高中数学教材里“正态分布”内容是理科数学教学大纲内容，也是高考考纲内容。如何从N(0,1)的概率函数Φ(x)到N(μ,σ?2)的概率函数F(x)=Φx-μσ，教材中没有证明，大学里是用积分方法证明的。而积分就本质上来说，就是“分割•求和•取极限”的“初等”方法。因此下面我就用这种方法对正态分布的概率函数如何从N（0，1）的Φ（x）到N(μ,σ?2)的F(x)=Φx-μσ作一个简单的“初等”证明。下面分四个步骤进行证明(其中1，2，3步属过渡性证明，相当于定理的引理部分)。?
1. 矩形的伸缩变换?
图形：长变为m倍宽变为k倍?
?
面积ab ma•kb=mkab?
2. 积分方法展示?
(1) 分割：将区间［a,b］进行n等分，把y=f(x)在x∈［a,b］与x轴围成的图形分割成如图所示的n个部分，然后作n个小矩形，如图所示?
?
(2) 求和：设各个小矩形面积依次为S?1，S?2，…,S?n，则?
S?1=b-anf(a),S?2=b-anf(x?1),……,S?n=b-anf(x??n-1?)
?
(3) 取极限：设如图大曲边梯形面积为S，则?
S=??lim??n??∞?（S?1+S?2+…+S?n）?
3. 一般图形的伸缩变换及应用举例?
(1) 因为当时y=f(x)横标变为k倍纵标变为m倍ym=fxk时，上述S?1，S?2，…，S?n的长都变为k倍，宽都变为m倍，所以y=f(x),x∈［a,b］，x∈［ka,kb］和x轴围成图形的面积S变换成ym=fxk和x轴围成图形面积S′=kmS。如图所示： ?
横标k倍纵标m倍?
?
(2) 菱形?
｜x｜+｜y｜=1横标3倍纵标4倍｜x｜3+｜y｜4=1?
右移1下移2｜x-1｜3+｜x+2｜4=1
内部面积：12×2×2=2?
12×（2×3）×（2×4）=12 12×6×8=12?
(3) 圆：x?2+y?2=1横标a倍纵标b倍椭圆：x?2a?2+y?2b?2=1(a>0,b>0且a≠b)?
内部面积：?π?ab?π??
(4) y=12?π? e??-x?22?横标σ倍纵标1σ倍?
y=12?π?σe??-x?22σ?2?横移μ个单位y=?12?π?σ e??-(x-μ)?22σ?2??
下方面积：1σ•1σ•1=11?
注：下方面积指曲线下方，x轴上方区域的面积。?
4. 从N(0,1)的Φ(x)到N(μ,σ?2)的?F(x)?=Φx-μσ?
请看下面变换：ζ~N（μ,σ?2）?ζ~N（0,σ?2）?ζ~N（0,1），即?
y=12?π?σe??-(x-μ)?22σ?2?
横移-μ
y=12?π?σe??-x?22σ?2?横标1σ倍纵标σ倍
y=12?π?e??-x?22??
?
下方面积：1σ•σ=111σσ=1?
因为上述图形变换中取点变换为?
M?1（x?0,y?0）?M?2(x?0-μ,y?0)M?3x?0-μσ,σy?0?
而点的横坐标和纵坐标伸缩倍数之积等于1，所以各个阴影部分的面积相等，即若把?
ζ~N（μ,σ?2）中ζ取值小于x?0的概率记为P??μσ?(ζ