略，实际上就是一种转化与化归的思想，功效是显著的．但类比中新结论的产生不是简单的模仿、复制，而是一种创造性的顿悟，同学们在解题中常常因为问题形式相似，往往产生一种“亲近”感，易产生松懈、麻痹的心态，误用类比推理致使解题出现错误，如：对照阅读材料，发现问题的条件、结论和阅读材料相似，故模仿阅读材料中的解法知a2+c2≥2ac，b2+d2≥2bd，两式相加得a2+b2+c2+d2≥2ac+2bd，于是13≥2（ac+bd），即ac+bd≤． 故ac+bd的最大值是． 错在哪里？原因是当且仅当a=c，b=d时ac+bd的最大值是，可是如果a=c，b=d，那么a2+b2=c2+d2，即4=9，显然这与4≠9矛盾！原来错误之处在于“=”无法取得，结构特征有变化时，类比要小心！
知识的应用过程是指对已有概念、定理、公式、法则和方法的巩固和应用中进一步理解的过程． 我们可以通过各种方式进行渗透，如在知识体系或变式训练中进行渗透等，但内容设计要有弹性．
1． 在知识体系中渗透转化与化归思想
等差和等比数列是数列中最常见的两种重要数列，解题中若能把递推数列化归为等差或等比数列求解，则比较简洁． 形如an+1=pan+q可采用待定系数法将其转化为an+1+t=p（an+t），其中t=，则数列｛an+t｝为公比等于p的等比数列，然后求an即可；形如an+2=can+1+dan的递推数列求通项公式，通过对系数的分解，可得等比数列｛an－an－1｝：设an+2－kan+1=h（an+1－kan），比较系数得h+k=c，－hk=d，可解得h，k，从而可通过适当换元，转换成等比数列或等差数列求解．
在数列｛an｝中， a1=1，当n≥2时，有an=3an－1+2，求数列｛an｝的通项公式．
破解 设an+t=3（an－1+t），则an=3an－1+2t，所以t=1，于是an+1=3（an－1+t），所以｛an+1｝是以a1+1=2为首项，以3为公比的等比数列． 所以an=2•3n－1－1．
反思 通过选择适当的形式，引入待定的参数，再确定参数的值．对形如“an+1=pan+q”的递推公式，我们一般都是构造公比为p的辅助数列｛an+t｝，要特别注意该数列的首项不是a1，而是a1+t．
2． 在变式训练中渗透转化与化归思想
由于转化与化归具有多向性、层次性和重复性的特点，为了实施有效的转化，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是多向性． 转化与化归原则既可应用于沟通数学与各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转换，又能调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，这是转化与化归的层次性． 而解决问题可以多次使用转化，使问题逐次达到规范化，这就是转化与化归原则应用的重复性．
已知函数y=f（x）是定义在［－1，1］的减函数，且是奇函数．若f（a2－a－1）+f（4a－5）>0，求实数a的取值范围．
破解 由f（a2－a－1）+f（4a－5）>0得f（a2－a－1）>－f（4a－5）=f（5－4a）． y=f（x）是定义在［－1，1］的减函数，所以a2－a－10恒成立，求实数x的取值范围．
破解 若视a为主元，x为辅元， f（x）即可转化为g（a）=xa+x2+1． 当x=0时，g（a）=1>0恒成立；当x≠0时，g（a）是关于a的一次函数，所以当a∈［0，2］时f（x）>0恒成立等价于g（0）>0，g（2）>0， 即x2+1>0，x2+2x+1>0，所以x的取值范围为｛xx∈R，x≠－1｝.
反思 利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即参变量与主元的角色转换），常使问题柳暗花明．
华罗庚说过：“善于退，足够地退，退到起始，而不失去重要地步，是学好数学的诀窍．”对于表面上难于解决的问题，需要我们退步考虑，研究特殊现象，再运用分析归纳、迁移、演绎等手法去概括一般规律，使问题获解． 转化的目的是改容易面，化繁为简，巧闯难关． 高考中正确灵活地运用化归思想，找到化归途径，使用化归手段，定会取得事半功倍的效果． 转换是化归的实施．化归重在理念，转换重在操作．
已知A=｛（x，y）ax+y=1｝，B=｛（x，y）x+ay=1｝，C=｛（x，y）x2+y2=1｝，
（1）a取何值时，（A∪B）∩C有且仅有二个元素？
（2）a取何值时，（A∪B）∩C有且仅有三个元素？
破解 （1）要使两直线与单位圆有两个交点，其位置关系如图所示：
图1 图2
由以上两图可得，a=0或1时，（A∪B）∩C有且仅有二个元素．
（2）要使两直线与单位圆有三个交点，其位置关系如图3所示：也即两条直线的交点A在单位圆上，联立方程得ax+y=1，x+ay=1x=y=，代入单位圆a=±－1，即a=±－1时，（A∪B）∩C有且仅有三个元素．
反思 本题先将问题转化为对方程组的求解，再转化为对几何图形的讨论，集合A，B，C表示点所组成的集合，即表示两条直线与一个单位圆． 利用形与数的转化使问题获解．