2016年重庆中考数学a卷
2016 年重庆市中考数学试卷（A 卷） 共 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分） 1．（4 分）（2016 重庆）在实数－2，2，0，－1 中，最小的数是（ ） A．－2 B．2 C．0 D．－1 2．（4 分）（2016 重庆）下列图形中是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．（4 分）（2016 重庆）计算 a 3 a 2 正确的是（ ） A．a B．a 5 C．a 6 D．a 9 4．（4 分）（2016 重庆）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A．对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查 B．对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查 C．对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查 D．对重庆电视台 天天 630 栏目收视率的调查 5．（4 分）（2016 重庆）如图，AB‖CD，直线 l 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，若 2=80 ，则 1 等于（ ） A．120 B．110 C．100 D．80 6．（4 分）（2016 重庆）若 a=2，b=－1，则 a+2b+3 的值为（ ） A．－1 B．3 C．6 D．5 7．（4 分）（2016 重庆）函数 y= 中，x 的取值范围是（ ） A．x 0 B．x＞－2 C．x＜－2 D．x －2 8．（4 分）（2016 重庆）△ABC 与△DEF 的相似比为 1：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16 9．（4 分）（2016 重庆）如图，以 AB 为直径，点 O 为圆心的半圆经过点 C，若 AC=BC= ，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． + 10．（4 分）（2016 重庆）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有 4 个小圆圈，第②个图形中一共有 10 个小圆圈，第③个图形中一共有 19个小圆圈， ，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ） A．64 B．77 C．80 D．85 11．（4 分）（2016 重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树 CD 高度的综合实践活动，如图，在点 A 处测得直立于地面的大树顶端 C 的仰角为 36 ，然后沿在同一剖面的斜坡 AB 行走 13 米至坡顶 B 处，然后再沿水平方向行走 6 米至大树脚底点 D 处，斜面 AB 的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树 CD 的高度约为（参考数据：sin36 0.59，cos36 0.81，tan36 0.73）（ ） A．8.1 米 B．17.2 米 C．19.7 米 D．25.5 米 12．（4 分）（2016 重庆）从－3，－1， ，1，3 这五个数中，随机抽取一个数，记为 a，若数 a 使关于 x 的不等式组 无解，且使关于 x 的分式方程 － =－1有整数解，那么这 5 个数中所有满足条件的 a 的值之和是（ ） A．－3 B．－2 C．－ D． 题 二、填空题（本题 6 个下题，每小题 4 分，共 24 分） 13． （4 分） （2016 重庆）据报道，2015 年某市城镇非私营单位就业人员年平均工资超过 60500元，将数 60500 用科学计数法表示为 ． 14．（4 分）（2016 重庆）计算： +（－2） 0 = ． 15．（4 分）（2016 重庆）如图，OA，OB 是⊙O 的半径，点 C 在⊙O 上，连接 AC，BC，若 AOB=120 ，则 ACB= 度． 16．（4 分）（2016 重庆）从数－2，－ ，0，4 中任取一个数记为 m，再从余下的三个数中，任取一个数记为 n，若 k=mn，则正比例函数 y=kx 的图象经过第三、第一象限的概率是 ． 17．（4 分）（2016 重庆）甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步 1500 米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发 30 秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离 y（米）与甲出发的时间 x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是 米． 18．（4 分）（2016 重庆）正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，DE 平分 ADO交 AC 于点 E，把△ADE 沿 AD 翻折，得到△ADE ，点 F 是 DE 的中点，连接 AF，BF，E F．若 AE= ．则四边形 ABFE 的面积是 ． 共 三、解答题（本题共 2 个小题，每小题 7 分，共 14 分） 19． （7 分） （2016 重庆）如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，CE‖DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB． 20．（7 分）（2016 重庆）为响应 全民阅读 号召，某校在七年级 800 名学生中随机抽取 100名学生，对概念机学生在 2015 年全年阅读中外名著的情况进行调查，整理调查结果发现，学生阅读中外名著的本数，最少的有 5 本，最多的有 8 本，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图，其中阅读了 6 本的人数占被调查人数的 30%，根据图中提供的信息，补全条形统计图并估计该校七年级全体学生在 2015 年全年阅读中外名著的总本数． 共 四、解答题（本题共 4 个下题，每小题 10 分，共 40 分） 21．（10 分）（2016 重庆）计算：（1）（a+b） 2 －b（2a+b） （2）（ +x－1） ． 22．（10 分）（2016 重庆）在平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b（a 0）的图形与反比例函数 y= （k 0）的图象交于第二、四象限内的 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，过点 A 作AH y 轴，垂足为 H，OH=3，tan AOH= ，点 B 的坐标为（m，－2）． （1）求△AHO 的周长； （2）求该反比例函数和一次函数的解析式． 23．（10 分）（2016 重庆）近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格． （1）从今年年初至 5 月 20 日，猪肉价格不断走高，5 月 20 日比年初价格上涨了 60%．某市民在今年 5 月 20 日购买 2.5 千克猪肉至少要花 100 元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？ （2）5 月 20 日，猪肉价格为每千克 40 元.5 月 21 日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克 40 元的基础上下调 a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克 40 元的情况下，该天的两种猪肉总销量比 5 月 20 日增加了 a%，且储备猪肉的销量占总销量的 ，两种猪肉销售的总金额比 5 月 20 日提高了 a%，求 a 的值． 24．（10 分）（2016 重庆）我们知道，任意一个正整数 n 都可以进行这样的分解：n=p q（p，q 是正整数，且 p q），在 n 的所有这种分解中，如果 p，q 两因数之差的绝对值最小，我们 就称 p q 是 n 的最佳分解．并规定：F（n）= ．例如 12 可以分解成 1 12，2 6 或 3 4，因为 12－1＞6－2＞4－3，所有 3 4 是 12 的最佳分解，所以 F（12）= ． （1）如果一个正整数 a 是另外一个正整数 b 的平方，我们称正整数 a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数 m，总有 F（m）=1； （2）如果一个两位正整数 t，t=10x+y（1 x y 9，x，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为 吉祥数 ，求所有 吉祥数 中 F（t）的最大值． 题 五、解答题（本题 2 个小题，每小题 12 分，共 24 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 25．（12 分）（2016 重庆）在△ABC 中， B=45 ， C=30 ，点 D 是 BC 上一点，连接 AD，过点 A 作 AG AD，在 AG 上取点 F，连接 DF．延长 DA 至 E，使 AE=AF，连接 EG，DG，且 GE=DF． （1）若 AB=2 ，求 BC 的长； （2）如图 1，当点 G 在 AC 上时，求证：BD= CG； （3）如图 2，当点 G 在 AC 的垂直平分线上时，直接写出 的值． 26．（12 分）（2016 重庆）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=－ x 2 + x+3 与 x轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为点 E． （1）判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）经过 B，C 两点的直线交抛物线的对称轴于点 D，点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一动点，当△PCD 的面积最大时，Q 从点 P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 M 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 y 轴上的点 N 处，最后沿适当的路径运动到点 A 处停止．当点 Q 的运动路径最短时，求点 N 的坐标及点 Q 经过的最短路径的长； （3）如图 2，平移抛物线，使抛物线的顶点 E 在射线 AE 上移动，点 E 平移后的对应点为点 E ，点 A 的对应点为点 A ，将△AOC 绕点 O 顺时针旋转至△A 1 OC 1 的位置，点 A，C 的对应点分别为点 A 1 ，C 1 ，且点 A 1 恰好落在 AC 上，连接 C 1 A ，C 1 E ，△A C 1 E 是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点 E 的坐标；若不能，请说明理由． 2016 年重庆市中考数学试卷（A 卷） 参考答案与试题解析 共 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分） 1．（4 分）（2016 重庆）在实数－2，2，0，－1 中，最小的数是（ ） A．－2 B．2 C．0 D．－1 【分析】找出实数中最小的数即可． 【解答】解：在实数－2，2，0，－1 中，最小的数是－2， 故选 A 【点评】此题考查了实数大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解本题的关键． 2．（4 分）（2016 重庆）下列图形中是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，对称轴有两条，符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 3．（4 分）（2016 重庆）计算 a 3 a 2 正确的是（ ） A．a B．a 5 C．a 6 D．a 9 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后直接选取答案． 【解答】解：a 3 a 2 =a 3+2 =a 5 ． 故选 B． 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 4．（4 分）（2016 重庆）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A．对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查 B．对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查 C．对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查 D．对重庆电视台 天天 630 栏目收视率的调查 【分析】逐项分析四个选项中们案例最适合的调查方法，即可得出结论． 【解答】解：A、对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查， 应采用抽样调查； B、对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查， 应采用全面调查； C、对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查， 应采用抽样调查； D、对重庆电视台 天天 630 栏目收视率的调查， 应采用抽样调查． 故选 B． 【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，解题的关键是逐项分析四个选项应用的调查方法．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，联系实际选择调查方法是关键． 5．（4 分）（2016 重庆）如图，AB‖CD，直线 l 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，若 2=80 ，则 1 等于（ ） A．120 B．110 C．100 D．80 【分析】由平行线的性质得出 1+ DFE=180 ，由对顶角相等求出 DFE= 2=80 ，即可得出结果． 【解答】解：∵AB‖CD， 1+ DFE=180 ， ∵ DFE= 2=80 ， 1=180 －80 =100 ； 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质、对顶角相等的性质；熟记平行线的性质，由对顶角相等求出 DFE 是解决问题的关键． 6．（4 分）（2016 重庆）若 a=2，b=－1，则 a+2b+3 的值为（ ） A．－1 B．3 C．6 D．5 【分析】把 a 与 b 代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：当 a=2，b=－1 时，原式=2－2+3=3， 故选 B 【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．（4 分）（2016 重庆）函数 y= 中，x 的取值范围是（ ） A．x 0 B．x＞－2 C．x＜－2 D．x －2 【分析】由分式有意义的条件得出不等式，解不等式即可． 【解答】解：根据题意得：x+2 0， 解得 x －2． 故选：D． 【点评】本题考查了函数中自变量的取值范围、分式有意义的条件；由分式有意义得出不等式是解决问题的关键． 8．（4 分）（2016 重庆）△ABC 与△DEF 的相似比为 1：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16 【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果． 【解答】解：∵△ABC 与△DEF 的相似比为 1：4， △ABC 与△DEF 的周长比为 1：4；(本文来自：www.dXF5.com 东 星资 源 网:
2016年重庆中考数学a卷) 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键． 9．（4 分）（2016 重庆）如图，以 AB 为直径，点 O 为圆心的半圆经过点 C，若 AC=BC= ，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． + 【分析】先利用圆周角定理得到 ACB=90 ，则可判断△ACB 为等腰直角三角形，接着判断△AOC 和△BOC 都是等腰直角三角形，于是得到 S △AOC =S △BOC ，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积． 【解答】解：∵AB 为直径， ACB=90 ， ∵AC=BC= ， △ACB 为等腰直角三角形， OC AB， △AOC 和△BOC 都是等腰直角三角形， S △AOC =S △BOC ，OA= AC=1， S 阴影部分 =S 扇形 AOC = = ． 故选 A． 【点评】本题考查了扇形面积的计算：圆面积公式：S= r 2 ，（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．求阴影面积常用的方法：①直接用公式法； ②和差法； ③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 10．（4 分）（2016 重庆）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有 4 个小圆圈，第②个图形中一共有 10 个小圆圈，第③个图形中一共有 19个小圆圈， ，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ） A．64 B．77 C．80 D．85 【分析】观察图形特点，从中找出规律，小圆圈的个数分别是 3+1 2 ，6+2 2 ，10+3 2 ，15+4 2 ， ，总结出其规律为 +n 2 ，根据规律求解． 【解答】解：通过观察，得到小圆圈的个数分别是： 第一个图形为： +1 2 =4， 第二个图形为： +2 2 =6， 第三个图形为： +3 2 =10， 第四个图形为： +4 2 =15， ， 所以第 n 个图形为： +n 2 ， 当 n=7 时， +7 2 =85， 故选 D． 【点评】此题主要考查了学生分析问题、观察总结规律的能力．关键是通过观察分析得出规律． 11．（4 分）（2016 重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树 CD 高度的综合实践活动，如图，在点 A 处测得直立于地面的大树顶端 C 的仰角为 36 ，然后沿在同一剖面的斜坡 AB 行走 13 米至坡顶 B 处，然后再沿水平方向行走 6 米至大树脚底点 D 处，斜面 AB 的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树 CD 的高度约为（参考数据：sin36 0.59，cos36 0.81，tan36 0.73）（ ） A．8.1 米 B．17.2 米 C．19.7 米 D．25.5 米 【分析】作 BF AE 于 F，则 FE=BD=6 米，DE=BF，设 BF=x 米，则 AF=2.4 米，在 Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出 DE=BF=5 米，AF=12 米，得出 AE 的长度，在 Rt△ACE中，由三角函数求出 CE，即可得出结果． 【解答】解：作 BF AE 于 F，如图所示： 则 FE=BD=6 米，DE=BF， ∵斜面 AB 的坡度 i=1：2.4， AF=2.4BF， 设 BF=x 米，则 AF=2.4x 米， 在 Rt△ABF 中，由勾股定理得：x 2 +（2.4x） 2 =13 2 ， 解得：x=5， DE=BF=5 米，AF=12 米， AE=AF+FE=18 米， 在 Rt△ACE 中，CE=AE tan36 =18 0.73=13.14 米， CD=CE－DE=13.14 米－5 米 8.1 米； 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键． 12．（4 分）（2016 重庆）从－3，－1， ，1，3 这五个数中，随机抽取一个数，记为 a，若数 a 使关于 x 的不等式组 无解，且使关于 x 的分式方程 － =－1有整数解，那么这 5 个数中所有满足条件的 a 的值之和是（ ） A．－3 B．－2 C．－ D． 【分析】根据不等式组 无解，求得 a 1，解方程得 x= ，于是得到 a=－3 或 1，即可得到结论． 【解答】解：解 得 ， ∵不等式组 无解， a 1， 解方程 － =－1 得 x= ， ∵x= 为整数，a 1， a=－3 或 1， 所有满足条件的 a 的值之和是－2， 故选 B． 【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键． 题 二、填空题（本题 6 个下题，每小题 4 分，共 24 分） 13． （4 分） （2016 重庆）据报道，2015 年某市城镇非私营单位就业人员年平均工资超过 60500元，将数 60500 用科学计数法表示为 6.05 10 4 ． 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10 n 的形式，其中 1 |a|＜10，n 为整数．确定 n 的值是易错点，由于 60500 有 5 位，所以可以确定 n=5－1=4． 【解答】解：60500=6.05 10 4 ． 故答案为：6.05 10 4 ． 【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键． 14．（4 分）（2016 重庆）计算： +（－2） 0 = 3 ． 【分析】根据开平方，非零的零次幂等于 1，可得答案． 【解答】解： +（－2） 0 =2+1 =3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了零指数幂，利用非零的零次幂等于 1 是解题关键． 15．（4 分）（2016 重庆）如图，OA，OB 是⊙O 的半径，点 C 在⊙O 上，连接 AC，BC，若 AOB=120 ，则 ACB= 60 度． 【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案． 【解答】解：∵ AOB=120 ， ACB=120 =60 ， 故答案为：60． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 16．（4 分）（2016 重庆）从数－2，－ ，0，4 中任取一个数记为 m，再从余下的三个数中，任取一个数记为 n，若 k=mn，则正比例函数 y=kx 的图象经过第三、第一象限的概率是 ． 【分析】根据题意先画出图形，求出总的情况数，再求出符合条件的情况数，最后根据概率公式进行计算即可． 【解答】解：根据题意画图如下： 共有 12 种情况， ∵正比例函数 y=kx 的图象经过第三、第一象限， k＞0， ∵k=mn， mn＞0， 符合条件的情况数有 2 种， 正比例函数 y=kx 的图象经过第三、第一象限的概率是 = ； 故答案为： ． 【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 17．（4 分）（2016 重庆）甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步 1500 米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发 30 秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离 y（米）与甲出发的时间 x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是 175 米． 【分析】根据图象先求出甲、乙的速度，再求出乙到达终点时所用的时间，然后求出乙到达终点时甲所走的路程，最后用总路程－甲所走的路程即可得出答案． 【解答】解：根据题意得，甲的速度为：75 30=2.5 米/秒， 设乙的速度为 m 米/秒，则（m－2.5） 150=75， 解得：m=3 米/秒， 则乙的速度为 3 米/秒， 乙到终点时所用的时间为： =500（秒）， 此时甲走的路程是：2.5 （500+30）=1325（米）， 甲距终点的距离是 1500－1325=175（米）． 故答案为：175． 【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、乙两人所用的时间是解题的关键． 18．（4 分）（2016 重庆）正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，DE 平分 ADO交 AC 于点 E，把△ADE 沿 AD 翻折，得到△ADE ，点 F 是 DE 的中点，连接 AF，BF，E F．若 AE= ．则四边形 ABFE 的面积是 ． 【分析】如图，连接 EB、EE ，作 EM AB 于 M，EE 交 AD 于 N．易知△AEB≌△AED≌△ADE ，先求出正方形 AMEN 的边长，再求出 AB，根据 S 四边形 ABFE =S四边形 AEFE +S △AEB +S △EFB 即可解决问题． 【解答】解：如图，连接 EB、EE ，作 EM AB 于 M，EE 交 AD 于 N． ∵四边形 ABCD 是正方形， AB=BC=CD=DA，AC BD，AO=OB=OD=OC， DAC= CAB= DAE =45 ， 根据对称性，△ADE≌△ADE ≌△ABE， DE=DE ，AE=AE ， AD 垂直平分 EE ， EN=NE ， ∵ NAE= NEA= MAE= MEA=45 ，AE= ， AM=EM=EN=AN=1， ∵ED 平分 ADO，EN DA，EO DB， EN=EO=1，AO= +1， AB= AO=2+ ， S △AEB =S △AED =S △ADE = 1 （2+ ）=1+ ，S △BDE =S △ADB －2S △AEB =1+ ， ∵DF=EF， S △EFB = ， S △DEE =2S △ADE －S △AEE = +1，S △DFE = S △DEE = ， S 四边形 AEFE =2S △ADE －S △DFE = ， S 四边形 ABFE =S 四边形 AEFE +S △AEB +S △EFB = ． 故答案为 ． 【点评】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的性质，角平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用分割法求四边形面积，属于中考填空题中的压轴题． 共 三、解答题（本题共 2 个小题，每小题 7 分，共 14 分） 19． （7 分） （2016 重庆）如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，CE‖DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB． 【分析】根据 CE‖DF，可得 ACE= D，再利用 SAS 证明△ACE≌△FDB，得出对应边相等即可． 【解答】证明：∵CE‖DF， ACE= D， 在△ACE 和△FDB 中， ， △ACE≌△FDB（SAS）， AE=FB． 【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 20．（7 分）（2016 重庆）为响应 全民阅读 号召，某校在七年级 800 名学生中随机抽取 100名学生，对概念机学生在 2015 年全年阅读中外名著的情况进行调查，整理调查结果发现，学生阅读中外名著的本数，最少的有 5 本，最多的有 8 本，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图，其中阅读了 6 本的人数占被调查人数的 30%，根据图中提供的信息，补全条形统计图并估计该校七年级全体学生在 2015 年全年阅读中外名著的总本数． 【分析】由阅读了 6 本的人数占被调查人数的 30%可求得阅读 6 本的人数，将总人数减去阅读数是 5、6、8 本的人数可得阅读 7 本人数，据此补全条形图可得；根据样本计算出平均每人的阅读量，再用平均数乘以七年级学生总数即可得答案． 【解答】解：根据题意，阅读了 6 本的人数为 100 30%=30（人）， 阅读了 7 本的人数为：100－20－30－－15=35（人）， 补全条形图如图： ∵平均每位学生的阅读数量为： =6.45（本）， 估计该校七年级全体学生在 2015 年全年阅读中外名著的总本数为 800 6.45=5160 本， 答：估计该校七年级全体学生在 2015 年全年阅读中外名著的总本数约为 5160 本． 【点评】本题主要考查条形统计图，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，熟知各项目数据个数之和等于总数，也考查了用样本估计总体． 共 四、解答题（本题共 4 个下题，每小题 10 分，共 40 分） 21．（10 分）（2016 重庆）计算：（1）（a+b） 2 －b（2a+b） （2）（ +x－1） ． 【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则进行计算． 【解答】解：（1）（a+b） 2 －b（2a+b） =a 2 +2ab+b 2 －2ab－b 2 =a 2 ； （2）（ +x－1） = = = ． 【点评】本题考查的是整式的混合运算、分式的混合运算，掌握完全平方公式、分式的混合运算法则是解题的关键． 22．（10 分）（2016 重庆）在平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b（a 0）的图形与反比例函数 y= （k 0）的图象交于第二、四象限内的 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，过点 A 作AH y 轴，垂足为 H，OH=3，tan AOH= ，点 B 的坐标为（m，－2）． （1）求△AHO 的周长； （2）求该反比例函数和一次函数的解析式． 【分析】（1）根据正切函数，可得 AH 的长，根据勾股定理，可得 AO 的长，根据三角形的周长，可得答案； （2）根据待定系数法，可得函数解析式． 【解答】解：（1）由 OH=3，tan AOH= ，得 AH=4．即 A（－4，3）． 由勾股定理，得 AO= =5， △AHO 的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12； （2）将 A 点坐标代入 y= （k 0），得 k=－4 3=－12， 反比例函数的解析式为 y= ； 当 y=－2 时，－2= ，解得 x=6，即 B（6，－2）． 将 A、B 点坐标代入 y=ax+b，得 ， 解得 ， 一次函数的解析式为 y=－ x+1． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法是解题关键． 23．（10 分）（2016 重庆）近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格． （1）从今年年初至 5 月 20 日，猪肉价格不断走高，5 月 20 日比年初价格上涨了 60%．某市民在今年 5 月 20 日购买 2.5 千克猪肉至少要花 100 元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？ （2）5 月 20 日，猪肉价格为每千克 40 元.5 月 21 日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克 40 元的基础上下调 a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克 40 元的情况下，该天的两种猪肉总销量比 5 月 20 日增加了 a%，且储备猪肉的销量占总销量的 ，两种猪肉销售的总金额比 5 月 20 日提高了 a%，求 a 的值． 【分析】（1）设今年年初猪肉价格为每千克 x 元；根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可； （2）设 5 月 20 日两种猪肉总销量为 1；根据题意列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克 x 元； 根据题意得：2.5 （1+60%）x 100， 解得：x 25． 答：今年年初猪肉的最低价格为每千克 25 元； （2）设 5 月 20 日两种猪肉总销量为 1； 根据题意得：40（1－a%） （1+a%）+40 （1+a%）=40（1+ a%）， 令 a%=y，原方程化为：40（1－y） （1+y）+40 （1+y）=40（1+ y）， 整理得：5y 2 －y=0， 解得：y=0.2，或 y=0（舍去）， 则 a%=0.2， a=20； 答：a 的值为 20． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用；根据题意列出不等式和方程是解决问题的关键． 24．（10 分）（2016 重庆）我们知道，任意一个正整数 n 都可以进行这样的分解：n=p q（p，q 是正整数，且 p q），在 n 的所有这种分解中，如果 p，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称 p q 是 n 的最佳分解．并规定：F（n）= ．例如 12 可以分解成 1 12，2 6 或 3 4，因为 12－1＞6－2＞4－3，所有 3 4 是 12 的最佳分解，所以 F（12）= ． （1）如果一个正整数 a 是另外一个正整数 b 的平方，我们称正整数 a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数 m，总有 F（m）=1； （2）如果一个两位正整数 t，t=10x+y（1 x y 9，x，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为 吉祥数 ，求所有 吉祥数 中 F（t）的最大值． 【分析】（1）根据题意可设 m=n 2 ，由最佳分解定义可得 F（m）= =1； （2）根据 吉祥数 定义知（10y+x）－（10x+y）=18，即 y=x+2，结合 x 的范围可得 2 位数的 吉祥数 ，求出每个 吉祥数 的 F（t），比较后可得最大值． 【解答】解：（1）对任意一个完全平方数 m，设 m=n 2 （n 为正整数）， ∵|n－n|=0， n n 是 m 的最佳分解， 对任意一个完全平方数 m，总有 F（m）= =1； （2）设交换 t 的个位上的数与十位上的数得到的新数为 t ，则 t =10y+x， ∵t 为 吉祥数 ， t －t=（10y+x）－（10x+y）=9（y－x）=18， y=x+2， ∵1 x y 9，x，y 为自然数， 吉祥数 有：13，24，35，46，57，68，79， F（13）= ，F（24）= = ，F（35）= ，F（46）= ，F（57）= ，F（68）= ，F（79）= ， ∵ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ， 所有 吉祥数 中，F（t）的最大值是 ． 【点评】本题主要考查实数的运算，理解最佳分解、 吉祥数 的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键． 题 五、解答题（本题 2 个小题，每小题 12 分，共 24 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 25．（12 分）（2016 重庆）在△ABC 中， B=45 ， C=30 ，点 D 是 BC 上一点，连接 AD，过点 A 作 AG AD，在 AG 上取点 F，连接 DF．延长 DA 至 E，使 AE=AF，连接 EG，DG，且 GE=DF． （1）若 AB=2 ，求 BC 的长； （2）如图 1，当点 G 在 AC 上时，求证：BD= CG； （3）如图 2，当点 G 在 AC 的垂直平分线上时，直接写出 的值． 【分析】（1）如图 1 中，过点 A 作 AH BC 于 H，分别在 RT△ABH，RT△AHC 中求出 BH、HC 即可． （2）如图 1 中，过点 A 作 AP AB 交 BC 于 P，连接 PG，由△ABD≌△APG 推出 BD=PG，再利用 30 度角性质即可解决问题． （3）如图 2 中，作 AH BC 于 H，AC 的垂直平分线交 AC 于 P，交 BC 于 M．则 AP=PC，作 DK AB 于 K，设 BK=DK=a，则 AK= a，AD=2a，只要证明 BAD=30 即可解决问题． 【解答】解：（1）如图 1 中，过点 A 作 AH BC 于 H． AHB= AHC=90 ， 在 RT△AHB 中，∵AB=2 ， B=45 ， BH=AB cosB=2 =2， AH=AB sinB=2， 在 RT△AHC 中，∵ C=30 ， AC=2AH=4，CH=AC cosC=2 ， BC=BH+CH=2+2 ． （2）证明：如图 1 中，过点 A 作 AP AB 交 BC 于 P，连接 PG， ∵AG AD， DAF= EAC=90 ， 在△DAF 和△GAE 中， ， △DAF≌△GAE， AD=AG， BAP=90 = DAG， BAD= PAG， ∵ B= APB=45 ， AB=AP， 在△ABD 和△APG 中， ， △ABD≌△APG， BD=PG， B= APG=45 ， GPB= GPC=90 ， ∵ C=30 ， PG= GC， BD= CG． （3）如图 2 中，作 AH BC 于 H，AC 的垂直平分线交 AC 于 P，交 BC 于 M．则 AP=PC， 在 RT△AHC 中，∵ ACH=30 ， AC=2AH， AH=AP， 在 RT△AHD 和 RT△APG 中， ， △AHD≌△APG， DAH= GAP， ∵GM AC，PA=PC， MA=MC， MAC= MCA= MAH=30 ， DAM= GAM=45 ， DAH= GAP=15 ， BAD= BAH－ DAH=30 ， 作 DK AB 于 K，设 BK=DK=a，则 AK= a，AD=2a， = = ， ∵AG=CG=AD， = ． 【点评】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、直角三角形 30 度角性质、线段垂直平分线性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会设参数解决问题，属于中考压轴题． 26．（12 分）（2016 重庆）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=－ x 2 + x+3 与 x轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为点 E． （1）判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）经过 B，C 两点的直线交抛物线的对称轴于点 D，点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一动点，当△PCD 的面积最大时，Q 从点 P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 M 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 y 轴上的点 N 处，最后沿适当的路径运动到点 A 处停止．当点 Q 的运动路径最短时，求点 N 的坐标及点 Q 经过的最短路径的长； （3）如图 2，平移抛物线，使抛物线的顶点 E 在射线 AE 上移动，点 E 平移后的对应点为点 E ，点 A 的对应点为点 A ，将△AOC 绕点 O 顺时针旋转至△A 1 OC 1 的位置，点 A，C 的对应点分别为点 A 1 ，C 1 ，且点 A 1 恰好落在 AC 上，连接 C 1 A ，C 1 E ，△A C 1 E 是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点 E 的坐标；若不能，请说明理由． 【分析】（1）先求出抛物线与 x 轴和 y 轴的交点坐标，再用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形； （2）先求出 S △PCD 最大时，点 P（ ， ），然后判断出所走的路径最短，即最短路径的长为 PM+MN+NA 的长，计算即可； （3）△A C 1 E 是等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可． 【解答】解：（1）△ABC 为直角三角形， 当 y=0 时，即－ x 2 + x+3=0， x 1 =－ ，x 2 =3 A（－ ，0），B（3 ，0）， OA= ，OB=3 ， 当 x=0 时，y=3， C（0，3）， OC=3， 根据勾股定理得，AC 2 =OB 2 +OC 2 =12，BC 2 =OB 2 +OC 2 =36， AC 2 +BC 2 =48， ∵AB 2 =[3 －（－ ）? 2 =48， AC 2 +BC 2 =AB 2 ， △ABC 是直角三角形， （2）如图， ∵B（3 ，0），C（0，3）， 直线 BC 解析式为 y=－ x+3， 过点 P 作‖y 轴， 设 P（a，－ a 2 + a+3）， G（a，－ a+3）， PG=－ a 2 + a， 设点 D 的横坐标为 x D ，C 点的横坐标为 x C ， S △PCD = （x D －x C ） PG=－ （a－ ） 2 + ， ∵0＜a＜3 ， 当 a= 时，S △PCD 最大，此时点 P（ ， ）， 将点 P 向左平移 个单位至 P ，连接 AP ，交 y 轴于点 N，过点 N 作 MN 抛物线对称轴于点 M， 连接 PM，点 Q 沿 P M N A，运动，所走的路径最短，即最短路径的长为 PM+MN+NA的长， P（ ， ） P （ ， ）， ∵点 A（－ ，0）， 直线 AP 的解析式为 y= x+ ， 当 x=0 时，y= ， N（0， ）， 过点 P 作 P H x 轴于点 H， AH= ，P H= ，AP = ， 点 Q 运动得最短路径长为 PM+MN+AN= + = ； （3）在 Rt△AOC 中， ∵tan OAC= = ， OAC=60 ， ∵OA=OA 1 ， △OAA 1 为等边三角形， AOA 1 =60 ， BOC 1 =30 ， ∵OC 1 =OC=3， C 1 （ ， ）， ∵点 A（－ ，0），E（ ，4）， AE=2 ， A E =AE=2 ， ∵直线 AE 的解析式为 y= x+2， 设点 E （a， a+2）， A （a－2 ， －2） C 1 E 2 =（a－2 ） 2 +（ +2－ ） 2 = a 2 － a+7， C 1 A 2 =（a－2 － ） 2 +（ －2－ ） 2 = a 2 － a+49， ①若 C 1 A =C 1 E ，则 C 1 A 2 =C 1 E 2 即： a 2 － a+7= a 2 － a+49， a= ， E （ ，5）， ②若 A C1=A E ， A C 1 2 =A E 2 即： a 2 － a+49=28， a 1 = ，a 2 = ， E （ ，7+ ），或（ ，7－ ）， ③若 E A =E C 1 ， E A 2 =E C 1 2 即： a 2 － a+7=28， a 1 = ，a 2 = （舍）， E （ ，3+ ）， 即，符合条件的点 E （ ，5），（ ，7+ ），或（ ，7－ ），（ ，3+ ）． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了函数极值的确定方法，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是分类讨论，也是解本题的难点．