篇一：与相似三角形有关的中考压轴题
相似三角形证明及综合题
1、如图，在ABCD中，?BAD?32°，分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE?BC，DF?DC，?EBC??CDF．延长AB交边EC于点H，点H在E、C两点之间，连结AE、AF．
（1）求证：△ABE≌△FDA．
（2）当AE⊥AF时，求?EBH的度数．
?
（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB=DC. 又∵DF=DC， ∴AB=DF. 同理EB=AD.
在平行四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC. 又∵∠EBC=∠CDF， ∴∠ABE=∠ADF，
∴△ABE≌△FDA.（4分） （2）解：∵△ABE≌△FDA， ∴∠AEB=∠DAF.
∵∠EBH=∠AEB+∠EAB, ∴∠EBH=∠DAF+∠EAB. ∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°. ∵∠BAD=32°，
∴∠DAF+∠EAB=90°-32°=58°， ∴∠EBH=58°.
2、(2009武汉)如图1，在Rt△ABC中，?BAC?90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E． （1）求证：△ABF∽△COE；
ACOF
的值； ?2时，如图2，求
ABOEACOF
（3）当O为AC边中点，的值． ?n时，请直接写出
ABOE
（2）当O为AC边中点，
B
A
O A
O C 图1
图2
解：（1）?AD⊥BC，??DAC??C?90°． ??BAC?90°，??BAF??C． ?OE⊥OB，??BOA??COE?90°，
??BOA??ABF?90°，??ABF??COE． ?△ABF∽△COE；
A
O
C
（2）解法一：作OG⊥AC，交AD的延长线于G． ?AC?2AB，O是AC边的中点，?AB?OC?OA． 由（1）有△ABF∽△COE，?△ABF≌△COE， ?BF?OE．
??BAD??DAC?90°，?DAB??ABD?90°，??DAC??ABD，又?BAC??AOG?90°，AB?OA． ?△ABC≌△OAG，?OG?AC?2AB． ?OG⊥OA，?AB∥OG，?△ABF∽△GOF，
?
OFBF?OGAB，OFOE?OFOG
BF?AB
?2．
A
O
C
解法二：??BAC?90°，AC?2AB，AD⊥BC于D，
?Rt△BAD∽Rt△BCA．?
ADBD?AC
AB
?2． 设AB?
1，则AC?2，BC?BO?
?AD?
BD?12AD?．
??BDF??BOE?90°，△?BDF∽△BOE， BDBO
． ??
DFOE
由（1）知BF?OE，设OE?BF?
x，??x?． ?
DF在△DFB中x2?
112
．
?
x，?x?3510
OF??2． ?OF?OB?BF??
?
OEOF（3）?n．
OE
3、(2009年上海市)已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足
PQAD
（如图1所示）． ?
PCAB
（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长； （2）在图中，联结AP．当AD?
3
，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，2
S△APQS△PBC
?y，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函
数解析式，并写出函数定义域；
（3）当AD?AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求?QPC的大小． A
D
A
P
Q B
图1
C
（Q） B
C
图2
Q B
图3
D
A
D
【关键词】等腰直角三角形 相似三角形 共高三角形的面积 直角三角形相似的判定 （1）∵Rt△ABD中，AB=2，AD=2， ∴
PQAD
=1，∠D=45° ?
PCAB
13BC?。 22
∴PQ=PC即PB=PC， 过点P作PE⊥BC，则BE=
而∠PBC=∠D=45° ∴PC=PB=
32
2
（2）在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。 ∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE ∴Rt△ABD∽Rt△EPB ∴
EBAD33
???2? EPAB24
11
?BC?PE??3?4k?6k， 22
?2?x??3k AQ2?x12?x12?x
??S?APB???AB?PF???2?3k??3k=
2AB22222S?BPC12k4
??
S?APQ2?x?3k2?x
D
设EB=3k，则EP=4k，PF=EB=3k ∴S?BPC?
S?APQ
∴y?
函数定义域为0?x?2 A F
D
A
P
F
Q B
E 图1
C
（Q） B
C
图2
Q
（3）答：90°
证明：在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。 ∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE ∴Rt△ABD∽Rt△EPB
B
D
A
E 图3
EB
?EPPQ∴?PC
∴AD
AB
ADEBPF
= ?ABPEPE
∴Rt△PQF∽Rt△PCE ∴∠FPQ=∠EPC
∴∠EPC+∠QPE=∠FPQ+∠QPE=90°
4、（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(?8，0)，直线BC经过点B(?8，6)，C(0，6)，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转?度得到四边形OA?B?C?，此时直线OA?、直线B?C?分别与直线BC相交于点P、Q． （1）四边形OABC的形状是，
当??90°时，
BP
的值是 ； BQ
BP
的值； BQ
（2）①如图2，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在y轴正半轴时，求
②如图3，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在直线BC上时，求△OPB?的面积．
） （图2）
（图3）
（备用图）
x
（第26题）
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0??≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使
BP?
1
BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2
【关键词】相似三角形有关的计算和证明 【答案】解：（1）矩形（长方形）；
BP4
?． BQ7
（2）①??POC??B?OA?，?PCO??OA?B??90°， ?△COP∽△A?OB?．
?
CPOCCP6
，即?， ?
68A?B?OA?
97
?CP?，BP?BC?CP?．
22
同理△B?CQ∽△B?C?O，
?
CQB?CCQ10?6
，即， ??
C?QB?C?68
?CQ?3，BQ?BC?CQ?11．
?
BP7
?． BQ22
②在△OCP和△B?A?P中，
篇二：中考数学压轴题分类详解-相似篇
【绝招】直线上一点有“√”是垂直的时候，必须思考全等与相似
【例题】如图，在Rt△ABC中，?A?90，AB=AC
＝E为AC的中点，点F在底边
BC上，且FE?BE，则△CEF的面积是（ ） A． 16 B． 18 C．
D．
E F
C
【答案】：A，详解：过点F做FH垂直于AC，交AC于点H，则△FHC是等腰直角三角形，且△
AEB∽△HFE,设FH=CH=x。EM=2x.而
FH的值，进而求出△CEF的面积是16
【习题练习】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，B?为
CD边上的点，B?C=3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B?处，点A的对应点为A?，折痕分别与AD，BC边交于点M，N． （1）求BN的长；（2）求四边形ABNM的面积.
【习题答案】解：如图3．
（1）由题意，点A与点A?，点B与点B?分别关于直线MN对称，
∴AM?A?M，BN?B?N． ??????????????????1分设BN?B?N?x，则CN?9?x．∵ 正方形ABCD，∴ ?C?90o．
∴ CN2?B?C2?B?N2．
∵ B?C=3，∴ (9?x)2?32?x2．
解得x?5．
∴ BN?
52分
（2）∵ 正方形ABCD，
∴ AD∥BC，?A?90o．
∵ 点M，N分别在AD，BC边上， ∴ 四边形ABNM是直角梯形． ∵ BN?B'N?5，BC?9，
∴ NC?4． ∴ sin?1?
44，tan?1?． 53
∵ ?1??2?90?，?2??3?90?， ∴ ?3??1． ∴ sin?3?sin?1?
4． 5
在Rt△DB?P 中，∵?D?90? ，DB??DC?B?C?6，sin?3?
DB?4
?， ?PB5
∴ PB??
15
． 2
∵ A?B??AB?9，
∴ A?P?A?B??PB??∵ ?4??3， ∴ tan?4?tan?3?
3． 2
4． 3
A?M43
?， ，tan?4??AP32
在Rt△A?MP 中，∵ ?A???A?90? ，A?P?∴ A?M?2
∴ S梯形ABNM?(AM?BN)?AB?
1
2163?(2?5)?9? 22
【绝招】证明相似有两种办法，一种是角角，另一种是边角边！遇到题中出现边和边之间的
关系时，我们要想到“边角边”的证明方式！ 【绝招】当几何压轴题给出的已知条件（多为线段）的关系联系不上时，我们一定要用平移、对称或旋转的思想，转化图形，添加图形，先把条件联系起来！
【绝招】几何压轴题中的第一个问，让我们直接写出长度或角的度数的时候，可以用“量”“猜”“估算”的方法直接得出答案！
【例题】在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交
点为P.
（1）若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE的度数；（2
）若AC?
，CD?，求∠APE的度数.
25．解：（1）如图9，∠°.
（2）解法一：如图10，将AE平移到DF，连接BF，EF
则四边形AEFD是平行四边形． ∴ AD∥EF，AD=EF．
∵ AC，CD，
ACCDCD
?，??． BDAEDFACCD∴ ． ?
BDDF∵ ∠C=90°，
∴
∴ ?BDF?180???C?90?． ∴ ∠C=∠BDF． ∴ △ACD∽△BDF． ∴
ADAC
?1=∠2． BFBDEFAD∴ ?．
BFBF
∵ ∠1+∠3=90°， ∴ ∠2+∠3=90°． ∴ BF⊥AD ． ∴ BF⊥EF．
∴ 在Rt△BEF中，tan?BEF?∴ ∠APE=∠BEF =30°．
BF?． EF解法二：如图11，将CA平移到DF，连接AF，BF，EF． 则四边形ACDF是平行四边形． ∵ ∠C=90°，
∴ 四边形ACDF是矩形，∠AFD=∠CAF= 90°，∠1+∠2=90°．
AEAE?? AFCDBDBD??在Rt△BDF中，tan?1?， DFAC∴ ?3??1?30?．
∵ 在Rt△AEF中，tan?3?
∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB =90°． ∴ ∠AFD=∠EFB．
DFAF??， BFEF ∴ △ADF∽△EBF．
又∵
∴ ∠4=∠5．
∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5，∴ ∠APE=∠3=30°．
【绝招】遇到求证线段的和与差的时候，辅助线一定是截长补短的，（要不就把长的部分截掉，要么就延长短的边）！
【绝招】一些压轴题证明相似的时候，不要只思考“AA”证明相似，也可以用“SAS”证明相似！
【绝招】线段的最大值，想到三角形两边之和大于第三边！面积的最大值，想到构造二次函数！
25．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=
1
. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结2
BD，F为BD中点. （1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设CF?kEF，则k = ； （2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．
求证：BE-DE=2CF；
（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD
中点，求线段CF长度的最大值．
AAA
D
EE
D
CBC
图2
BC
备图
B
(本文来自：WWw.DXF5.com 东 星 资 源 网:中考数学相似压轴题)图1
【答案】解：（1）k=1；……………………….……………………………2分
（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q.
由题意，tan∠BAC=∴
BCDE1
??. ACAE2
1， 2
A
DE
Q
∵ D、E、B三点共线， ∴ AE⊥DB.
∵ ∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°, ∴ ∠QBC=∠EAQ.
∵ ∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°， ∴ ∠ECA=∠BCG. ∴ △BCG∽△ACE. ∴
BCGB1
??. ACAE2
∴ GB=DE. ∵ F是BD中点， ∴ F是EG中点. 在Rt△ECG中，CF?
1
EG, 2
∴ BE?DE?EG?2CF.
.…………………………….……………………………5分
1
（3）情况1：如图，当AD=AC时，取AB的中点M，连结MF和CM，
3
∵∠ACB=90°， tan∠BAC=∴AC=12，AB
=.
1
，且BC= 6, 2
∵M为AB中点，∴CM
=1
∵AD=AC，
3
∴AD=4.
∵M为AB中点，F为BD中点， 1
∴FM=AD= 2.
2
B
∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM
=2?情况2：如图，当AD=
2
AC时，取AB的中点M， 3
连结MF和CM，
篇三：中考数学压轴题归类复习(十大类型附详细解答)
中考数学压轴题辅导（十大类型 ）
目录
动点型问题....................................................................................................................3 几何图形的变换（平移、旋转、翻折）……………………………………………6 相似与三角函数问题 9
三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等）...........................13
与四边形有关的二次函数问题……………………………………………………..16
初中数学中的最值问题……………………………………………………………..19
定值的问题…………………………………………………………………………..22
存在性问题（如：平行、垂直，动点，面积等）………………………………..25
与圆有关的二次函数综合题………………………………………………………..29
其它（如新定义型题、面积问题等）……………………………………………..33 参考答案…………………………………………………………………………….36
中考数学压轴题辅导（十大类型 ）
数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。
函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。
几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。
解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。
一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。
二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。
三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。
解中考压轴题技能技巧：
一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止 “捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。 二是解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。
三是解数学压轴题一般可以分为三个步骤。认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重
要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。
中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。所以，解数学压轴题，一要树立必胜的信心，要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。
一、动点型问题：
2例1．（基础题）如图，已知抛物线y=x﹣2x﹣3与x轴从左至右分别交于A、B两点，与y
轴交于C点，顶点为D．
（1）求与直线BC平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式；
（2）若线段AD上有一动点E，过E作平行于y轴的直线交抛物线于F，当线段EF取得最大值时，求点E的坐标．
变式练习：（2012?杭州模拟）如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒l个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒l个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值．
（4）在（3）中当t为何值时，以O，P，Q为顶点的三角形与△OAD相似？（直接写出答案）
苏州中考题：（2015年●苏州）如图，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半径为2cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切．现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动；⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动．已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．
（1）如图①，点P从A→B→C→D，全程共移动了 cm（用含a、b的代数式表示）；
（2）如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点．若点P与⊙O的移动速度相等，求在这5s时间内圆心O移动的距离；
（3）如图②，已知a=20，b=10．是否存在如下情形：当⊙O到达⊙O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与⊙O1恰好相切？请说明理由．
（图①）
（第28题）
（图②）